Число маха. (сверхзвук, часть 2)

Высокоскоростной поток в канале [ править ]

Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода заставляет ожидать, что сужение канала потока увеличит скорость потока (т.е. сужение канала приведет к более быстрому потоку воздуха), и при дозвуковых скоростях это верно. Однако, как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади потока и скорости меняется на обратное: расширение канала фактически увеличивает скорость.

Очевидный результат состоит в том, что для ускорения потока до сверхзвукового уровня необходимо сходящееся-расширяющееся сопло, в котором сужающаяся секция ускоряет поток до звуковых скоростей, а расширяющаяся секция продолжает ускорение. Такие сопла называются соплами де Лаваля, и в крайних случаях они могут достигать гиперзвуковой скорости (13 Махов (15 926 км / ч; 9896 миль / ч) при 20 ° C).

Махметр самолета или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления застоя ( трубка Пито ) и статического давления.

Внешние ссылки [ править ]

  • Gas Dynamics Toolbox Рассчитайте число Маха и параметры нормальной ударной волны для смесей идеальных и несовершенных газов.
  • Страница НАСА об интерактивном калькуляторе числа Маха.
  • Калькулятор стандартной атмосферы NewByte и конвертер скорости
.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:»»}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:100%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}vтеБезразмерные числа в механике жидкости
  • Архимед
  • Этвуд
  • Bagnold
  • Бежан
  • Биот
  • Связь
  • Бринкман
  • Капиллярный
  • Коши
  • Чандрасекхар
  • Damköhler
  • Дарси
  • Декан
  • Дебора
  • Духин
  • Eckert
  • Экман
  • Eötvös
  • Эйлер
  • Froude
  • Галилей
  • Graetz
  • Grashof
  • Гёртлер
  • Hagen
  • Ирибаррен
  • Капица
  • Кеулеган – Карпентер
  • Knudsen
  • Лаплас
  • Льюис
  • Мах
  • Марангони
  • Мортон
  • Нуссельт
  • Ohnesorge
  • Пекле
  • Прандтль
    • магнитный
    • бурный
  • Рэлей
  • Рейнольдс
  • Ричардсон
  • Рошко
  • Россби
  • Роза
  • Шмидт
  • Scruton
  • Шервуд
  • Щиты
  • Стэнтон
  • Стокса
  • Strouhal
  • Стюарт
  • Суратман
  • Тейлор
  • Урселл
  • Вебер
  • Weissenberg
  • Womersley

Высокоскоростной поток в канале

Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода заставляет ожидать, что сужение проточного канала увеличит скорость потока (т.е. сужение канала приведет к более быстрому потоку воздуха), и при дозвуковых скоростях это верно. Однако, как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади сечения потока и скорости меняется на обратное: расширение канала фактически увеличивает скорость.

Очевидный результат состоит в том, что для ускорения потока до сверхзвукового уровня необходимо сходящееся-расширяющееся сопло, в котором сужающаяся секция ускоряет поток до звуковых скоростей, а расширяющаяся секция продолжает ускорение. Такие сопла называются соплами де Лаваля, и в крайних случаях они могут достигать гиперзвуковой скорости (13 Маха (15 926 км / ч; 9896 миль / ч) при 20 ° C).

Махметр самолета или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления торможения ( трубка Пито ) и статического давления.

Обзор [ править ]

Скорость звука (синий) зависит только от изменения температуры на высоте (красный) и может быть рассчитана исходя из этого, поскольку изолированные эффекты плотности и давления на скорость звука взаимно компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за тепловых эффектов в этих областях.

Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. Согласно модели Международной стандартной атмосферы , сухой воздух на среднем уровне моря , стандартная температура 15 ° C (59 ° F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 футов / с). Скорость звука не постоянна; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры, и поскольку температура атмосферы обычно снижается с увеличением высоты от уровня моря до 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, в стандартной модели атмосферы температура снижается до -56,5 ° C (-69,7 ° F) на высоте 11000 метров (36089 футов), с соответствующей скоростью звука ( 1 Мах ) 295,0 метров в секунду (967,8 футов / с). , 86,7% от уровня моря.

