Центростремительное ускорение

Примеры

Когда автомобиль проезжает поворот, это возможно только потому, что центростремительная сила действует внутри поворота. Он является результатом суммы боковых сил, возникающих между шиной и дорожным покрытием и действующих на транспортное средство. Если эта сила отсутствует (например, на гололеде), автомобиль продолжает движение по прямой и, следовательно, уносится за пределы кривой. Пассажир автомобиля движется по той же круговой траектории, что и автомобиль, потому что сиденье оказывает на него центростремительную силу.
На земле двигается (приблизительно) по круговой орбите вокруг Солнца . Это круговое движение вызвано гравитационной силой, действующей на Землю со стороны Солнца , которая в этом приближении является одновременно центральной и центростремительной силой

Точнее, орбита Земли, как и орбиты всех планет, не круговая, а эллиптическая (если не принимать во внимание небольшие возмущения, вызванные гравитацией Луны и других планет). Гравитация представляет собой центральную силу на Солнце, которое находится в одной из эллиптических фокусных точек

Эта центральная сила немного отклоняется от центростремительной силы, которая указывает на текущий центр кривизны орбиты. Разница между центральной силой и центростремительной силой является тангенциальной составляющей, которая гарантирует, что Земля движется ближе к Солнцу (в перигелии ) быстрее, чем на расстоянии от Солнца.
Если электроны движутся перпендикулярно однородному магнитному полю , они отклоняются по круговой траектории под действием силы Лоренца, перпендикулярной направлению движения и магнитному полю. В этом примере сила Лоренца — центростремительная сила.
В случае воздушных вихрей центростремительная сила — это градиент давления , т.е. ЧАС. в ядре вихря есть отрицательное давление.

Индивидуальные доказательства

  1. Ханс Дж. ПаусФизика в экспериментах и ​​примерах . 3-е, обновленное издание. Hanser, Мюнхен 2007, ISBN 3-446-41142-9 , стр.
  2. FRIEDHELM Kuypers: Классическая механика ., 8 — е издание 2008, стр 13, Verlag Wiley-VCH
  3. Рене Декарт: Принципы философии, перевод Артура Бухенау . 7-е издание. Феликс Майнер Верлаг, Гамбург, 1965, стр.86ff .
  4. Джон Херивел : Предпосылки принципов Ньютона и Джон Херивел: открытие Ньютоном закона центробежной силы. В: Исида. Том 51, 1960, с. 546.
  5. Доменико Бертолони Мели: релятивизация центробежной силы . В: Изида . Лента81 , нет.1 , 1990, с.23-43 , JSTOR : .
  6. Людвиг Бергманн , Клеменс ШеферМеханика, Относительность, Тепло . Ред .: Томас Дорфмюллер (=  Учебник Der Experimentalphysik . Том
  7. Обозначения в основном основаны на Карле Шильхере: Теоретическая физика, компакт для обучения. С. 89.
  8. Питер Р. Хакенеш: С. 51 и сл. (PDF; 7,19 МБ).
  9. Верена Хайнц, Анн-Мари Мартенсон-Пендрил, Анетт Шмитт, Клаус Вендт: Катание на американских горках на уроках физики. В кн . : Физика в наше время. 2009, вып.2.

Формула центростремительного ускорения

Прежде всего стоит заметить, что движение тела по окружности является сложным. Камень участвует в двух видах движения одновременно: под действием силы он движется к центру вращения, и одновременно по касательной к окружности, от этого центра удаляется. Согласно Второму закону Ньютона, сила, удерживающая камень на веревке, направлена к центру вращения вдоль этой веревки. Туда же будет направлен вектор ускорения.

