Пространственный прорыв: что узнали учёные о четвёртом измерении

Что такое гиперкуб? Построение тессеракта

Гиперкуб – это обобщающее название куба в производном числе измерений. Всего измерений десять, плюс точка (нулевое измерение).

Соответственно, существует одиннадцать видов гиперкуба. Рассмотрим построение тессеракта – гиперкуба четвертого измерения:

Для начала построим точку А (рис. 1):

Рис. 1 Точка

После, соединим ее с точкой В. Получим вектор АВ (рис. 2):

Рис. 2 Вектор

Построим вектор, параллельный вектору АВ, и назовем его CD. Соединив начала и концы векторов, получим квадрат ABDC (рис. 3):

Рис. 3 Квадрат

Теперь построим еще один квадрат A1B1D1C1, который лежит в параллельной плоскости. Соединив точки подобным образом, получим куб (рис. 4):

Рис. 4 Куб

У нас есть куб. Представьте, что положение куба в трехмерном пространстве с течением времени изменилось. Зафиксируем его новое местоположение (рис 5.):

Рис. 5 Измененное положение куба в пространстве

А теперь, мы проводим вектора, которые соединяют местоположение точек в прошлом и в настоящем. Получаем тессеракт (рис. 6):

Рис. 6 Тессеракт (построение)

Подобным образом строятся остальные гиперкубы, конечно же учитывается смысл пространства, в котором гиперкуб находится.

История

Лагранж писал в своей аналитической работе Mécanique (опубликованной в 1788 г., основанной на работе, выполненной около 1755 г.), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве — трех измерениях пространства и одном временном. В 1827 году Мёбиус понял, что четвертое измерение позволит вращать трехмерную форму на ее зеркальном отображении, и к 1853 году Людвиг Шлефли открыл много многогранников в более высоких измерениях, хотя его работа не была опубликована до его смерти. Вскоре более высокие измерения были поставлены на прочную основу тезисом Бернхарда Римана 1854 года , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , в котором он считал «точкой» любую последовательность координат ( x ₁ , …, x _n ). Таким образом была установлена ​​возможность геометрии в более высоких измерениях , включая, в частности, четыре измерения.

Арифметика четырех измерений, называемых кватернионами, была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра явилась источником науки о векторном анализе в трех измерениях, о чем говорится в «Истории векторного анализа» . Вскоре после того, как tessarines и coquaternions были введены в качестве других четырехмерных алгебр над R .

Одним из первых крупных толкователей четвертого измерения был Чарльз Ховард Хинтон , начавший в 1880 году со своего эссе « Что такое четвертое измерение?». ; опубликовано в журнале Дублинского университета . Он ввел термины тессеракт , ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге « Четвертое измерение» .

Идеи Хинтона вдохновили его на создание фантазии о «Церкви четвертого измерения», которую Мартин Гарднер представил в своей колонке « Математические игры » в журнале Scientific American в январе 1962 года . В 1886 году Виктор Шлегель описал свой метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля .

В 1908 году Герман Минковский представил документ , обобщающий роль времени как четвертое измерение пространства — времени , основой для Эйнштейна теорий специальной и общей теории относительности . Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой , глубоко отличается от той, которую популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало новой математики, совершенно отличной от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалось по совершенно другим направлениям. Это разделение было менее четким в массовом воображении, поскольку художественная литература и философские произведения размывали это различие, поэтому в 1973 году HSM Coxeter почувствовал себя вынужденным написать:

Базис в пространстве

Линейная комбинация – это сумма некоторого набора элементов множества с допустимыми коэффициентами.

Также я собираюсь использовать в дальнейшем удобное следствие определения базиса: мы можем расширять наш базис с помощью векторов, линейно независимых с базисными.

Что значит расширить базис? Добавить еще один вектор, тем самым расширяя наше пространство еще в одном направлении.

Выше мы уже научились строить трехмерное пространство — просто объемный мир, в котором мы живем. Давайте попробуем расширить наш базис. Самым очевидным расширением базиса будет добавление времени, как еще одного параметра. То есть четырехмерное измерение — это объемная жизнь с привязкой ко времени. Ну разве это не похоже на обычную жизнь человека? То есть все это время мы жили в четырехмерном пространстве, а не трехмерном?…

И, как не сложно заметить, время линейно независимо от объема, то есть наше расширение базиса вполне корректно.

Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?

Тессерракт — четырехмерный куб

Всем знакомо сокращение 3D, означающее «трёхмерный» (буква D — от слова dimension — измерение). Например, выбирая в кинотеатре фильм с пометкой 3D, мы точно знаем: для просмотра придётся надеть специальные очки, но зато картинка будет не плоской, а объёмной. А что такое 4D? Существует ли «четырёхмерное пространство» в реальности? И можно ли выйти в «четвёртое измерение»?

Чтобы ответить на эти вопросы, начнём с самого простого геометрического объекта — точки. Точка нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка — остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений: он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.

Тессеракт — четырехмерный куб

Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть так, как раньше точку. Можно представить себе, что наш отрезок — это основание широкой и очень тонкой кисти. Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения — ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость — это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат — каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.).

Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) — трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве, в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве — на плоскости, — нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.

Тессеракт — четырехмерный куб

Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство — это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.

На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом, например количеством секунд, прошедших с определенной даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени — от момента создания до момента разрушения.

Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.

Специальная теория относительности

Энергия объекта, перемещающегося на скорости v, равна:

(m – масса объекта в состоянии покоя, а m = γm – масса, когда объект перемещается). Эта формула сразу показывает, почему невозможно обогнать световую скорость. При v → c, m → ∞, и для ускорения объекта требуется бесконечное количество энергии.

Теория четырёхмерной вселенной[править]

Сенсациолог Евстафиард Мотвейник сделал сенсационное открытие, что в действительности пространство нашей вселенной четырёхмерное. Но как рождённый ползать летать не может, прикованный к двухмерной плоскости, так и мы прикованы к нашему жалкому трёхмерному пространству, пока не научимся делать такое движение, которому даже не придумали слово, потому что не осознали четырёхмерные движения.

Самое простое изображение четырёхмерного пространства в двумерном для трёхмерных существ.

Из этого Евстафиард Мотвейник сделал следующие выводы:

• Корень всех болезней — в сквозняке, который царит абсолютно во всех домах. Ведь мы заключаем себя всего лишь в трёхмерный куб с шестью гранями — четыре стены, пол и потолок. Мы забываем про ещё две стороны гиберкуба, и ветер четвёртого измерения продувает нас. А не замечаем мы этот ветер потому, что каждая молекула ветра пребывает в нашем конкретном пространстве лишь короткое мгновение. Поставьте в вашем доме ещё всего две стены, и вам не будут грозить рак, СПИД, депрессия и пузырьковая грыжа! Как, вы не знаете что такое пузырьковая грыжа? А, ну да, вы же не осознаёте, что весь мир четырёхмерный, включая ваше тело…
• Чтобы пройти сквозь стену, достаточно её обойти.
• Лилипуты с большой головой и маленьким телом на самом деле люди обычного размера, и по форме не отличаются от нас, просто они неправильно повернулись при рождении.
• Поскольку планеты представляют собой гипершары, мы видим лишь малую их часть, лишь одно их трёхмерное пространство. Поэтому когда мы откроем способ перемещения по четвёртой оси, нас ждут открытия ещё множества континентов и океанов на нашей же родной планете.
  • Поскольку поверхность гипершара всё равно в любой точке равноудалена от центра, для человека перемещение по планете вдоль четвёртой оси выглядит так, будто планета увеличивается (если движение идёт к центральному пространству планеты) или уменьшается (если движение идёт к одному из двух крайних пространств), до тех пор пока не превратится в точку — пустоту в голубом небе со всех сторон. При этом сила тяжести остаётся прежней — ведь мы на всё той же планете с той же массой. Когда откроют способ движения по четвёртой оси и освоят крайние пространства, за жильё и туризм в тех местах будут зашибать огромные деньги — ведь всем хочется жить якобы на крохотной экологически-чистой планетке, при том что все блага цивилизации всё равно на этой планете.
  • Мы зря смеялись над беларусскими устрицами. Беларусь и правда ловит свои устрицы. Беларусские друиды знают тайную технику перемещения по четвёртой оси, и всего через полкилометра Балтика делает залив в Беларусь. О, как мило море сердцу истинного беларуса!
  • Точка Немо не совпадает с координатами Р’льеха, потому что рассчитывая точку Немо, не учли моря и берега других пространств. Р’Льех же расположен в истинной точке Немо.
  • Возможно, ужасные непостижимые четырёхмерные Древние заполняют всю нашу четырёхмерную планету и четыре измерения для них естественны, а нам они выделили лишь тоненькое пространствийшко из какой-то своей блажи.