Примечания [ править ]

  1. ^ a b Янг, Дональд Ф .; Брюс Р. Мансон; Теодор Х. Окииси; Уэйд В. Хюбш (2010). Краткое введение в механику жидкости (5-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 95. ISBN 978-0-470-59679-1.
  2. ^ а б Graebel, WP (2001). Инженерная механика жидкостей . Тейлор и Фрэнсис. п. 16. ISBN 978-1-56032-733-2.
  3. ^ «Эрнст Мах» . Encyclopdia Britannica . 2016 . Проверено 6 января 2016 года .
  4. ^ Аккерет: Der Luftwiderstand бей зеЬг großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (октябрь 1929 г.), стр. 179–183. См. Также: Н. Ротт: Якоб Акерт и история числа Маха. Ежегодный обзор гидромеханики 17 (1985), стр. 1–9.
  5. ^ Боди, Уоррен М., Lockheed P-38 Lightning , Widewing Publications ISBN 0-9629359-0-5 . 
  6. ^ Нэнси Холл (ред.). «Число Маха» . НАСА .
  7. ^ Клэнси, LJ (1975), аэродинамика, Таблица 1, Pitman Publishing Лондон, ISBN 0-273-01120-0 
  8. ^ a b c Олсон, Уэйн М. (2002). «AFFTC-TIH-99-02, Летные испытания летательных аппаратов ». ( PDF ). Центр летных испытаний ВВС, авиабаза Эдвардс, Калифорния, ВВС США. Архивировано 4 сентября 2011 года в Wayback Machine.

Высокоскоростное обтекание объектов

Полеты можно условно разделить на шесть категорий:

Режим Дозвуковой Трансзвуковой Скорость звука Сверхзвуковой Гиперзвуковой Гиперскорость
Мах <0,8 0,8–1,2 1.0 1,2–5,0 5,0–10,0 > 8,8

Для сравнения: требуемая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км / с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.

На околозвуковых скоростях поле обтекания объекта включает как суб-, так и сверхзвуковую части. Трансзвуковой период начинается, когда вокруг объекта появляются первые зоны обтекания M> 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может вернуться к дозвуковому только при нормальном толчке; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис. 1а)

С увеличением скорости зона потока M> 1 увеличивается как по передней, так и по задней кромкам. При достижении и прохождении M = 1 нормальный скачок уплотнения достигает задней кромки и становится слабым косым скачком: поток замедляется над скачком, но остается сверхзвуковым. Перед объектом создается нормальная ударная волна, и единственная дозвуковая зона в поле потока — это небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис. 1b)

а) (б)

Рис. 1. Число Маха при околозвуковом обтекании профиля; M <1 (а) и M> 1 (б).

Когда воздушное судно превышает 1 Мах (то есть звуковой барьер ), разница большого давления создаются только в передней части летательного аппарата . Этот резкий перепад давления, называемый ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемого конуса Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар, который слышится, когда над головой летит быстро движущийся самолет. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при чуть более М = 1 это почти не конус, а скорее слегка вогнутая плоскость.

На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и поток становится либо полностью сверхзвуковым, либо (в случае тупого объекта) остается лишь очень небольшая зона дозвукового потока между носом объекта и ударной волной, которую он создает впереди. самого себя. (В случае острого предмета между носом и ударной волной нет воздуха: ударная волна начинается от носа.)

По мере увеличения числа Маха сила ударной волны увеличивается, и конус Маха становится все более узким. Когда поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее шок, тем больше изменений. При достаточно высоких числах Маха температура над ударной волной настолько возрастает, что начинается ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие потоки называют гиперзвуковыми.

Ясно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, также будет подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, и, следовательно, выбор термостойких материалов становится важным.