Пусть за некоторое время t наш камень, равномерно двигаясь со скоростью V, попадает из точки A в точку B. Предположим, что в момент времени, когда тело пересекало точку B, на него перестала действовать центростремительная сила. Тогда за промежуток времени оно попало бы в точку K. Она лежит на касательной. Если бы в тот же момент времени на тело действовали бы только центростремительные силы, то за время t, двигаясь с одинаковым ускорением, оно оказалось бы в точке O, которая расположена на прямой, представляющей собой диаметр окружности. Оба отрезка являются векторами и подчиняются правилу векторного сложения. В результате суммирования этих двух движений за отрезок времени t получаем результирующую движения по дуге AB.

Если промежуток времени t взять пренебрежимо малым, то дуга AB будет мало отличаться от хорды AB. Таким образом, можно заменить движение по дуге движением по хорде. В этом случае перемещение камня по хорде будет подчиняться законам прямолинейного движения, то есть пройденное расстояние AB будет равно произведению скорости камня на время его движения. AB = V х t.

Обозначим искомое центростремительное ускорение буквой a. Тогда пройденный только под действием центростремительного ускорения путь можно рассчитать по формуле равноускоренного движения:

AO = at2 / 2.

Расстояние AB равно произведению скорости и времени, то есть AB = V х t,

AO – вычислено ранее по формуле равноускоренного движения для перемещения по прямой: AO = at2 / 2.

Подставляя эти данные в формулу и преобразуя их, получаем простую и изящную формулу центростремительного ускорения:

a = v2 / R

Словами это можно выразить так: центростремительное ускорение тела, двигающегося по окружности, равно частному от деления линейной скорости в квадрате на радиус окружности, по которой вращается тело. Центростремительная сила в таком случае будет выглядеть так, как на картинке ниже.

Держим курс: равномерное вращательное движение

Если объект движется с постоянной по величине скоростью по окружности, то такое движение называется равномерным вращательным движением. Примерами такого движения являются движение гоночного автомобиля по круглому треку и стрелки на циферблате часов. На рис. 7.1 показан мяч для игры в гольф, привязанный нитью к шесту и совершающий движение по окружности. Мяч совершает движение с одинаковой по величине скоростью, но с изменяющимся направлением. Потому такое движение мяча называется равномерным вращательным движением.

Время, которое требуется мячику (или какому-либо другому объекту), чтобы полностью обогнуть окружность, называется периодом и обозначается символом ​\( T \)​. Период и линейную скорость можно легко связать, если известно пройденное расстояние, т.е. длина окружности ​\( 2\pi r \)​, а точнее ее радиус ​\( r \)​. Итак, линейная скорость мячика ​\( v \)​ равна:

а период вращения ​\( T \)​ равен:

Допустим, что длина нити равна 1 м, а период вращения равен 0,5 с. Чему в таком случае будет равна линейная скорость мячика? Подставим численные значения в одно из предыдущих соотношений и получим:

Итак, мячик вращается с линейной скоростью 13 м/с!

Превышение запаса прочности

В предыдущем опыте мы имели дело с идеальной веревкой, которая не рвалась. Но, допустим, наша веревка самая обычная, и даже можно вычислить усилие, после которого она просто порвется. Для того чтобы рассчитать эту силу, достаточно сопоставить запас прочности веревки с нагрузкой, которую она испытывает в процессе вращения камня. Вращая камень с большей скоростью, вы сообщаете ему большее количество движения, а значит, и большее ускорение.

При диаметре джутовой веревки около 20 мм ее прочность на разрыв равна около 26 кН. Примечательно, что длина веревки нигде не фигурирует. Вращая груз размером в 1 кг на веревке радиусом в 1 м, можно вычислить, что линейная скорость, необходимая для ее разрыва равна 26 х 103 = 1кг х V2 / 1 м. Таким образом, скорость, которую опасно превышать, будет равна √26 х 103 = 161 м/с.

Исторический

Выражение центробежной силы ( по- латыни vis centrifuga ) было открыто Христианом Гюйгенсом в 1659 году, задолго до того , как Исаак Ньютон сформулировал фундаментальный принцип динамики и четко определил общее понятие силы . Открытые им теоремы были опубликованы в 1673 году в качестве приложения к его « часам осциллятора» . Мемуары 1659 года были опубликованы только в 1703 году, примерно через десять лет после его смерти.

