Дипольный момент: как он рассчитывается и примеры

Метан

И метан, и углекислый газ имеют нечто общее: это высокосимметричные молекулы. В общем, чем симметричнее молекула, тем меньше ее дипольный момент.

Если мы увидим молекулу CH4, его связи C-H полярны, а электроны направлены к атому углерода, потому что он немного более электроотрицателен. Можно было бы подумать, что углерод должен быть сильно отрицательной δ-областью; как ластик с темно-красным центром и голубоватыми концами.

Однако, разделив CH4 в середине мы получили бы две половинки H-C-H, одну слева, а другую справа, аналогичные молекуле H2О. Таким образом, дипольный момент, возникающий в результате сложения этих двух мкС-Н, компенсируется дипольным моментом другой половины. Следовательно, μCH4 имеет значение 0D.

Индивидуальные доказательства

  1. Гордон М. Бэрроу: ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ . Издание 6-е, исправленное. Полное издание. Bohmann Verlag, Вена 1984, ISBN 3-528-53806-6 , Часть I 7 — Электрические и магнитные молекулярные моменты , стр.247-259 .
  2. Питер У. Аткинс, Лоретта Джонс: Химия — просто все . Ред .: Рюдигер Фауст. 2-е издание. WILEY-VCH, Weinheim 2006, ISBN 978-3-527-31579-6 , стр.86 .
  3. При температуре 20 ° C и давлении 101,325 кПа.
  4. ↑ Дэвид Р. Лид: Справочник CRC по химии и физике . 87-е издание. B&T, 2006, ISBN 0-8493-0487-3 .
  5. Жан-Мари Андре, Джозеф Дельхалль, Жан Люк Бредас: квантовая химия, помогающая конструировать органические полимеры. Введение в квантовую химию полимеров и ее приложения
  6. Пол Аллен Типлер, Джин Моска: Физика для студентов, изучающих естественные науки и технологии . Ред .: Питер Керстен, Дженни Вагнер. 8-е издание. Springer Spectrum, Берлин / Гейдельберг 2019, ISBN 978-3-662-58281-7 , стр.684 .
  7. ^
  8. Нил С. Кедди, Александра М.З. Славин, Томас Лебл, Дуглас Филп, Дэвид О’Хаган: Цис-1,2,3,4,5,6-гексафторциклогексан представляет собой лицево поляризованный циклогексан. В кн . : Химия природы .
  9. Стивен К. Риттер: « В: Новости химии и машиностроения . 93 (13), 2015, с. 5.
  10. Стивен К. Риттер: В: Новости химии и машиностроения. 94 (7), 2016, с. 23.
  11. Якоб Вударчик, Джордж Папамокос, Василис Маргаритис, Дитер Шоллмайер, Феликс Хинкель, Мартин Баумгартен, Джордж Флудас, Клаус Мюлен: гексазамещенные бензолы со сверхсильными дипольными моментами. В: Angewandte Chemie International Edition. 55, 2016, стр. 3220–3223, DOI : 10.1002 / anie.201508249 .
  12. Э. Липперт: Спектроскопическое определение дипольного момента ароматических соединений в первом возбужденном синглетном состоянии . В кн . : З. Электрохим. Лента61 , 1957, стр.962 .
  13. Н. Матага, Ю. Кайфу, М. Коидзуми: Влияние растворителя на спектры флуоресценции и дипольные моменты возбужденных молекул . В кн . : Bull. Chem. Soc. Jpn . Лента29 , 1956, стр.465 .

Квантово-механический дипольный оператор

Рассмотрим набор из N частиц с зарядами q i и векторами положения r i . Например, эта коллекция может быть молекула , состоящая из электронов, все с зарядом — е , а ядра с зарядом Ez я , где Z я представляю собой атомное число от I —  го ядра. Наблюдаемая дипольная величина (физическая величина) имеет квантово-механический дипольный оператор :

пзнак равно∑язнак равно1Nqяря.{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ mathbf {r} _ {i} \ ,.}

Обратите внимание, что это определение действительно только для нейтральных атомов или молекул, т.е. полный заряд равен нулю

В ионизированном случае имеем

пзнак равно∑язнак равно1Nqя(ря-рc),{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, (\ mathbf {r} _ {i} — \ mathbf {r} _ {c }),}

где — центр масс молекулы / группы частиц.
рc{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {c}}

Диполь во внешнем неоднородном поле.

