Список радиоактивных нуклидов по периодам полураспада — list of radioactive nuclides by half-life

Средняя активность

Элемент активности

Мы называем «  активностью  » количество распадов в секунду образца, состоящего из N радиоактивных ядер. Средняя активность выражается в беккерелях (Бк), что представляет собой скорость распада ядра (количество распадов в секунду).
В{\ displaystyle A}

Активность радиоизотопа математически связана с периодом его полураспада следующим образом:

Математическая связь между активностью и средней жизнью

Мы замечаем :

В(т)знак равно|Δнет|Δтзнак равно-δНЕТδт{\ displaystyle A (t) = {\ frac {| \ Delta n |} {\ Delta t}} = — {\ frac {\ delta N} {\ delta t}}}

или же :

  • |Δнет|{\ displaystyle | \ Delta n |} количество ядер, распавшихся за период Δт{\ displaystyle \ Delta t}
  • -δНЕТδт{\ displaystyle — {\ frac {\ delta N} {\ delta t}}} изменение количества неразрушенных ядер, которое неизбежно будет отрицательным в течение положительного периода (поскольку ядра распадаются и, следовательно, их количество уменьшается).

Путем дифференцирования сразу получаем:

Взнак равноНЕТ.λ.е-λ.т{\ displaystyle A = N_ {0}. \ lambda .e ^ {- \ lambda .t}}

Заменяя радиоактивное постоянство λ на его значение, выраженное в периоде полураспада, мы видим, что активность обратно пропорциональна периоду полураспада элемента:

Взнак равноНЕТ.λзнак равноНЕТ.пер⁡(2)т12{\ displaystyle A = N. \ lambda = N. {\ frac {\ ln (2)} {t_ {1/2}}}}

Беккерель — очень маленькая единица. Когда радиоактивный элемент присутствует в метрических количествах, количество задействованных атомов порядка числа Авогадро , то есть 6,02 × 10 23 . Для элемента с периодом полураспада один миллион лет, или 30 × 10 ^ 12 секунд, один моль радиоактивного материала будет иметь активность порядка 20×10 ^ 9 Бк.

Это число (несколько миллиардов беккерелей) кажется высоким, но относительно незначительным с точки зрения радиационной защиты  : даже для активности порядка тысячи беккерелей обычно встречаются бесконечно малые доли молей  ; со своей стороны, типичные порядки радиотоксичности выражаются в мкЗв / Бк; миллионы беккерелей необходимы для достижения значительных результатов с точки зрения радиационной защиты .

Активность смеси во времени

В общем, радиоактивный изотоп проявляет специфическую активность, которая тем больше, чем меньше период его полураспада. Поэтому сильная радиоактивность быстро исчезает в геологическом масштабе. Очень радиоактивные материалы являются радиоактивными только в течение относительно короткого времени, а долгоживущая радиоактивность (в геологическом масштабе) может достигать только относительно низких уровней радиоактивности.

В случае смеси, такой как продукты деления , после определенного времени охлаждения в радиоактивности преобладают радиоизотопы , период полураспада которых порядка величины этого времени охлаждения: радиоизотопы, период полураспада которых значительно короче, распадаются быстрее. , а их уровень остаточной радиоактивности незначителен; а те, которые имеют значительно более длительный период полураспада, менее радиоактивны, и их уровень радиоактивности перекрывается уровнем более активных элементов.

Таким образом, в случае продуктов деления, которые составляют основную часть отходов HAVL  :

  • Примерно через тридцать лет, доминирующая Радиоактивность является то , что цезий — 137 (30 лет) и стронций 90 (28,8 лет), которые имеют удельную активность порядка 3,3 и 5,2. Т Ки / г соответственно. Так как эти два элемента представляют порядка 10% от продуктов деления, продукты деления , то есть общую активность по массе порядка нескольких сотен G Бк / г .
  • Спустя примерно десять тысяч лет преобладающей радиоактивностью становится технеций-99 (211000 лет), который составляет около 5% продуктов деления. Его активность по массе будучи 630 M Бк / г , активность по массе продуктов деления тогда порядка 31 МБк / г.
  • Поскольку ни один продукт деления не имеет срока службы от ста до десяти тысяч лет, активность технеция — это активность продуктов деления в течение всего этого временного интервала.