Со времен Галилея мы знаем, что тела падают в свободном падении с равномерно ускоренным движением. С точки зрения Гюйгенса, тело притягивает проволоку, которая удерживает ее, когда это тело стремится двигаться в направлении протяжения проволоки с равномерно ускоренным движением. По его словам, это правило применяется не только к тяжелому телу, но и к телу, вращающемуся по кругу на конце проволоки вокруг фиксированной точки. В последнем случае сила тяги, оказываемая на проволоку, противодействует центробежной силе, которая в случае разрыва проволоки отодвигает тело от его круговой траектории, заставляя его следовать по прямолинейной траектории, касательной к окружности. Относительно круга, когда проволока обрывается, расстояние между точкой, занимаемой телом на касательной, и точкой, которую оно занимало бы на окружности, увеличивается при равномерно ускоренном движении. Затем сравнение со свободным падением позволяет Гюйгенсу определить выражение центробежной силы по отношению к весу. В нем, в частности, говорится, что:

  • Утверждение I: при постоянной угловой скорости центробежная сила пропорциональна радиусу окружности;
  • Предложение II: при постоянном радиусе оно пропорционально квадрату скорости;
  • Утверждение V: центробежная сила движущегося тела, пересекающего круг со скоростью, равной скорости, полученной в конце свободного падения на четверть диаметра, равна его весу.

В современных обозначениях утверждение V гласит, что если R — радиус круговой траектории, и если v — скорость, полученная в конце свободного падения с высоты R / 2, (т.е. где g — это l ‘ускорение свободного падения ), то центробежное ускорение равно г либо . Утверждения I и II утверждают, что центробежное ускорение есть во всех случаях.
vзнак равнорграмм{\ displaystyle v = {\ sqrt {Rg}}}v2р{\ displaystyle v ^ {2} / R}v2р{\ displaystyle v ^ {2} / R}

Выражение силы фиктивное появляется у Кориолиса в 1844 году.

Другое использование термина

Хотя в большей части научной литературы термин центробежная сила используется для обозначения определенной фиктивной силы, возникающей во вращающихся рамах, в литературе есть несколько ограниченных примеров применения этого термина к другим отдельным физическим концепциям. Один из таких примеров встречается в лагранжевой механике . Лагранжева механика формулирует механику в терминах обобщенных координат { q k }, которые могут быть такими же простыми, как обычные полярные координаты или гораздо более обширный список переменных. В этой формулировке движение описывается в терминах обобщенных сил , используя вместо законов Ньютона в уравнения Эйлера-Лагранжа . Среди обобщенных сил силы, включающие квадрат производных по времени {(d q k    ⁄  dt  ) 2 }, иногда называют центробежными силами. В случае движения в центральном потенциале лагранжева центробежная сила имеет ту же форму, что и фиктивная центробежная сила, полученная в совместно вращающейся системе отсчета. Однако использование лагранжианом «центробежной силы» в других, более общих случаях имеет лишь ограниченную связь с ньютоновским определением.
(р, θ){\ Displaystyle (г, \ \ тета)}

В другом случае термин относится к силе противодействия центростремительной силе или реактивной центробежной силе . Тело, совершающее искривленное движение, такое как круговое движение , ускоряется к центру в любой конкретный момент времени. Это центростремительное ускорение обеспечивается центростремительной силой, которая действует на тело в криволинейном движении каким-либо другим телом. В соответствии с , искривленное тело оказывает на другое тело равную и противоположную силу. Эта реактивная сила воздействует на организм в искривленном движении на другом теле , которое обеспечивает центростремительной силы и ее направление от этого другого тела по направлению к телу в искривленном движении.

Эта сила реакции иногда описывается как центробежная инерционная реакция , то есть сила, направленная центробежно, которая является реактивной силой, равной и противоположной центростремительной силе, изгибающей путь массы.