Высокоскоростное обтекание объектов [ править ]

Полеты можно условно разделить на шесть категорий:

Режим Дозвуковой Трансзвуковой Скорость звука Сверхзвуковой Гиперзвуковой Гиперскорость
Мах <0,8 0,8–1,2 1.0 1,2–5,0 5,0–10,0 > 8,8

Для сравнения: требуемая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км / с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.

На околозвуковых скоростях поле обтекания объекта включает как суб-, так и сверхзвуковую части. Трансзвуковой период начинается, когда вокруг объекта появляются первые зоны обтекания M> 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может вернуться к дозвуковому только при нормальном толчке; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис. 1а)

С увеличением скорости зона потока M> 1 увеличивается как по передней, так и по задней кромкам. При достижении и прохождении M = 1 нормальный скачок уплотнения достигает задней кромки и становится слабым наклонным скачком: поток замедляется над скачком, но остается сверхзвуковым. Перед объектом создается нормальная ударная волна, и единственная дозвуковая зона в поле течения — это небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис. 1b)

(а) (б)

Рис. 1. Число Маха при околозвуковом обтекании профиля; M <1 (а) и M> 1 (б).

Когда воздушное судно превышает 1 Мах (то есть звуковой барьер ), разница большого давления создаются только в передней части летательного аппарата . Этот резкий перепад давления, называемый ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемого конуса Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар, который слышится, когда над головой летит быстро движущийся самолет. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при чуть более M = 1 это вообще не конус, а скорее слегка вогнутая плоскость.

На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и поток становится либо полностью сверхзвуковым, либо (в случае тупого предмета) между носом объекта и ударной волной, которую он создает впереди, остается лишь очень небольшая зона дозвукового потока. самого себя. (В случае острого предмета между носом и ударной волной нет воздуха: ударная волна начинается от носа.)

По мере увеличения числа Маха увеличивается и сила ударной волны, и конус Маха становится все более узким. Когда поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее шок, тем больше изменений. При достаточно высоких числах Маха температура над ударной волной настолько возрастает, что начинается ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие потоки называют гиперзвуковыми.

Понятно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, также будет подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, и, следовательно, выбор термостойких материалов становится важным.

Зачем нужно число Маха

Так вот, число Маха в авиации представляет собой отношение скорости летательного аппарата к скорости звука на той высоте на которой он сейчас летит. Так удобнее, ведь на разной высоте скорость звука будет разной и чтобы понимать достигает ли самолет скорости звука, его скорость измеряют в числах М.

Один мах, это просто — 1 мах, а не «км/ч». Нельзя просто ответить на вопрос  «сколько 1 мах в километрах в час», нужно всегда уточнять, о какой высоте идет речь.

Если еще проще, число М показывает сколько скоростей звука в скорости самолета сейчас на конкретной высоте (при определенных условиях среды). Если число Маха больше единицы, очевидно, мы имеем дело со сверхзвуковой скоростью. Поэтому чаще всего вы будете встречать пояснение для какой высоты указано конкретное число Маха.

Например, для Боинга 777 крейсерской скоростью считается 0,84 М (это дозвуковой летательный аппарат). То есть на высоте 10 000 метров при стандартных условиях, принимая скорость звука за 1076 км/ч умножаем ее на 0,84 и получаем — 904 км/ч. По документации крейсерская скорость Boeing 777 составляет как раз 905 км/ч.

Что касается сверхзвуковых летательных аппаратов, то, по определению, их скорости должны быть больше скорости звука, то есть больше 1 М. Например у Су-27 это 2,35 М, что примерно 2 528 км/ч на высоте 10 км (скорость звука 295 м/с, а это 1062 км/ч).

А вот гиперзвуковые летательные аппараты:

  • Эксперементальный гиперзвуковой X-43A — 7,5 М (12 144 км/ч)
  • Эксперементальная ракета X-51 — 9,8М  (12 144 км/ч)

SR-71 — самый быстрый серийный самолет

Еще одно замечание, число Маха в авиации, это качественная величина, а не количественная. То есть это не скорость в чистом виде, а критерий который показывает насколько скорость объекта выше скорости звука. Зачем? Затем, что дозвуковые, трансзвуковые, сверхзвуковые или гиперзвуковые скорости очень сильно отличаются по сути.