Закон радиоактивного распада

Любой радионуклидный как вероятно, распадаться в любой момент времени в качестве еще одного радионуклида того же вида, и распад не зависит от физико — химических условий , в которых найден нуклид. Другими словами, распад управляется случайностью, а закон радиоактивного распада — это статистический закон .

NB: в деталях, непрерывные измерения, кажется, показывают вариации радиоактивного распада в зависимости от скорости воздействия нейтрино, которая незначительно меняется в зависимости от положения Земли по отношению к Солнцу.

Если образец радиоактивного материала наблюдается в течение заданного интервала времени, доля ядер, подвергающихся радиоактивному распаду, будет практически постоянной из-за закона больших чисел .

Это показывает , что математически это означает , что число N ядер уменьшается со временем т после экспоненциального распада  : . Это демонстрируется следующим образом:
НЕТ(т)знак равноНЕТе-λт{\ Displaystyle N (T) = N_ {0} \, e ^ {- \ lambda t}}

Математическая демонстрация экспоненциального закона

Пусть Н ( т ) быть количество радионуклидов одного данного химического элемента , присутствующего в образце , в любой момент времени т . Поскольку вероятность распада одного из этих радионуклидов не зависит ни от присутствия других радионуклидов, ни от окружающей среды, общее количество распадов –d N за небольшой интервал времени d t ( N уменьшается со временем: d N — изменение числа N (d N <0), количество недостающих ядер равно –d N ) пропорционально количеству радионуклидов N, присутствующих в момент времени t, и продолжительности d t этого интервала:

-dНЕТзнак равноλНЕТdт{\ displaystyle — \ mathrm {d} N = \ lambda N \, \ mathrm {d} t}

где коэффициент пропорциональности λ , называемый радиоактивной постоянной рассматриваемого радионуклида, имеет размерность, обратную времени; постоянная λ положительна.

Интегрируя предыдущее дифференциальное уравнение, мы находим число N ( t ) радионуклидов, присутствующих в организме в любой момент t , зная, что в данный момент t = 0 их было N  ; это экспоненциальный закон затухания

НЕТ(т)знак равноНЕТе-λт{\ Displaystyle N (T) = N_ {0} \, e ^ {- \ lambda t}}

или же :

  • N — начальное количество неразложившихся ядер;
  • λ — радиоактивная постоянная элемента.

Однако следует отметить, что этот закон уменьшения касается только радиоактивности, вызванной исходным радионуклидом  ; но радионуклиды, образующиеся в результате радиоактивного распада исходного радионуклида, могут сами быть радиоактивными и вызывать свою собственную радиоактивность. В этом случае их радиоактивность постепенно добавляется к радиоактивности исходного радионуклида. Активность смеси, созданной таким образом между исходным радионуклидом и его потомком (ями), обсуждается в разделе «Филиализация двух зависимых изотопов» ниже.

Определение и основные соотношения[править | править код]

Зависимость числа выживших частиц от времени при экспоненциальном распаде

Понятие периода полураспада применяется как к испытывающим распад элементарным частицам, так и к радиоактивным ядрам. Поскольку событие распада имеет квантовую вероятностную природу, то если рассматривать одну структурную единицу материи (частицу, атом радиоактивного изотопа), можно говорить о периоде полураспада как промежутке времени, по истечении которого средняя вероятность распада рассматриваемой частицы будет равна 1/2.

Если же рассматривать экспоненциально распадающиеся системы частиц, то периодом полураспада T12{\displaystyle T_{1/2}} будет называться время, в течение которого распадается в среднем половина радиоактивных ядер. Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся атомов в момент времени t{\displaystyle t} связано с начальным (в момент t={\displaystyle t=0}) числом атомов N{\displaystyle N_{0}} соотношением

N(t)N=e−λt,{\displaystyle {\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-\lambda t},}
где λ{\displaystyle \lambda } — постоянная распада.

