Как найти центр масс

Как можно найти центр масс любого объекта или системы?

В общем, центр масс может быть найден путем сложения взвешенных векторов положения, которые указывают на центр масс каждого объекта в системе. Один из быстрых методов, который позволяет избежать использования векторной арифметики является нахождение центра масс отдельно для компонентов вдоль каждой оси. То есть:

Для положений объекта вдоль оси x:

ЦМx  =m1x1+m2x2+m3x3  m1+m2+m3ЦМ_x\;=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3\;}{m_1+m_2+m_3}ЦМx​=m1​+m2​+m3​m1​x1​+m2​x2​+m3​x3​​

И аналогично для оси у:

ЦМy  =m1y1+m2y2+m3y3  m1+m2+m3ЦМ_y\;=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3\;}{m_1+m_2+m_3}ЦМy​=m1​+m2​+m3​m1​y1​+m2​y2​+m3​y3​​

Вместе они дают полные координаты (Цм_x, Цм_y) центра масс системы. Например, рассмотрим систему из трех плоских объектов одинаковой плотности, показанную на рисунке 2.

Рисунок 2. Система из трех плоских объектов.

Расположение центра масс по оси х:

1⋅4+1⋅6+2⋅12  1+1+2=8,5\frac{1\cdot4+1\cdot6+2\cdot12\;}{1+1+2}=8,51+1+21⋅4+1⋅6+2⋅12​=8,5

и по оси y:

1⋅5+1⋅12+2⋅8,5  1+1+2=8,5\frac{1\cdot5+1\cdot12+2\cdot8,5\;}{1+1+2}=8,51+1+21⋅5+1⋅12+2⋅8,5​=8,5

Сложные объекты часто могут быть представлены в виде наборов простых форм, каждый из которых имеет одинаковую массу. Затем мы можем представить форму каждого компонента в виде точечной массы, расположенной в центре тяжести. Пустоты внутри объектов можно даже объяснить, представив их в виде фигур с отрицательной массой.

Рассмотрим плоский объект неправильной формы с равномерной плотностью, показанный на рисунке 3.

Рисунок 3. Плоский объект неправильной формы. Объект делится на простые формы.

Мы можем разбить этот сложный объект на четыре прямоугольника и один круг, как показано на рисунке справа. Здесь нас интересует только положение центра масс в относительных единицах, показанных на рисунке. Материал имеет однородную плотность, поэтому масса пропорциональна площади. Для простоты мы можем представить массу каждого сечения в единицах «квадратов», как показано на диаграмме.

По х оси, центр масс находится в:

16⋅10+52⋅4+12⋅7,5+16⋅10+(−7,1)⋅4,5  16+52+12+16−7,1=6,6\frac{16\cdot10+52\cdot4+12\cdot7,5+16\cdot10+(-7,1)\cdot4,5\;}{16+52+12+16-7,1}=6,616+52+12+16−7,116⋅1+52⋅4+12⋅7,5+16⋅1+(−7,1)⋅4,5​=6,6

Важно, что площадь круговой пустоты π⋅1,52π·1,52π⋅1,52 ∼7,1\sim7,1∼7,1 учитывается как отрицательная масса. По y оси, центр масс находится в:

По y оси, центр масс находится в:

16⋅13+52⋅7,5+12⋅7,+16⋅2+(−7,1)⋅7,5  16+52+12+16−7,1=7,4\frac{16\cdot13+52\cdot7,5+12\cdot7,0+16\cdot2+(-7,1)\cdot7,5\;}{16+52+12+16-7,1}=7,416+52+12+16−7,116⋅13+52⋅7,5+12⋅7,+16⋅2+(−7,1)⋅7,5​=7,4

Продолжение статьи читайте здесь.

Приближенное решение гравитационной задачи с помощью интегрального изображения

1. Непосредственно учитываем влияние масс только соседних восьми элементов;
2. Учитываем влияние восьми соседних регионов, состоящих из девяти элементов (3×3), путем вычисления суммы их масс с помощью интегрального изображения;
3. На каждом последующем шаге увеличиваем размер региона в 3 раза (9×9, 27×27, 81×81, и т.д.) до тех пор, пока этот он не превысит размер всего векторного поля.