Пусть теперь поле неоднородно в пространстве.

Если считать, что в области диполя поле меняется очень
слабо, то формула для момента остается прежней (см.8.15), и диполь также стремится
развернуться по полю (рис.8.6).

Не строго получим выражение для силы, действующей на диполь.


   (8.17)

Опять будем считать, что диполь очень маленький (точечный), то есть заряды смещены
друг относительно друга на бесконечно малый вектор
.
Это означает, что значения напряженности поля в точках нахождения зарядов бесконечно мало
отличаются друг от друга, поэтому
, где
можно
записать как полный дифференциал

где —
уже упоминавшийся ранее (см. ) набла-оператор (оператор Гамильтона)

Обратите внимание на расстановку знаков. На вектор напряженности действует весь
оператор, стоящий в скобках
, а не только оператор
,
хотя бы потому, что никто не знает, что такое градиент векторного поля (математики
такой операции еще не определили)

Таким образом, (8.17) принимает вид


   (8.19)

Еще немного поиграем с формулами векторного анализа. Нам известно (а вам?!), что


   (8.20)

Второе и четвертое слагаемые равны нулю, т.к. дипольный момент не зависит от
координат, как это отмечалось в пункте 1. Третье слагаемое в электростатике
также обращается в нуль по теореме о циркуляции (6.15). Тогда силу, действующую
на диполь можно записать в виде


   (8.21)

Вспомним, что в механике между силой и потенциальной энергией Wp
есть связь
. Тогда
очевидно, что в электростатическом поле диполь обладает потенциальной энергией


   (8.20)

Очевидно, что потенциальная энергия минимальна, если
дипольный момент и поле сонаправлены, то есть, диполь развернут по полю.

Из (8.19) или (8.21) ясно, что диполь втягивается в
область более сильного поля. Проиллюстрируем данный вывод на следующих примерах.

Пусть диполь уже развернулся вдоль поля (см. рис.8.7), то есть
. Тогда


,

причем px>0,

Fx<0.

Другой пример: диполь симметрично расположен относительно
поля (рис.8.8),
.
Поле тоже считаем симметричным относительно оси OY. Тогда


и

из симметрии поля,

а так как
.

Подытожим сказанное:

·   Диполь разворачивается вдоль поля;

·   Диполь втягивается в область
более сильного поля;

·   Электрическое поле может растянуть
диполь. (Мы рассматривали только жесткий диполь).

Дипольный момент для атома с квантовой точки зрения

Из квантовой теории известно, что если система была в состоянии k{\displaystyle k}, то вероятность найти её в состоянии l{\displaystyle l} через время t{\displaystyle t} после вынужденного излучательного перехода под действием внешнего поля E{\displaystyle E_{0}} частотой ν{\displaystyle \nu } будет равна:

al(t)=|dkl|24π2E2tsin2⁡(π(ν−ν)t)π(ν−ν)t.{\displaystyle a_{l}(t)={\cfrac {|d_{kl}|^{2}}{4\pi ^{2}}}\;E_{0}^{2}\;t\;{\cfrac {\sin ^{2}(\pi (\nu -\nu _{0})t)}{\pi (\nu -\nu _{0})t}}.}

Если наблюдать за системой продолжительное время, то последняя дробь в формуле перестаёт зависеть от времени, и выражение приведётся к виду:

al(t)=|dkl|24π2E2tδ(ν−ν),{\displaystyle a_{l}(t)={\cfrac {|d_{kl}|^{2}}{4\pi ^{2}}}\;E_{0}^{2}\;t\;\delta (\nu -\nu _{0}),}
где δ(ν−ν){\displaystyle \delta (\nu -\nu _{0})} — дельта-функция Дирака.

В указанной формуле dkl{\displaystyle d_{kl}} — это элементы матричного оператора дипольного момента d^{\displaystyle {\hat {d}}} по времени перехода k−l,{\displaystyle k\!-\!l,} которые определяются как:

dkl=e∫VΨk∗(x,y,z)⋅x⋅Ψl(x,y,z)dV,{\displaystyle d_{kl}=e\;\int _{V}\Psi _{k}^{*}(x,y,z)\cdot x\cdot \Psi _{l}(x,y,z)\;dV,}
где e{\displaystyle e} — заряд электрона,
Ψ{\displaystyle \Psi } — волновая функция (чётная либо нечётная).