По определению, N(T12)N=12,{\displaystyle {\frac {N(T_{1/2})}{N_{0}}}={\frac {1}{2}},} следовательно, e−λT12=12,{\displaystyle e^{-\lambda T_{1/2}}={\frac {1}{2}},} откуда

T12=ln⁡2λ≈,693λ.{\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0,693}{\lambda }}.}

Далее, поскольку среднее время жизни τ=1λ{\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}, то

T12=τln⁡2≈,693τ,{\displaystyle T_{1/2}=\tau \ln 2\approx 0,693\tau ,}

то есть период полураспада примерно на 30,7 % короче, чем среднее время жизни. Например, для свободного нейтрона T12{\displaystyle T_{1/2}} = 10,3 минуты, а τ{\displaystyle \tau } = 14,9 минуты.

Не следует считать, что за два периода полураспада распадутся все частицы, взятые в начальный момент. Поскольку каждый период полураспада уменьшает число выживших частиц вдвое, за время 2T12{\displaystyle 2T_{1/2}} останется четверть от начального числа частиц, за 3T12{\displaystyle 3T_{1/2}} — одна восьмая и т. д.. При этом для каждой конкретной отдельной частицы по прошествии времени T12{\displaystyle T_{1/2}} ожидаемая средняя продолжительность жизни (соответственно, и вероятность распада, и период полураспада) не изменится — этот контринтуитивный факт является следствием квантовой природы явления распада.

Парциальный период полураспадаправить | править код

Если система с периодом полураспада T12{\displaystyle T_{1/2}} может распадаться по нескольким каналам, для каждого из них можно определить парциальный период полураспада. Пусть вероятность распада по i-му каналу (коэффициент ветвления) равна pi{\displaystyle p_{i}}. Тогда парциальный период полураспада по i-му каналу равен

T12(i)=T12pi.{\displaystyle T_{1/2}^{(i)}={\frac {T_{1/2}}{p_{i}}}.}

Парциальный T12(i){\displaystyle T_{1/2}^{(i)}} имеет смысл периода полураспада, который был бы у данной системы, если «выключить» все каналы распада, кроме i-го. Так как по определению pi≤1{\displaystyle p_{i}\leq 1}, то T12(i)≥T12{\displaystyle T_{1/2}^{(i)}\geq T_{1/2}} для любого канала распада.

Вводим характеристики радиоактивности

Данный процесс – самопроизвольное превращение атома изотопа элемента в иной изотоп с одновременным выделением элементарных частиц (электронов, ядер атомов гелия). Превращение атомов оказалось самопроизвольным, не требующим поглощения энергии извне. Основной величиной, характеризующей процесс выделения энергии в ходе радиоактивного распада, называют активность.

Активностью радиоактивного образца называют вероятное количество распадов данного образца за единицу времени. В СИ (Системе интернациональной) единицей измерения ее назван беккерель (Бк). В 1 беккерель принята активность такого образца, в котором в среднем происходит 1 распад в секунду.

А=λN, где λ- постоянная распада, N – число активных атомов в образце.

Выделяют α, β, γ-распады. Соответствующие уравнения называют правилами смещения:

название

Что происходит

Уравнение реакции

α –распад

превращение атомного ядра Х в ядро Y с выделением ядра атома гелия

ZАХ→Z-2YА-4+2He4

β — распад

превращение атомного ядра Х в ядро Y с выделением электрона

ZАХ→Z+1YА+-1

γ — распад

не сопровождается изменением ядра, энергия выделяется в виде электромагнитной волны

ZХА→ZXА+γ

Обогащение ископаемых

В некоторых отраслях науки и техники использование относительно большого количества радиоактивных веществ считается обязательным. Но при этом в естественных условиях таких соединений совсем немного.

Известно, что изотопы – это нераспространенные варианты химических элементов. Количество их измеряется несколькими процентами от самой стойкой разновидности. Именно поэтому ученым необходимо проводить искусственное обогащение ископаемых материалов.