Приближенный расчет сил, действующих на элемент векторного поля импульсов, с помощью интегрального изображения массRRСилы на этой иллюстрации закодированы цветом в формате HSV (Hue ― направление силы, Value линейно отображает порядок его абсолютной величины таким образом, что наименее различимы (Value = 0,05) силы порядка 10-7, а самые яркие силы (Value = 1,0) имеют порядок 103 и выше).В центре иллюстрации показан экстремум масс при сравнительно равномерном распределении массы в остальном полеИнтегральное изображение координатИнтегральное изображение взвешенных координат. Увеличенным шрифтом обозначены весовые коэффициентыПреобразование интегрального изображения со взвешенными координатами в distance field. Слева ― изображение масс. Следующее изображение ― дистанция до центра масс для региона размером 3×3 элемента. Далее ― дистанция до центров масс для регионов размерами 9×9 и 27×27 элементов. Величины дистанций на этой иллюстрации нормализуются к размеру региона, используемого для выборки.Преобразование интегрального изображения со взвешенными координатами в directed distance field. Направление и дистанция закодированы цветом в формате HSV, где Hue ― направление, Value ― нормализованная дистанция. Величины дистанций на этой иллюстрации нормализуются к размеру региона, используемого для выборки.

1. К исходному изображению масс, используемому для вычисления интегрального изображения, добавляется еще два (или три, если R = 3) компонента ― взвешенные координаты элемента, равные координатам, умноженным на массу.
2. Координаты центра масс произвольного региона вычисляется путем деления суммы его взвешенных координат на сумму его масс.
3. Вычисление центра масс региона имеет константную вычислительную сложность O(1).
4. Сложность по памяти для интегрального изображения со взвешенными координатами остается линейной O(M*N).

Сравнение методов аппроксимации функции гравитации. Сверху ― для аппроксимации используется интегральное изображение без взвешенных координат. Снизу ― для аппроксимации используется интегральное изображение со взвешенными координатами.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

где $\overline{P}$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Центр масс нескольких точечных масс на стержне

Чтобы продолжить предыдущий раздел, теперь мы разместим 3-х точечные гири на стержне.

Рис.3: Стержень с тремя точечными массами

Чтобы определить центр масс, мы разделили эту конструкцию на 2 части стержня. Для этого мы разрезаем стержень на месте и делим массу пополам на одну часть стержня, а другую половину — на другую часть стержня. Сначала мы вычисляем центры тяжести частичных стержней следующим образом, как известно из предыдущего раздела:
Икс2{\ displaystyle x_ {2}}м2{\ displaystyle m_ {2}}

Иксs1знак равно,5⋅м2м1+,5⋅м2⋅(Икс2-Икс1)+Икс1{\ displaystyle x_ {s1} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2}} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1}) + x_ {1}}

Иксs2знак равном3,5⋅м2+м3⋅(Икс3-Икс2)+Икс2{\ displaystyle x_ {s2} = {\ frac {m_ {3}} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot (x_ {3} -x_ {2}) + x_ {2}}

С учетом общей массы частичных стержней и центра масс частичные стержни теперь можно суммировать как новую точечную массу:

мИксs1знак равном1+,5⋅м2{\ Displaystyle m_ {xs1} = m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}

мИксs2знак равно,5⋅м2+м3{\ displaystyle m_ {xs2} = 0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}

С этими новыми значениями теперь вычисляется другой центр масс, который в конечном итоге является центром масс трех точечных масс:

Иксsзнак равномИксs2мИксs1+мИксs2⋅(Иксs2-Иксs1)+Иксs1{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {xs2}} {m_ {xs1} + m_ {xs2}}} \ cdot (x_ {s2} -x_ {s1}) + x_ {s1}}

При использовании это выглядит так:

Иксsзнак равно,5⋅м2+м3м1+м2+м3⋅(м3⋅(Икс3-Икс2),5⋅м2+м3+Икс2-,5⋅м2⋅(Икс2-Икс1)м1+,5⋅м2-Икс1)+,5⋅м2⋅(Икс2-Икс1)м1+,5⋅м2+Икс1{\ displaystyle {x_ {s} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}} {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot \ left ({\ frac {m_ {3} \ cdot (x_ {3} -x_ {2})} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} + x_ {2} — { \ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} — x_ { 1} \ right) + {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ { 2}}} + x_ {1}}}