В частности, очевидно, что если k=l,{\displaystyle k=l,} то интеграл станет равным нулю.

Соответственно, сам матричный оператор дипольного момента представляет собой матрицу размера , в которой элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю, а не лежащие — в общем случае не равны.

Последствия для стандартной модели и расширений

В Стандартной модели ЭДМ электронов возникает из СР-нарушающих компонентов матрицы СКМ . Момент очень мал, потому что CP-нарушение затрагивает кварки, а не электроны напрямую, поэтому оно может возникнуть только в результате квантовых процессов, когда виртуальные кварки создаются, взаимодействуют с электроном, а затем аннигилируют.

Если нейтрино являются майорановскими частицами , в стандартной модели возможен больший EDM (около 10 −33 e cm ).

За последние два десятилетия было предложено множество расширений Стандартной модели. Эти расширения обычно предсказывают большие значения для электронного EDM. Например, различные цветные модели предсказывают d e в диапазоне от 10 −27 до 10 −29  e см. Некоторые суперсимметричные модели предсказывают, что | d e | > 10 −26 e cm, но выбор некоторых других параметров или других суперсимметричных моделей приводит к меньшим прогнозируемым значениям. Настоящий экспериментальный предел, таким образом, устраняет некоторые из этих цветных / суперсимметричных теорий, но не все. Дальнейшие улучшения или положительный результат наложили бы дополнительные ограничения на то, какая теория имеет приоритет.

расчет

Электрический дипольный момент выбранных молекул
молекула Дипольный момент в Дебае Дипольный момент в 10 −30 См  · м
CO 0,11 0,367
ВЧ 1,826178 6,0915
HCl 1,109 3 700
HBr 0,827 2,759
ЗДРАВСТВУЙ 0,448 1,495
NH 3 1,471 4,907
PF 3 1.025 3,419
H 2 O 1,84 6,152
H 2 S 0,97 3,236
CH 2 O 2.34 7,806
NaCl 8,5 28 356
Театральная версия 7,33 28,690
KCl 10,48 34,261
KBr 10,41 34,728
AI 11.05 36,825
CsCl 10,387 34,647

Если есть положительный заряд   с нормированным вектором связи на расстоянии от отрицательного заряда  (это указывает от отрицательного заряда в направлении положительного заряда), и эти заряды жестко связаны друг с другом, эта структура имеет дипольный момент размер:-q{\ displaystyle -q}л{\ displaystyle l}q{\ displaystyle q}е→л{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {l}}

п→знак равноq⋅л⋅е→л{\ displaystyle {\ vec {p}} = q \ cdot l \ cdot {\ vec {e}} _ {l}}

Чем больше заряд  , тем выше дипольный момент. Даже если заряды расходятся дальше (увеличиваясь ), дипольный момент увеличивается.
q{\ displaystyle q}л→{\ displaystyle {\ vec {l}}}

Если при распределении зарядов есть заряды в местах относительно центра тяжести распределения зарядов, полный дипольный момент складывается из отдельных дипольных моментов :
п{\ displaystyle n}qя{\ displaystyle q_ {i}}р→я{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {я}}п→{\ displaystyle {\ vec {p}}}п→я{\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {я}}

п→знак равно∑язнак равно1пп→язнак равно∑язнак равно1пqяр→я.{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {p}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i } \, {\ vec {r}} _ {i}.}

В общем случае непрерывного распределения заряда дипольный момент рассчитывается с использованием плотности заряда :ρ(р→){\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}

п→знак равно∫Vρ(р→)⋅р→d3р{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ int _ {V} \ rho ({\ vec {r}}) \ cdot {\ vec {r}} \, \ mathrm {d} ^ {3} r}

Дискретный случай возникает из общего, если плотность заряда представлена отдельными зарядами и дельта-распределением :
ρ(р→){\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}qя{\ displaystyle q_ {i}} δ(р→-р→я){\ displaystyle \ delta ({\ vec {r}} — {\ vec {r}} _ {i})}

ρ(р→)знак равно∑язнак равно1пqяδ(р→-р→я).{\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} \, \ delta ({\ vec {r}} — {\ vec {r}) } _ {i}).}

Тогда интеграл объема дает только вклады в местах расположения зарядов, так что мы получаем:
р→я{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {я}}

п→знак равно∫V∑язнак равно1пqяδ(р→-р→я)р→d3рзнак равно∑язнак равно1пqяр→я{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ int _ {V} \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} \, \ delta ({\ vec {r}} — {\ vec { r}} _ {i}) \, {\ vec {r}} \, \ mathrm {d} ^ {3} r = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} \, {\ vec {r}} _ {i}}

В общем, потенциал может быть преобразован в постоянную часть и мультипольные части , включая дипольный момент.