За годы исследований удалось узнать, что распад изотопа сопровождается цепной реакцией. Освобожденные нейтроны одного вещества начинают влиять на другое. В результате этого тяжелые ядра распадаются на более легкие и получаются новые химические элементы.

Это явление получило название цепной реакции, в результате которой можно получить более стойкие, но менее распространенные изотопы, которые в дальнейшем используются в народном хозяйстве.

Применение в археологии

Известно, что в живых организмах всегда есть радиоактивный углерод-14, полураспад изотопа которого равен 5570 лет. Кроме того, ученные знают, какое количество этого элемента содержится в организме до момента его смерти. Это значит, что все спиленные деревья излучают одинаковое количество радиации. Со временем интенсивность излучения падает.

Это помогает археологам определить, как давно умерло дерево, из которого построили галеру или любой другой корабль, а значит, и само время строительства. Этот метод исследования получил название радиоактивного углеродного анализа. Благодаря ему ученым легче установить хронологию исторических событий.

Закон радиоактивного распада (ЗРР)

Период полураспада положен в основу ЗРР. Закономерность выведена Фредерико Содди и Эрнестом Резерфордом на основе результатов экспериментальных исследований в 1903 году. Удивительно, что многократные измерения, выполненные при помощи приборов, далеких от совершенства, в условиях начала ХХ столетия, привели к точному и обоснованному результату. Он стал основой теории радиоактивности. Выведем математическую запись закона радиоактивного распада.

— Пусть N– количество активных атомов в данный момент времени. По истечении интервала времени t нераспавшимися останутся N элементов.

— К моменту времени, равному периоду полураспада, останется ровно половина активных элементов: N=N/2.

— По прошествии еще одного периода полураспада в образце остаются: N=N/4=N/22 активных атомов.

— По прошествии времени, равному еще одному периоду полураспада, образец сохранит только: N=N/8=N/23.

— К моменту времени, когда пройдет n периодов полураспада, в образце останется N=N/2n активных частиц. В этом выражении n=t/T½: отношение времени исследования к периоду полураспада.

— ЗРР имеет несколько иное математическое выражение, более удобное в решении задач: N=N2-t/T½.

Закономерность позволяет определить, помимо периода полураспада, число атомов активного изотопа, нераспавшихся в данный момент времени. Зная число атомов образца в начале наблюдения, через некоторое время можно определить время жизни данного препарата.

Определить период полураспада формула закона радиоактивного распада помогает лишь при наличии определенных параметров: числа активных изотопов в образце, что узнать достаточно сложно.

Примеры расчётов[править | править код]

Пример 1править | править код

Если рассматривать достаточно близкие моменты времени t1{\displaystyle t_{1}} и t2{\displaystyle t_{2}}, то число ядер, распавшихся за этот промежуток времени t2−t1≪λ{\displaystyle t_{2}-t_{1}\ll \lambda }, можно приближённо записать как ΔN≈λN(t2−t1){\displaystyle \Delta N\approx \lambda N_{0}(t_{2}-t_{1})}.

С её помощью легко оценить число атомов урана-238, имеющего период полураспада T12=4,498⋅109{\displaystyle T_{1/2}=4,498\cdot 10^{9}} лет, испытывающих превращение в данном количестве урана, например, в одном килограмме в течение одной секунды. Имея в виду, что количество любого элемента в граммах, численно равное атомному весу, содержит, как известно, 6,02⋅1023 атомов, а в году 365⋅24⋅60⋅60{\displaystyle 365\cdot 24\cdot 60\cdot 60} секунд, можно получить, что

ΔN≈,6934,498⋅109⋅365⋅24⋅60⋅606,02⋅1023238⋅1000=12⋅106.{\displaystyle \Delta N\approx {\frac {0,693}{4,498\cdot 10^{9}\cdot 365\cdot 24\cdot 60\cdot 60}}{\frac {6,02\cdot 10^{23}}{238}}\cdot 1000=12\cdot 10^{6}.}

Вычисления приводят к тому, что в одном килограмме урана в течение одной секунды распадается двенадцать миллионов атомов. Несмотря на такое огромное число, всё же скорость превращения ничтожно мала. Действительно, в секунду из наличного количества урана распадается его доля, равная

12⋅106⋅2386,02⋅1023⋅1000=47⋅10−19.{\displaystyle {\frac {12\cdot 10^{6}\cdot 238}{6,02\cdot 10^{23}\cdot 1000}}=47\cdot 10^{-19}.}

Пример 2править | править код

Образец содержит 10 г изотопа плутония Pu-239 с периодом полураспада 24 400 лет. Сколько атомов плутония распадается ежесекундно?