Пилоту (и инженеру тоже) важно знать какой у него сейчас режим обтекания самолета (дозвуковой, трансзвуковой или сверхзвуковой). Например, во многих указателях скорости есть отдельный циферблат, показывающий значение числа Маха в дополнению к приборной скорости

На картинке в начале этого повествования изображен трансзвуковой режим. Это значит, что сам самолет еще не превысил скорость звука, а на некоторых его участках (на фото это очень хорошо видно по белым «клиньям») скорость обтекания уже достигла скорости звука.

Поэтому и образовались скачки уплотнения которые хорошо видны благодаря образованию конденсата позади них

Вот почему, число Маха так важно

Расчет [ править ]

Число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле

Mзнак равнотыc{\ displaystyle \ mathrm {M} = {\ frac {u} {c}}}

куда:

M — число Маха
u — скорость движущегося самолета и
c — скорость звука на заданной высоте

Обратите внимание, что динамическое давление можно найти как:

qзнак равноγ2пM2{\ Displaystyle д = {\ гидроразрыва {\ гамма} {2}} р \, \ mathrm {M} ^ {2}}

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке выводится из уравнения Бернулли для M <1:

Mзнак равно2γ-1(qcп+1)γ-1γ-1{\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left}}\,}

а скорость звука зависит от термодинамической температуры как:

c=γ⋅R∗⋅T,{\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}

куда:

q c — ударное давление (динамическое давление) и
p — статическое давление
γ{\displaystyle \gamma \,}- отношение удельной теплоемкости газа при постоянном давлении к теплу при постоянном объеме (1,4 для воздуха)
R∗{\displaystyle R_{*}}- удельная газовая постоянная для воздуха.

Формула для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке выводится из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея :

ptp=γ+12M2γγ−1⋅γ+11−γ+2γM21γ−1{\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left^{\frac {1}{\gamma -1}}}

Расчет числа Маха по давлению в трубке Пито

Число Маха является функцией температуры и истинной воздушной скорости. Однако летные приборы самолета работают с использованием перепада давления для вычисления числа Маха, а не температуры.

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M <1 (см. Выше):

M=5(qcp+1)27−1{\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left}}\,}

Формулу для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея (см. Выше) с использованием параметров для воздуха:

M≈0.88128485(qcp+1)(1−17M2)2.5{\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}

куда:

q c — динамическое давление, измеренное за прямым скачком.

Как можно видеть, M появляется с обеих сторон уравнения, и для практических целей для численного решения должен использоваться алгоритм поиска корня (решение уравнения является корнем многочлена 7-го порядка от M 2 и, хотя некоторые из них могут быть решены явно, теорема Абеля – Руффини гарантирует, что не существует общего вида для корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M больше 1,0, путем вычисления M из дозвукового уравнения. Если в этой точке M больше 1,0, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации с фиксированной точкой сверхзвукового уравнения, которое обычно сходится очень быстро. В качестве альтернативы,Также можно использовать метод Ньютона .

Этимология

Число Маха названо в честь австрийского физика и философа Эрнста Маха и является обозначением, предложенным авиационным инженером Якобом Аккеретом в 1929 году. Поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения, число идет после единицы; второе число Маха — 2 Маха вместо 2 Маха (или Маха ). Это несколько напоминает раннюю современную метку единицы измерения океана (синоним сажени ), которая также была первой единицей и, возможно, повлияла на использование термина Мах. В течение десятилетия, предшествовавшего , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не 1 .

Этимология [ править ]

Число Маха названо в честь австрийского физика и философа Эрнста Маха , и является обозначением, предложенным авиационным инженером Якобом Аккеретом в 1929 году. Поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения, число прибывает после агрегата; второе число Маха — 2 Маха вместо 2 Маха (или Маха ). Это несколько напоминает раннюю современную метку единицы измерения океана (синоним для сажени ), которая также была первой единицей и, возможно, повлияла на использование термина Мах. В предшествующее десятилетие , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не 1 .