Понятие реактивной центробежной силы иногда используется в механике и машиностроении. Иногда это называют просто центробежной силой, а не реактивной центробежной силой, хотя такое использование не рекомендуется в элементарной механике.

Общие сведения

Явления, происходящие в окружающем мире, описываются рядом изменений, зависящих от времени и пространства. Простейшим видом такого процесса является движение, то есть изменение положения материальной точки относительно других окружающих объектов. Кинематика изучает любое перемещение, но при этом не выясняет вызвавших его причин. Несмотря на то что любое физическое тело имеет размеры, ими обычно пренебрегают, считая любое тело точкой.

Движение представляет собой векторную величину и является отрезком, соединяющим начальное положение с конечным. Путь же, пройденный точкой, считается скалярным и определяется как дуга траектории, пройденная телом за установленный промежуток времени.

Обозначать ускорение в физике условились латинской буквой «a». Находят параметр по формуле: a = dv / dt, где dV и dt — изменение скорости и времени. Существует несколько видов физической величины:

  1. Тангенциальное (касательное) — характеризует изменение быстроты, направленной по касательной.
  2. Центростремительное (нормальное) — наблюдается при перемещении как по окружности, так и по траектории, описываемой ненулевой кривизной.
  3. Угловое — показывает, как изменяется угловая скорость за определённый промежуток времени, то есть относительно центра вращения к радиусу окружности.
  4. Полное — складываемое из предыдущих видов ускорения.

Пусть имеется тело, которое движется по окружности. В начальный момент оно находилось в точке один, а после переместилось в точку два. Произошло это за время, равное Δt. За этот промежуток физический объект повернулся на угол f. Для описания процесса вводится понятие «угловая скорость». Обозначается она буквой гамма (w) и равняется углу, на который повернулось тело за единицу времени: w = f / Δt.

Простым примером нормального ускорения является движение по окружности. Вызывается оно силами, приложенными ортогонально вектору скорости. На чертеже его можно изобразить как вектор, перпендикулярный касательной пути в выбранной точке. Рассчитывается центростремительное ускорение по формуле: an = w 2 * R, где w — угловая скорость, R — радиус кривизны. В векторном виде формула принимает вид: an = (V2 / R) * e, где e — единичный вектор, рассчитываемый от центра кривизны к точке.

Стремимся к центру: центростремительная сила

На крутых поворотах действие центростремительного ускорения обеспечивается трением шин по дороге. Какую силу нужно приложить, чтобы удержать движущийся со скоростью ​\( v \)​ автомобиль на повороте с радиусом кривизны ​\( r \)​?

Допустим, что в примере на рис. 7.1 легкий мяч заменили на тяжелое пушечное ядро. Теперь, чтобы поддерживать движение ядра по окружности с тем же радиусом и периодом вращения, потребуется гораздо большая сила.

Центростремительная сила ​\( F_ц \)​, необходимая для равномерного вращения по окружности с радиусом ​\( r \)​ объекта массой ​\( m \)​ с постоянной скоростью ​\( v \)​, равна:

С помощью этого уравнения можно легко определить силу, необходимую для равномерного вращения объекта по окружности с известной массой, скоростью и радиусом окружности.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 мяч движется со скоростью ​\( v \)​ = 13 м/с и удерживается нитью длиной 1,0 м, т.е. в данном случае радиус окружности ​\( r \)​ = 1 м. Какая сила потребуется, чтобы поддерживать такое же движение для пушечного ядра с массой 10 кг? Подставляя численные значения в уже известную нам формулу, получим:

Приличная сила! Остается только надеяться, что ваши руки достаточно сильны, чтобы удержать ядро.

Принцип действия гироскопа и его применение на практике

Гироскоп представляет собой диск, вращающийся вокруг своей оси. Самый простой гироскоп — детский волчок. При вращении гироскоп сопротивляется попыткам наклонить его ось. Это его свойство называется гироскопической инерцией. Для того, чтобы раскрутить гироскоп, на ось наматывают тонкий шнурок и дергают за него, держа в руках рамку. Быстро вращающийся может стоять на острие карандаша или на кончике пальца: гироскопическая инерция не дает оси колеса отклоняться от своего положения. Это явление используется в гирокомпасах и гиростабилизаторах.