Векторное произведение (математическое отступление).

Опыт показывает, что студентам время от времени нужно
напоминать, что такое векторное произведение двух векторов.

def:Векторным произведением
двух векторов
и
называется
вектор, модуль которого равен absina, где
a
— угол между векторами, а направление определяется
правилом правого винта (буравчика).

Правило правого винта заключается
в следующем: винт с правой (обычной) резьбой нужно вращать от первого вектора
ко второму. Тогда поступательное движение винта покажет направление векторного
произведения. Полезно запомнить, что векторное произведение всегда перпендикулярно
плоскости, образованной векторами – сомножителями. Модуль векторного произведения
численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.
Направление векторного произведения зависит от порядка сомножителей.

Действие поля на диполь

  • Во внешнем электрическом поле E→{\displaystyle {\vec {E}}} на электрический диполь действует момент сил p→×E→,{\displaystyle {\vec {p}}\times {\vec {E}},} который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.
  • Потенциальная энергия электрического диполя в электрическом поле равна −E→⋅p→.{\displaystyle -{\vec {E}}\cdot {\vec {p}}.}
  • Со стороны неоднородного поля на диполь действует сила (в первом приближении):
Σi∂E→∂xipi.{\displaystyle \Sigma _{i}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial x_{i}}}p_{i}.}

Об условиях корректности приближенных (в общем случае) формул данного параграфа — .

Почему так подробно о диполе.

Столь большое внимание, которое было уделено понятию
и свойствам электрического диполя, связано с тем, диполь является простейшей
моделью полярных молекул, которые мы будем рассматривать при изучении поля в
веществе. Необходимо отметить, что дипольный электрический момент является основной
характеристикой электрически нейтральных систем зарядов, и поэтому играет большую
роль в различных вопросах теории молекул

Если же в системе столь симметричное
расположение зарядов, что и дипольный момент равен нулю, то в дело вступает
квадрупольный момент и так далее.

Кроме того, электрический
диполь – это одно из важных понятий в теории излучения электромагнитных волн.
Переменный во времени электрический диполь является наиболее простой (и исторически
первой) моделью излучающей системы, с которой подробнее познакомимся в лекции
№35.

Общий вид поля диполя.

Легко показать, что в полярных координатах уравнение силовой линии имеет вид (рис.8.9)


r=const×sin2(a).   (8.26)

Здесь первую полярную координату r обозначим r,
чтобы не путать с плотностью заряда, а вторую полярную координату обозначим
a, чтобы не путать с потенциалом.

В самом деле, если речь идет о декартовых координатах,
то уравнение линии напряженности строится из следующих соображений

Аналогично поступаем и в полярных координатах

Используя формулу (8.14), получаем


.

После чего переменные легко разделяются


.

Данное дифференциальное уравнение интегрируется достаточно просто


lnr=2ln(sina)+C.

Из него и следует формула (8.26).

Вид поля диполя в дальней зоне представлен на рис.8.10.

Молекулярные диполи

Многие молекулы имеют такие дипольные моменты из-за неравномерного распределения положительных и отрицательных зарядов на различных атомах. Так обстоит дело с полярными соединениями, такими как фтороводород (HF), где электронная плотность распределяется между атомами неравномерно. Следовательно, диполь молекулы — это электрический диполь с собственным электрическим полем, которое не следует путать с магнитным диполем, который генерирует магнитное поле.

Физик-химик Питер Дж. В. Дебай был первым ученым, широко изучившим молекулярные диполи, и, как следствие, дипольные моменты измеряются в единицах, названных в его честь дебай .

Для молекул существует три типа диполей:

Постоянные диполи
Это происходит, когда два атома в молекуле имеют существенно разную электроотрицательность : один атом притягивает электроны больше, чем другой, становясь более отрицательным, в то время как другой атом становится более положительным. Молекула с постоянным дипольным моментом называется полярной молекулой. См. .
Мгновенные диполи
Это происходит случайно, когда электроны в одном месте молекулы больше концентрируются, чем в другом , создавая временный диполь. Эти диполи меньше по величине, чем постоянные диполи, но все же играют большую роль в химии и биохимии из-за своего преобладания. См. Мгновенный диполь .
Индуцированные диполи
Это может произойти, когда одна молекула с постоянным диполем отталкивает электроны другой молекулы, вызывая дипольный момент в этой молекуле. Молекула поляризована, когда она несет индуцированный диполь. См. .