Четырёхмерный куб. Именно по такому принципу ползут четырёхмерные плоские черви.

Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную
Вечерю, посмотрев на
одноимённую картину
(1495-1498)
Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит
лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном
и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц…
Вы не получите полного представления о
происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы
не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого
интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе.
Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к
пониманию, каков он.

Что такое пространство

Наше обычное восприятие невозможно без использования образов пространства и времени. Все физические теории, начиная с механики Ньютона и кончая современным вариантом теории струн, заранее предполагают существование пространства-времени как некой реальности, в которую погружены объекты — частицы классической механики или струны в теории струн. Но уже сейчас понятно, что такое представление слишком упрощает дело в пользу наглядности.

Теория струн постепенно рождает новый образ: струны — это нити, из которых соткана ткань пространства-времени. Более научно можно сказать, что особое согласованное состояние колеблющихся синхронным образом струн формирует структуру пространства-времени.

Вероятно, пространство-время сформировалось вскоре после Большого взрыва, когда создающие структуру пространства-времени струны включились в упорядоченный танец колебаний, а до этого момента пространства-времени не существовало.

Сейчас теоретики бьются над важнейшей задачей: поиском математической формулировки теории струн без обращения к изначальному понятию пространства-времени.

Геометрия

Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем у трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.

Так же, как в трех измерениях есть многогранники, состоящие из двумерных многоугольников , в четырех измерениях есть 4-многогранники, состоящие из многогранников. В трех измерениях есть 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела . В четырех измерениях есть 6 выпуклых правильных 4-многогранников , аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности порождает еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников , аналогичных 13 полурегулярным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.

В трех измерениях круг может быть выдавлен в виде цилиндра . В четырех измерениях есть несколько различных цилиндрических объектов. Сфера может быть экструдирована для получения сферического цилиндра (цилиндра со сферическими «крышками», известного как сфериндер ), а цилиндр может быть экструдирован для получения цилиндрической призмы (кубиндер). Декартово произведение двух окружностей может быть принято для получения duocylinder . Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, каждый со своими свойствами.

В трех измерениях кривые могут образовывать узлы, а поверхности — нет (если они не самопересекаются). В четырех измерениях, однако, узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, смещая их в четвертом направлении, но двумерные поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой затруднительной поверхности. Другая такая поверхность — реальная проективная плоскость .

Гиперсфера

Стереографическая проекция из Clifford тора : множество точек (сов ( ), Sin ( ), соз ( б ), Sin ( б )), который представляет собой подмножество 3-мерной сферы .

Множество точек в евклидовом 4-пространстве , находящихся на одинаковом расстоянии R от фиксированной точки P _0, образует гиперповерхность, известную как 3-сфера . Гиперобъем закрытого пространства составляет:

Vзнак равно12π2р4{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ pi ^ {2} R ^ {4}}

Это часть метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера в общей теории относительности, где R заменяется функцией R ( t ), где t означает космологический возраст Вселенной. Увеличение или уменьшение R со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри.

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть
трёхмерный объект одновременно со всех сторон.
Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный
куб? Глазом — нет. Но люди придумали способ, как
изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно.
Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают.
Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку
только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания
с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным
и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний
искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места
с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении
одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как
квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден.
Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата
(не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз. Как раз
благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба
хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот
процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него
глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться
при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно.
После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться
с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка
трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков
придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя
процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение
кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты
фигурируют в очень многих его картинах. На картине
«Распятие» (1954)
используется развёртка гиперкуба.