Подробное учебное видеопособие о принципе работы гироскопа

Гироскоп состоит из вращающегося на оси маховика. Рамка, в которой установлен маховик, может поворачиваться только вокруг оси вращения маховика, но ни в каком другом направлении.

Гирокомпасы — принцип его работы и применение на практике

В гирокомпасах диск гироскопа вращается постоянно — его приводит в действие электродвигатель. Ось гироскопа в двух связанных между собой кольцах, так называемом карданном подвесе. Поворот внешнего кольца не оказывает влияние на гироскоп, находящегося во внутреннем кольце.

Игрушечный гироскоп сохраняет состояние равновесия на острие карандаша. Массивный металлический диск вращается с частотой около 20 об/с. Гироскопическая инерция удерживает ось гироскопа под постоянным углом и препятствует наклону гироскопа и падению с кончика грифеля.

Внешнее кольцо карданова подвеса свободно поворачивается в любом направлении, а ось вращающегося во внутреннем кольце гироскопа остается в одном и том же положении.

Видео работы гирокомпаса в карданной подвесе

Гирокомпасы применяются на судах, в самолетах и ракетах. В отличие от магнитных компасов на их работу не влияют быстрые перемещения, находящиеся по соседству магнитные предметы и электрические провода. Когда диск гирокомпаса начинает вращаться, ось гирокомпаса устанавливают в пространстве в определенном положении, а затем она сохраняет заданную ориентацию. Если транспортное средство изменяет курс, ось гироскопа продолжает указывать первоначальное направление.

На видео лектор демонстрирует на эксперименте возможность определения направления Земли с помощью гироскопа.

Гиростабилизаторы и их применение

Гиростабилизаторы — это сложные устройства, которые уменьшают качку судов в море. Гироскопы, установленные в карданном подвесе, реагируют на изменения положения судна при качке. Датчики на подвесе посылают сигналы, которые после обработки компьютером используются для управления горизонтальными рулями на днище корабля. Эти рули действуют как крылья — они создают силу, которая стремится наклонить корпус судна в сторону, обратную наклону от ударов волн. Постоянная работа горизонтальных рулей позволяет судну идти практически без бокового крена.

Как работает гироскутер

Сегодня среди мобильных средств передвижения набирает популярность гироскутер на двухколесной платформе, принцип которого основан на вышеописанном гироскопе.

Подробнее разобраться в принципе его работы нам поможет видеоролик.

Решение

На рисунке представлена ​​диаграмма свободного тела наблюдателя, движущегося вместе с монетой. Нормальный N что поворотный стол поднимается вертикально вверх уравновешен с весом W, а центробежная сила Fграмм компенсируется статическим трениемFприкоснуться.

N — W = 0

Fприкоснуться — Fграмм = 0

Величина центробежной силы равна мв2/ Р, как сказано в начале, тогда: 

Fприкоснуться = Fграмм = mv2/ Р

С другой стороны, сила статического трения определяется как:

Fруб = μs.N

куда μs — это коэффициент трения покоя, безразмерная величина, значение которой зависит от того, как поверхности находятся в контакте. Подставляем это уравнение:

μs.N = mv2/ R → μs = mv2/R.N

Остается определить величину нормы, которая связана с весом согласно N = мг. Подставляя снова:

μs = mv2/R.mg → μs = v2/ Rg

Возвращаясь к заявлению, он сообщает, что монета вращается со скоростью 33 оборота в минуту, что является угловой скоростью или угловой частотой. ω, связанная с линейной скоростью v:

v = ω.R = 33 об / мин. 2π радиан / об. 15 см. (1 мин / 60 с) = 51,8 см / с

μs = v2/Rg=(51,8 см / с)2/ (15 см x 981 см / с2)= 0.18

Результаты этого упражнения были бы такими же, если бы была выбрана инерциальная система отсчета. В таком случае единственная сила, способная вызвать ускорение к центру, — это статическое трение.