В более общем смысле, индуцированный диполь любого поляризуемого распределения заряда ρ (помните, что молекула имеет распределение заряда) вызывается электрическим полем, внешним по отношению к ρ . Это поле может, например, происходить от иона или полярной молекулы вблизи ρ или может быть макроскопическим (например, молекула между пластинами заряженного конденсатора ). Размер индуцированного дипольного момента равен произведению силы внешнего поля и дипольная поляризуемость от р .

Значения дипольного момента могут быть получены путем измерения диэлектрической проницаемости . Вот некоторые типичные значения газовой фазы в единицах дебая :

  • углекислый газ : 0
  • окись углерода : 0,112 D
  • озон : 0,53 D
  • фосген : 1,17 D
  • водяной пар : 1,85 Д
  • цианистый водород : 2,98 D
  • цианамид : 4,27 D
  • бромид калия : 10,41 D

Линейная молекула CO 2 имеет нулевой диполь, поскольку два диполя связи сокращаются.

Бромид калия (KBr) имеет один из самых высоких дипольных моментов, потому что это ионное соединение, которое существует в виде молекулы в газовой фазе.

Изогнутая молекула H 2 O имеет чистый диполь. Два диполя связи не сокращаются.

Общий дипольный момент молекулы может быть аппроксимирована в виде из связей дипольных моментов . Как векторная сумма он зависит от относительной ориентации связей, так что из дипольного момента можно вывести информацию о геометрии молекулы .

Например, нулевой диполь CO 2 означает, что два дипольных момента связи C = O сокращаются, так что молекула должна быть линейной. Для H 2 O моменты связи O-H не сокращаются, потому что молекула изогнута. Для озона (O 3 ), который также является изогнутой молекулой, дипольные моменты связей не равны нулю, даже если связи O-O находятся между одинаковыми атомами. Это согласуется со структурами Льюиса для резонансных форм озона, которые показывают положительный заряд на центральном атоме кислорода.

Цис- изомер, дипольный момент 1,90 D

Транс- изомер, дипольный момент ноль

Пример в органической химии роли геометрии в определении дипольного момента является цис и транс — изомеров из 1,2-дихлорэтен . В цис- изомере две полярные связи C-Cl находятся на одной стороне от двойной связи C = C, а молекулярный дипольный момент равен 1,90 D. В транс- изомере дипольный момент равен нулю, поскольку две связи C-Cl являются на противоположных сторонах C = C и сокращаются (и два момента связи для гораздо менее полярных связей C-H также сокращаются).

Другой пример роли молекулярной геометрии — трифторид бора , который имеет три полярные связи с разницей в электроотрицательности, превышающей традиционно цитируемый порог 1,7 для ионной связи . Однако из-за равностороннего треугольного распределения ионов фтора вокруг катионного центра бора молекула в целом не имеет какого-либо идентифицируемого полюса: нельзя построить плоскость, которая делит молекулу на чистую отрицательную часть и чистую положительную часть.

Электрическое поле диполя

Для фиксированных угловых координат (то есть вдоль радиуса, идущем из центра электрического диполя в бесконечность) напряжённость статического электрического поля диполя или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент, на больших расстояниях r{\displaystyle r} асимптотически приближается к виду r−3,{\displaystyle r^{-3},} электрический потенциал приближается к r−2.{\displaystyle r{-2}.} Таким образом, статическое поле диполя убывает на больших расстояниях быстрее, чем поле одиночного заряда, но медленнее, чем поле любого более старшего мультиполя (квадруполя, октуполя и т. д.).

Напряжённость электрического поля и электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент) с электрическим дипольным моментом p{\displaystyle \mathbf {p} } на больших расстояниях в главном приближении выражаются как:

в СГСЭ: E=3n(n⋅p)−pr3,φ=−p⋅∇1r,{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} }{r^{3}}},\qquad \varphi =-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{r}},}
в СИ: E=3n(n⋅p)−p4πεr3,φ=−p⋅∇14πεr,{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}},\qquad \varphi =-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}r}},}
где n=rr{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}} — единичный вектор из центра диполя в направлении точки измерения, а точкой обозначено скалярное произведение.