Если немного переформулировать это уравнение, получится следующий результат:

Иксsзнак равноИкс1⋅м1+Икс2⋅м2+Икс3⋅м3м1+м2+м3{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {x_ {1} \ cdot m_ {1} + x_ {2} \ cdot m_ {2} + x_ {3} \ cdot m_ {3}} {m_ {1}) + м_ {2} + м_ {3}}}}

Если сравнить этот результат с результатом из предыдущего раздела, можно увидеть закономерность. Если теперь распределить n много точечных масс на стержне, центр масс можно определить следующим образом:

Иксsзнак равно1М.⋅∑язнак равно1пИкся⋅мя{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} \ cdot m_ {i}}}

Это общая масса, т.е. сумма всех точечных масс:
М.{\ displaystyle M}

М.знак равно∑язнак равно1пмя{\ Displaystyle М = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} {м_ {я}}}

Общие сведения

Пусть имеется физическое тело, на которое не оказывается влияние, то есть другие объекты не действуют или их силы воздействия скомпенсированы. Рассматриваемое тело будет находиться в состоянии прямолинейного движения или покоя. Для удобства можно принять, что объект неподвижен, например, пусть это будет лодка на поверхности воды.

Если к плавательному средству приложить силу, смещённую к началу лодки F1, судно начнёт поворачиваться в сторону направления воздействия. Если ее переместить в горизонтальной плоскости в другой конец судна, лодка начнёт также поворачиваться, но направление вращения изменится. Отсюда можно сделать вывод, что существует такая точка приложения силы, точнее, линия, при воздействии на которую лодка не изменит своего положения, то есть плавательное средство начнёт двигаться ускоренно поступательно. Допустим, это будет сила F3.

При этом точку воздействия можно перемещать по линии её направления, так как, согласно правилу, величина действия при этом не изменяется. В итоге получится точка, где пересекутся приложенные силы F3 и F4. Таких моментов можно приложить сколько угодно, при этом они все соединятся в одном месте. Точку пересечения линий действия сил, которые вызывают ускоренное поступательное движение тела, называют центром масс.

На лодку действует ещё одна сила — притяжения. На самом деле она воздействует на каждую частичку объекта, поэтому на тело одновременно оказывает влияние огромное количество моментов. Это множество и принято заменять их равнодействующей — то есть силой, приложенной к центру тяжести. В физике параметр обозначают как mg. Другими словами, это точка приложения равнодействующих сил тяжести.

Существует взаимосвязь между массой и тяжестью. Если тело разбить на кусочки и бросить их, скорость падения будет для всех тел одинаковой, так как ускорение не зависит от массы. При этом падающий объект движется поступательно.

Математическое определение

Центр масс — это средневзвешенное значение векторов положения всех массовых точек тела:
р→s{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s}} р→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dм{\ Displaystyle \ mathrm {d} м}

р→sзнак равно1М.∫Kр→dмзнак равно1М.∫Kр→ρ(р→)dV{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ mathrm {d} m} = { \ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ rho ({\ vec {r}}) \, \ mathrm {d} V}}

Это плотность на месте и в элементе объема . Знаменатель этих терминов — полная масса.
ρ(р→){\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}р→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dV{\ displaystyle dV}М.{\ displaystyle M}

В случае однородного тела плотность может быть принята как множитель перед интегралом, тогда центр масс совпадает с центром объема (геометрическим центром тяжести). Во многих случаях можно упростить расчет; например, если центральная точка объема лежит на оси симметрии тела, например, в случае сферы в центре.
ρ{\ displaystyle \ rho}

В дискретных системах можно заменить суммой по векторам положения всех массовых точек:
р→я{\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {я}}

р→sзнак равно1М.∑ямяр→я{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {i} m_ {i} \, {\ vec {r}} _ {i}}

где сумма всех индивидуальных масс равна:
М.{\ displaystyle M}мя{\ displaystyle m_ {i}}

М.знак равно∑ямя{\ Displaystyle М = \ сумма _ {я} м_ {я}}

История

Термин «центроид» появился недавно (1814 г.). Он используется вместо старых терминов « центр тяжести » и « центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французы в большинстве случаев используют « центр притяжения », а другие используют термины схожего значения.

Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.

Хотя Архимед явно не заявляет об этом предположении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был знаком с ним. Однако Жан-Этьен Монукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел — это предмет, которого Архимед не касался.

В 1802 году Шарль Босут (1730–1813) опубликовал двухтомный «Essai sur l’histoire générale des mathématiques». Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Босут приписывает Архимеду открытие центра тяжести плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.

Хотя возможно, что Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 гг. До н. Э.), Несомненно, что, когда Архимед посетил Александрию , Евклида там уже не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке — центре тяжести треугольника — непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в «Элементах» Евклида . Первое явное утверждение этого предположения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н. Э.) И встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не входило в учебники по геометрии плоскости до XIX века.

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ — поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Поиск центра тяжести

Чтобы определить центр тяжести для тела сложной формы, его нужно разделить на простые фигуры и определить точки равновесия для каждой из них. Для простых геометрических объектов используют симметрию. Например, в шаре параметр располагается в центре, в однородном цилиндре — в точке на середине оси. Частным случаем разбиения фигуры при определении является метод отрицательных площадей. Его применяют к телам, которые имеют вырезы, и при этом площадь удалённой части известна.

Вот формулы для вычисления центра в некоторых фигурах:

1. В треугольнике: x = (1/3) * (x1 + x2 + x3); y = (1/3) * (y1 + y2 + y3). Физически центр находится в точке пересечения медиан и представляет собой среднее арифметическое из координат вершин.
2. В прямоугольнике: x = b/2; y = h/2. Центр равновесия располагается в точке пересечения диагональных прямых.
3. В полукруге: x =D/2; y = 4R/3π. Искомая точка лежит на оси симметрии.
4. В круге: x = R; y = R. Точка тяжести находится в центре фигуры.

Стоит отметить, что центр тяжести объёмных тел может находиться и вне фигуры, например, как у кольца. Вообще же для трёхмерного пространства, как учат на уроках физики в 7 классе, центр тяжести тела вычисляют по формулам: x = (ΣΔ m * x) / m; y = (ΣΔ m * y) / m; z = (ΣΔ m * z) / m, где: m — масса тела, x, y, z — координаты искомой точки в пространстве. Уравнение можно переписать и в векторной форме: r = (1 / m) Σm * r, где r — радиус вектор.

Существует и ряд теорем, благодаря которым можно определить точку массы в теле:

1. При рассмотрении однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр массы будет находиться в этой плоскости.
2. Если однородное тело обладает осью симметрии, центр располагается на ней.
3. Центр симметрии однородной фигуры совпадает с центром массы.
4. Центр масс симметричных фигур находится в их геометрическом центре.

ФИЗИКА

§ 7.3. Центр масс твердого тела. Импульс твердого тела

Вывод законов движения твердого тела на основе законов динамики материальной точки — сложная задача. Мы не будем останавливаться на ее общем решении. Вначале познакомимся с динамикой наиболее простого, поступательного, движения твердого тела

Для этого нужно ввести очень важное для динамики твердого тела понятие — центр масс.

Центр масс

Бросим палку так, чтобы в полете она вращалась в вертикальной плоскости. Если палка однородная, то можно заметить, что точка, находящаяся в центре палки, движется по плавной линии — такой, по которой летел бы брошенный камень, сама же палка вращается вокруг этой точки (рис. 7.15).

Рис. 7.15

Прикрепим к одному из концов палки груз и снова ее бросим таким же образом. Движение будет похожим, однако точка, движущаяся по плавной кривой, оказывается не в центре палки, а ближе к грузу (рис. 7.16).

Рис. 7.16

Из этого примера можно сделать вывод, что существует такая точка тела, которая движется так, как будто на нее действуют только внешние силы, причем ее положение зависит от того, как распределена масса внутри тела. Такую точку назовем центром масс тела.

Пусть система состоит из двух материальных точек массами m₁ и m₂. Разумно предположить, что центр масс расположен на отрезке прямой, соединяющей эти точки, и находится ближе к точке с большей массой. Наиболее простым будет предположение, что расстояния l₁ и l₂ от соответствующих точек до центра масс обратно пропорциональны массам этих точек(1), т. е.