Что общего между ними

Пришло время сравнить центробежную и центростремительную силы. У них есть отличия и сходства. Вот общие черты:

Равны по значению

Земля кружится вокруг Солнца по эллиптической орбите. Когда планета пролетает на расстоянии 147 миллионов километров, её скорость равна 30,2 км/с. Этот участок называется перигелий. Здесь Fцб больше всего, потому что скорость выше средней, а промежуток между планетой с центром вращения короткий.

На расстоянии в 152 миллиона километров до Солнца скорость падает до 29,2 км/с. Эта зона называется афелием. Здесь Fцб самая низкая, потому что дистанция до звезды больше, а скорость ниже средней.

Между перигелием и афелием планета летит со средней скоростью 29,8 км/с.

Возникают одновременно

Они появляются, когда предмет движется криволинейно. Вот примеры для наглядности:

В лопасти конструкции с электромотором повесили два груза. Мотор закрутил их, появилась инерция. Они начали кружиться на лопастях, но не улетели. Их удержала Fцс.

Автомобиль разогнался до 120 км/ч и пошёл в вираж. Машину занесло, она поменяла направление движения за счёт Fцб. Но автомобиль не вылетел с дороги и остался на полосе. Так получилось, потому что Fцс удержала машину.

Во всех примерах они стали действовать одновременно.

Центростремительное ускорение при движении по окружности: понятие и формулы. Центробежная и центростремительная силы

При изучении движения в физике важную роль играет понятие траектории. Именно она определяет во многом тип перемещения объектов и, как следствие, вид формул, с помощью которых описывают это перемещение. Одной из распространенных траекторий движения является окружность. В данной статье рассмотрим, что такое ускорение центростремительное при движении по окружности.

Понятие о полном ускорении

Прилагательные к слову “работа”: список примеров

Прежде чем характеризовать при движении по окружности центростремительное ускорение рассмотрим понятие полного ускорения. Под ним полагают физическую величину, которая одновременно описывает изменение значения абсолютного и вектора скорости. В математическом виде это определение выглядит так:

a¯ = dv¯/dt

Ускорение является полной производной скорости по времени.

Как известно, скорость v¯ тела в каждой точке траектории направлена по касательной. Этот факт позволяет представить ее в виде произведения модуля v на единичный касательный вектор u¯, то есть:

v¯ = v*u¯

Тогда полное ускорение можно вычислить следующим образом:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Величина a¯ представляет собой сумму векторную двух слагаемых. Первое слагаемое направлено по касательной (как скорость тела) и называется тангенциальным ускорением. Оно определяет быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое – это нормальное ускорение. Рассмотрим его подробнее далее в статье.

Нормальная компонента ускорения

Полученное выше выражение для нормальной компоненты ускорения an¯ запишем в явном виде:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Здесь dl – пройденный телом вдоль траектории путь за время dt, re¯ – единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории, r – радиус это кривизны. Полученная формула приводит к нескольким важным особенностям компоненты an¯ полного ускорения:

  • Величина an¯ растет как квадрат скорости и убывает обратно пропорционально радиусу, что отличает ее от тангенциальной компоненты. Последняя не равна нулю только в случае изменения модуля скорости.
  • Нормальное ускорение направлено всегда к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.

Таким образом, главным условием существования ненулевой величины an¯ является кривизна траектории. Если такой кривизны не существует (прямолинейное перемещение), то an¯ = 0, так как r->∞.

Ускорение центростремительное при движении по окружности

Окружность – геометрическая линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от некоторой точки. Последняя называется центром окружности, а упомянутое расстояние – это ее радиус.

Если скорость тела во время вращения не изменяется по модулю, то говорят о равнопеременном движении по окружности.