Поскольку рассматриваемое время (1 с) намного меньше периода полураспада, можно применить ту же, что и в предыдущем примере, приближённую формулу:

ΔN≈Δt⋅Nln⁡2T12=Δt⋅mμNAln⁡2T12{\displaystyle \Delta N\approx \Delta t\cdot N_{0}{\frac {\ln 2}{T_{1/2}}}=\Delta t\cdot {\frac {{\frac {m}{\mu }}N_{A}\ln 2}{T_{1/2}}}}

Подстановка численных значений даёт ΔN≈1⋅,693⋅10239⋅6⋅102324400⋅365⋅24⋅60⋅60=,693⋅2,5⋅10227,7⋅1011=2,25⋅1010.{\displaystyle \Delta N\approx 1\cdot {\frac {0,693\cdot {\frac {10}{239}}\cdot 6\cdot 10^{23}}{24400\cdot 365\cdot 24\cdot 60\cdot 60}}={\frac {0,693\cdot 2,5\cdot 10^{22}}{7,7\cdot 10^{11}}}=2,25\cdot 10^{10}.}

Когда рассматриваемый период времени сравним с периодом полураспада, следует пользоваться точной формулой

ΔN=N−N(t)=N(1−2−tT12).{\displaystyle \Delta N=N_{0}-N(t)=N_{0}\left(1-2^{-t/T_{1/2}}\right).}

Она пригодна в любом случае, однако для малых периодов времени требует вычислений с очень большой точностью. Так, для данной задачи:

ΔN=N(1−2−tT12)=2.5⋅1022(1−2−17.7⋅1011)=2.5⋅1022(1−0.99999999999910)=2.25⋅1010.{\displaystyle \Delta N=N_{0}\left(1-2^{-t/T_{1/2}}\right)=2.5\cdot 10^{22}\left(1-2^{-1/7.7\cdot 10^{11}}\right)=2.5\cdot 10^{22}\left(1-0.99999999999910\right)=2.25\cdot 10^{10}.}

Формулы для периода полураспада при экспоненциальном распаде

Экспоненциальный спад можно описать любой из следующих трех эквивалентных формул::109–112

N(т)=N(12)тт12N(т)=Nе−тτN(т)=Nе−λт{displaystyle {egin {align} N (t) & = N_ {0} left ({frac {1} {2}} ight) ^ {frac {t} {t_ {1/2}}}} N (t) & = N_ {0} e ^ {- {frac {t} {au}}} N (t) & = N_ {0} e ^ {- лямбда t} конец {выровнено}}}

куда

  • N — начальное количество вещества, которое будет распадаться (это количество может быть измерено в граммах, молях, количестве атомов и т. д.),
  • N(т) — это количество, которое все еще остается и еще не разложилось через некоторое время. т,
  • т1⁄2 — период полураспада распадающегося количества,
  • τ это положительное число называется средняя продолжительность жизни затухающего количества,
  • λ положительное число, называемое постоянная распада убывающего количества.