Пусть ₁ и ₂ — векторы, проведенные от точек к центру масс; ₁ и ₂ — радиусы-векторы точек, а _с — радиус-вектор, проведенный из начала координат к центру масс этих двух точек. Тогда, как видно из рисунка 7.17,

Умножив обе части первого уравнения на m₁ а второго на m₂, сложим их. В результате получится:

Но из рисунка 7.17 и формулы (7.3.1) следует, что m₁₁ = -m₂₂. Таким образом, для системы, состоящей из двух точек, положение центра масс определяется радиусом-вектором

Рис. 7.17

Обобщим это соотношение на случай системы из произвольного числа материальных точек. В частности, этой системой может быть твердое тело. Если массу отдельного i-гo элемента (материальной точки) обозначить через Δm₁ а радиус-вектор через ₁, то положение центра масс будет определяться по формуле:

где m = — суммарная масса системы.

Как и любое векторное соотношение, формула (7.3.3) представляет собой компактную запись трех независимых выражений, определяющих координаты центра масс:

Здесь x_i, y_i, z_i — координаты одного из элементов тела (рис. 7.18). Далее мы докажем, что точка с координатами, определяемыми выражениями (7.3.4), действительно движется так, как движется материальная точка под действием внешних сил, приложенных к телу.

Рис. 7.18

Мы не будем сейчас обсуждать методы нахождения центра масс различных тел. Ограничимся лишь достаточно очевидным указанием на то, что центр масс всех однородных тел, имеющих центр симметрии, совпадает с этим центром. Так, центр масс однородного шара совпадает с его центром. Центр масс параллелепипеда находится в его центре симметрии. А центр масс однородного стержня находится в его середине.

Центр масс твердого тела может находиться и вне самого тела, например у однородной сферы или у кольца. Но все равно ускорение этой точки, не находящейся в твердом теле и соответственно не являющейся материальной точкой, тоже будет определяться внешними силами, приложенными к телу.

Импульс твердого тела

Докажем, что импульс твердого тела равен импульсу материальной точки, масса которой равна массе тела, а скорость равна скорости центра масс.

Импульс твердого тела по определению равен суммарному импульсу всех его точек:

где _i — скорости отдельных точек тела.

С другой стороны, согласно (7.3.3)

Пусть за малое время Δt радиусы-векторы элементов тела изменяются на Δ₁. Тогда и радиус-вектор центра масс изменится на Δ_с:

Разделим левую и правую части этого выражения на Δt:

Но — скорость i-го элемента твердого тела, а — скорость центра масс.

Следовательно,

Сравнивая это выражение с определением импульса тела (7.3.5), придем к выводу:

Это и требовалось доказать.

Заметим, что формула (7.3.10), так же как и определение центра масс (7.3.3), относится не только к твердому телу, но и к любой совокупности материальных точек. Мы ведь не требовали, чтобы расстояния между отдельными точками оставались неизменными, как это имеет место для твердого тела.

Мы ввели важное понятие: центр масс. Из дальнейшего будет видно, что определенный таким образом центр масс и является той замечательной точкой системы, для определения движения которой достаточно знания лишь внешних сил

(1) Вспомните, что подобное соотношение выполняется при равновесии рычага.

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Нахождение координат центра масс

Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$Delta x = x_2 – x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут!

где $l_1$, $l_2$ – расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c – x_1; l_2 = x_2 – x_c$,

центр масс можно определить как

где $x_c$ – координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.

Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек – 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь.

Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$.

Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый – где толщина линеек складывается. Его координаты – $$. Второй отрезок – где длинная линейка продолжается одна. Его координаты – $$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента:

$m_2 = 30 – 10 = 20$

На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки:

$m_1 = 10 cdot 2 = 20$

Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого:

Подставим значения в формулу:

Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.

Так и не нашли ответ на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе нужна помощь

Похожие записи:

6 жезлов — значение карты таро 2018 год какого животного? характеристика знака Праздники Старший аркан таро жрица (2 аркан, верховная жрица, папесса ): значение и сочетание с другими картами Магнитное поле марса: загадка красной планеты Хроническая диарея у взрослых: основные причины и методы лечения