Ускорение центростремительное в этом случае легко рассчитать по одной из двух формул ниже:

an = v2/r;

an = ω2*r

Где ω – угловая скорость, измеряется в радианах в секунду (рад/с). Второе равенство получено благодаря формуле связи между угловой и линейной скоростями:

v = ω*r

Силы центростремительная и центробежная

При равномерном движении тела по окружности ускорение центростремительное возникает за счет действия соответствующей центростремительной силы. Ее вектор всегда направлен к центру окружности.

Природа этой силы может быть самой разнообразной. Например, когда человек раскручивает привязанный к веревке камень, то на своей траектории его удерживает сила натяжения веревки.

Другим примером действия центростремительной силы является гравитационное взаимодействие между Солнцем и планетами. Именно оно заставляет двигаться по круговым орбитам все планеты и астероиды.

Центростремительная сила не способна изменить кинетическую энергию тела, поскольку направлена она к его скорости перпендикулярно.

Центробежная и центростремительная силы равны друг другу по величине и противоположны по направлению. Если бы этого не было, то круговая траектория движения тела нарушилась бы. Если учесть второй закон Ньютона, то можно утверждать, что при вращательном движении ценробежное ускорение равно центростремительному.

Источник

Вывод путем анализа

Другая стратегия вывода — использовать полярную систему координат , предполагая, что радиус остается постоянным, и вычислять дважды.

Позвольте быть вектором, описывающим положение массы в момент времени t . Поскольку движение предполагается равномерным круговым, мы имеем где г постоянна (радиус окружности) и представляет собой единичный вектор , указывающий от начала координат к массе. Направление описывается θ , углом между осью x (x) и единичным вектором, измеренным против часовой стрелки (против часовой стрелки). Выражаясь в декартовой системе координат с использованием единичных векторов (ось x , x ) и (ось y , y ), мы имеем
р→(т){\ Displaystyle {\ vec {R}} (т)}р→(т)знак равнор⋅ты^р{\ Displaystyle {\ vec {R}} (т) = г \ cdot {\ шляпа {и}} _ {R}}ты^р{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R}}я^{\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {i}}}j^{\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {j}}}

ты^рзнак равнопротивоs(θ)⋅я^+sянет(θ)⋅j^{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} = cos (\ theta) \ cdot {\ hat {i}} + sin (\ theta) \ cdot {\ hat {j}}}

Примечание. В отличие от декартовых единичных векторов, которые являются постоянными, направление единичного вектора в полярных координатах зависит от угла θ , и, следовательно, его производные зависят от времени.

Путем дифференцирования для получения вектора скорости:

v→знак равнорdтыр→dт{\ displaystyle {\ vec {v}} = r {\ frac {d {\ vec {u_ {R}}}} {dt}} \,}
v→знак равнорdθdттыθ→{\ displaystyle {\ vec {v}} = r {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ vec {u _ {\ theta}}} \,}
v→знак равнорωтыθ→{\ displaystyle {\ vec {v}} = r \ omega {\ vec {u _ {\ theta}}} \,}

где ω — угловая скорость dθ / dt, а — единичный вектор, который перпендикулярен и указывает в направлении увеличения θ . В декартовых координатах у нас есть .
ты^θ{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta}}ты^р{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R}}ты^θзнак равно-sянет(θ)⋅я^+противоs(θ)⋅j^{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} = — грех (\ theta) \ cdot {\ hat {i}} + cos (\ theta) \ cdot {\ hat {j}}}

Этот результат показывает, что вектор скорости направлен по окружности, и путем повторного вывода мы получаем ускорение в→{\ displaystyle {\ vec {a}}}

в→знак равнор(dωdттыθ→-ω2тыр→){\ displaystyle {\ vec {a}} = r \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ vec {u _ {\ theta}}} — \ omega ^ {2} {\ vec { u_ {r}}} \ right) \,}

Итак, радиальная составляющая ускорения равна:

а R = — ω 2 r