Векторы

Математически четырехмерное пространство — это пространство с четырьмя пространственными измерениями, то есть пространство, которому требуются четыре параметра, чтобы указать точку в нем. Например, общая точка может иметь вектор положения a , равный

азнак равно(а1а2а3а4).{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \ end {pmatrix}}.}

Это можно записать в терминах четырех стандартных базисных векторов ( e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ ), задаваемых формулой

е1знак равно(1);е2знак равно(1);е3знак равно(1);е4знак равно(1),{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}; \ mathbf {e} _ {2} = {\ begin { pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}; \ mathbf {e} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} }; \ mathbf {e} _ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}},}

так что общий вектор является

азнак равноа1е1+а2е2+а3е3+а4е4.{\ displaystyle \ mathbf {a} = a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {e} _ {3} + a_ {4} \ mathbf {e} _ {4}.}

Векторы складываются, вычитаются и масштабируются как в трех измерениях.

Скалярное произведение евклидовых трехмерных пространственных обобщающей четырех размеров , как

а⋅бзнак равноа1б1+а2б2+а3б3+а4б4.{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} + a_ {4} b_ {4 }.}

Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора,

|а|знак равноа⋅азнак равноа12+а22+а32+а42,{\ displaystyle \ left | \ mathbf {a} \ right | = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} = {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2 } ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}}},}

и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как

θзнак равноarccos⁡а⋅б|а||б|.{\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left | \ mathbf {a} \ right | \ left | \ mathbf {b} \ right |}} .}

Пространство-время Минковского — это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденным спариванием, отличным от скалярного произведения:

а⋅бзнак равноа1б1+а2б2+а3б3-а4б4.{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4 }.}

Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в четырехмерном пространстве Минковского, тогда как квадрат расстояния между (0,0,0,0) , 0,0) и (1,1,1,1) равно 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение фактически уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим хорошо известным очевидным «парадоксам» теории относительности.
б4{\ displaystyle b_ {4}}

Крест продукт не определен в четырех измерениях. Вместо этого внешний продукт используется для некоторых приложений и определяется следующим образом:

а∧бзнак равно(а1б2-а2б1)е12+(а1б3-а3б1)е13+(а1б4-а4б1)е14+(а2б3-а3б2)е23+(а2б4-а4б2)е24+(а3б4-а4б3)е34.{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) \ mathbf {e} _ {12} + (a_ {1} b_ {3} -a_ {3} b_ {1}) \ mathbf {e} _ {13} + (a_ {1} b_ {4} -a_ {4} b_ {1}) \ mathbf {e} _ {14} + (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) \ mathbf {e} _ {23} \\ + (a_ {2} b_ {4} — a_ {4} b_ {2}) \ mathbf {e} _ {24} + (a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) \ mathbf {e} _ {34}. \ end {выровнено}}}

Это бивекторное значение, с бивекторами в четырех измерениях, образующими шестимерное линейное пространство с базисом ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ , e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ). Их можно использовать для создания вращений в четырех измерениях.

Познание

Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения о линейных сегментах, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерного) и угла. (двухмерный) между ними. Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в этих задачах, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, окончательные и богатые представления 4D с увеличенным опытом восприятия в виртуальных средах 4D». В другом исследовании была проверена способность людей ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех участков пути произвольной длины, соединенных случайными ортогональными поворотами, но без ответвлений или петель (т.е. фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре Джона Макинтоша 4D Maze. Участвовавшие должны были пройти по тропе и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые участники смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи более низкого измерения были для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).

Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства

Несколько слов о зрении

Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность.

(Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)

Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)

Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.

Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.

Пересечения рёбер

Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.

Длины рёбер

Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.

Кстати, на этом рисунке отчётливо видны восемь кубов, являющихся гранями гиперкуба.

Похожие записи:

Реликтовое излучение Совместимость львов и весов: союз, заключенный на небесах Близнецы и рыбы совместимость в дружбе Онлайн гадание «на любовь» с картами ангелов дорин верче Гороскоп на 2021 год для знака дева Характеристика и совместимость кролика (кота) в гороскопе животных по годам рождения