В декартовых координатах, ось x{\displaystyle x} которых направлена вдоль вектора дипольного момента, а ось y{\displaystyle y} выбрана так, чтобы точка, в которой рассчитывается поле, лежала в плоскости x, y,{\displaystyle x,\ y,} компоненты этого поля записываются так:

Ex=pr3(3cos2⁡θ−1),{\displaystyle E_{x}={\frac {p}{r^{3}}}(3\cos ^{2}\theta -1),}
Ey=3pr3cos⁡θsin⁡θ,{\displaystyle E_{y}={\frac {3p}{r^{3}}}\cos \theta \sin \theta ,}
Ez=,{\displaystyle E_{z}=0,}
где θ{\displaystyle \theta } — угол между направлением вектора дипольного момента и радиус-вектором в точку наблюдения.

Формулы приведены в системе СГС. В СИ аналогичные формулы отличаются только множителем 14πε.{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}.}

Достаточно просты выражения (в том же приближении, тождественно совпадающие с формулами, приведенными выше) для продольной (вдоль радиус-вектора, проведенного от диполя в данную точку) и поперечной компонент напряженности электрического поля:

E||=2pr3cos⁡θ,{\displaystyle E_{||}={\frac {2p}{r^{3}}}\cos \theta ,}
E⊥=pr3sin⁡θ.{\displaystyle E_{\perp }={\frac {p}{r^{3}}}\sin \theta .}

Третья компонента напряженности электрического поля — ортогональная плоскости, в которой лежат вектор дипольного момента и радиус-вектор, — всегда равна нулю. Формулы также в СГС, в СИ, как и формулы выше, отличаются лишь множителем 14πε.{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}.}

Вывод

Имеем:

E||=(E⋅n)=3(n⋅p)−(n⋅p)r3=2(n⋅p)r3=2pcos⁡θr3,{\displaystyle E_{||}=(\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} )={\frac {3(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )}{r^{3}}}={\frac {2(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )}{r^{3}}}={\frac {2p\cos \theta }{r^{3}}},}

Теперь:

E⊥=E−nE||{\displaystyle \mathbf {E_{\perp }} =\mathbf {E} -\mathbf {n} E_{||}}

Простой также оказывается связь угла между вектором E→{\displaystyle {\vec {E}}} и радиус-вектором (или вектором n→{\displaystyle {\vec {n}}}):

tgβ=12tgθ.{\displaystyle \mathrm {tg} \beta ={\frac {1}{2}}\mathrm {tg} \theta .}

напряженности электрического поля (в СГС):

E=pr33cos2⁡θ+1.{\displaystyle E={\frac {p}{r^{3}}}{\sqrt {3\cos ^{2}\theta +1}}.}

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами pmi→, pmj→ и располагаются в точках, определенных радиус-векторами ri→rj→. Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:

Wij=-pmi→, Bj→pmj→, rj→=-μ4πpmi→, 3pmj→·r→r→r5-pmj→r3 (8).

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Пример 1

Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Решение

Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:

E→=14πεε3pe→·r→r→r5-pe→r3 (1.1), где pe→=ql→ является электрическим моментом диполя.

По выражению (1.1) наблюдается убывание напряженности поля диполя пропорционально третьей степени расстояния от диполя до точки, в которой рассматривается данное поле.

Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:

B→=μ4π3pm→·r→r→r5-pm→r3 (1.2), pm→=IS→ обозначает магнитный момент магнитного диполя.

Следуя из (1.1), (1.2), поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются. В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.

Пример 2

Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.

Решение

Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:

Wij=-pmi→, Bj→pmj→, rj→=-μ4πpmi→, 3pmj→·r→r→r5-pmj→r3 (2.1).

Где pmi→, pmj→ являются магнитными моментами диполей, ri→, rj→ – радиус-векторами, определяющими положения диполей.

Произведем преобразование (2.1), тогда:

Wij=μ4πpmjpmirij2-3rijpmjrijpmirij5=μ4πpmjpmjcosυij-3cosυjcosυirij3 (2.2), с rij=ri-rj, υij, являющимся углом между векторами pmi→, pmj→.

Из (2.2) понятно, что энергия Wij находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами pmj=pmi=p, с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения:

Wij=-μ4π2p2r3 (2.3).

Что и требовалось доказать.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.