Обзор

Скорость звука (синий) зависит только от изменения температуры на высоте (красный) и может быть рассчитана исходя из этого, поскольку изолированные эффекты плотности и давления на скорость звука взаимно компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за тепловых эффектов в этих областях.

Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. Согласно модели Международной стандартной атмосферы , сухой воздух на среднем уровне моря , стандартная температура 15 ° C (59 ° F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 футов / с; 761,23 миль в час; 661,49 узлов). Скорость звука не постоянна; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры , а поскольку температура атмосферы обычно уменьшается с увеличением высоты между уровнем моря и 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, в стандартной модели атмосферы температура опускается до -56,5 ° C (-69,7 ° F) на высоте 11 000 метров (36 089 футов) с соответствующей скоростью звука ( 1 Мах ) 295,0 метров в секунду (967,8 футов / с; 659,9 миль / ч; 573,4 узлов), 86,7% от значения уровня моря.

Расчет

Число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле

Mзнак равнотыc{\ displaystyle \ mathrm {M} = {\ frac {u} {c}}}

куда:

M — число Маха
u — скорость движущегося самолета и
c — скорость звука на заданной высоте (точнее, температура)

Обратите внимание, что динамическое давление можно найти как:

qзнак равноγ2пM2{\ Displaystyle д = {\ гидроразрыва {\ гамма} {2}} р \, \ mathrm {M} ^ {2}}

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке выводится из уравнения Бернулли для M <1:

Mзнак равно2γ-1(qcп+1)γ-1γ-1{\ displaystyle \ mathrm {M} = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ gamma -1}} \ left }} \,}

а скорость звука зависит от термодинамической температуры как:

cзнак равноγ⋅р*⋅Т,{\ displaystyle c = {\ sqrt {\ gamma \ cdot R _ {*} \ cdot T}},}

куда:

q c — ударное давление (динамическое давление) и
p — статическое давление
γ{\ displaystyle \ gamma \,}это отношение удельной теплоемкости газа при постоянном давлении к теплу при постоянном объеме (1,4 для воздуха)
р*{\ displaystyle R _ {*}}- удельная газовая постоянная для воздуха.

Формула для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке выводится из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея :

птпзнак равноγ+12M2γγ-1⋅γ+11-γ+2γM21γ-1{\ displaystyle {\ frac {p_ {t}} {p}} = \ left ^ {\ frac { \ gamma} {\ gamma -1}} \ cdot \ left ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}}}

Расчет числа Маха по давлению в трубке Пито

Число Маха является функцией температуры и истинной воздушной скорости. Однако летные приборы самолета работают с использованием перепада давления для вычисления числа Маха, а не температуры.

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M <1 (см. Выше):

Mзнак равно5(qcп+1)27-1{\ displaystyle \ mathrm {M} = {\ sqrt {5 \ left }} \,}

Формулу для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея (см. Выше) с использованием параметров для воздуха:

M≈0,88128485(qcп+1)(1-17M2)2,5{\ displaystyle \ mathrm {M} \ приблизительно 0,88128485 {\ sqrt {\ left ({\ frac {q_ {c}} {p}} + 1 \ right) \ left (1 — {\ frac {1} {7 \ , \ mathrm {M} ^ {2}}} \ right) ^ {2.5}}}}

куда:

q c — динамическое давление, измеренное за нормальным скачком уплотнения.

Как можно видеть, M появляется с обеих сторон уравнения, и для практических целей для численного решения должен использоваться алгоритм поиска корня (решение уравнения является корнем многочлена 7-го порядка от M 2 и, хотя некоторые из них могут быть решены явно, теорема Абеля – Руффини гарантирует, что не существует общего вида для корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M больше 1,0, путем вычисления M из дозвукового уравнения. Если в этой точке M больше 1,0, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации с фиксированной точкой сверхзвукового уравнения, которое обычно сходится очень быстро. В качестве альтернативы также можно использовать метод Ньютона .