Три параметра т1⁄2, τ, и λ все напрямую связаны следующим образом:

т12=пер⁡(2)λ=τпер⁡(2){displaystyle t_ {1/2} = {frac {ln (2)} {lambda}} = au ln (2)}

где ln (2) — натуральный логарифм 2 (примерно 0,693).:112

Распад двумя или более процессами

Некоторые величины одновременно распадаются за счет двух процессов экспоненциального затухания. В этом случае фактический период полураспада Т1⁄2 может быть связано с периодом полураспада т1 и т2 что количество имело бы, если бы каждый из процессов распада действовал изолированно:

1Т12=1т1+1т2{displaystyle {frac {1} {T_ {1/2}}}} = {frac {1} {t_ {1}}} + {frac {1} {t_ {2}}}}

Для трех или более процессов аналогичная формула имеет вид:

1Т12=1т1+1т2+1т3+⋯{displaystyle {frac {1} {T_ {1/2}}}} = {frac {1} {t_ {1}}} + {frac {1} {t_ {2}}} + {frac {1} {t_ {3}}} + cdots}

Для доказательства этих формул см. .

Примеры

Период полураспада продемонстрирован с использованием кубиков в классный эксперимент

Существует период полураспада, описывающий любой процесс экспоненциального распада. Например:

  • Как отмечалось выше, в радиоактивный распад период полураспада — это промежуток времени, по истечении которого существует 50% -ная вероятность того, что атом подвергнется ядерный разлагаться. Он варьируется в зависимости от типа атома и изотоп, и обычно определяется экспериментально. Видеть Список нуклидов.
  • Ток, протекающий через RC схема или же Цепь RL распадается с периодом полураспада ln (2)RC или ln (2)L / R, соответственно. В этом примере термин половина времени имеет тенденцию использоваться, а не «период полураспада», но они означают одно и то же.
  • В химическая реакция, период полураспада вида — это время, необходимое для того, чтобы концентрация этого вещества упала до половины от его первоначального значения. В реакции первого порядка период полураспада реагента составляет ln (2) /λ, куда λ это константа скорости реакции.

Вопросы на тему «Радиоактивность»

Вопрос 1. Что такое радиоактивность?

Ответ. Радиоактивностью называют способность некоторых нестабильных атомных ядер самопроизвольно превращаться в другие ядра с испусканием частиц. Испускание (или излучение) таких частиц называется радиоактивным излучением.

Вопрос 2. Какие частицы излучаются при превращении ядер?

Ответ. Различают превращения ядер с излучением α (альфа)-частиц, β (бета)-частиц (электронов) и сопровождающихся γ(гамма)-излучением.

Вопрос 3. Когда было открыто явление радиоактивности?

Ответ. Явление радиоактивности было открыто в 1896 году французским физиком Анри Беккерелем.

До Беккереля французский исследователь Ньепс де Сен-Виктор в промежутке между 1856 и 1861 в своих экспериментах предполагал, что соли урана испускают какое-то невидимое для человеческого глаза излучение.Тогда эти сообщения не были восприняты научным сообществом, и первооткрывателем явления принято считать Беккереля. 

Вопрос 4. Что такое атомное ядро?

Ответ. Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточена практически вся масса атома и его положительный электрический заряд. Все атомные ядра состоят из элементарных частиц: протонов и нейтронов, которые считаются двумя зарядовыми состояниями одной частицы — нуклона. Протон имеет положительный электрический заряд, равный по абсолютной величине заряду электрона. Нейтрон не имеет электрического заряда.

Радий стал популярен и в начале XX века, даже считался полезным и включался в состав многих продуктов питания и бытовых предметов: хлеб, шоколад, питьевая вода, зубная паста, краска для циферблатов наручных часов. Однако впоследствии выяснилось, что радий чрезвычайно радиотоксичен, и использование его было остановлено.

Вопрос 5. Что такое изотопы и изобары?

Ответ. Ядра с одинаковыми Z, но различными А называются изотопами. Ядра, которые при одинаковом А имеют различные Z, называются изобарами.

Нужна помощь в решении задач? Обращайтесь в профессиональный сервис для студентов в любое время!
 

Период полураспада радиоактивного вещества

«  Период полураспада  » или период полураспада радиоактивного изотопа — это время, по истечении которого количество ядер этого изотопа, присутствующих в образце, уменьшается вдвое. Обычно обозначается буквой T или t ½ .

Если мы наблюдаем образец радиоактивного материала, через время t 1/2 , этот образец (по определению) потеряет половину своего материала, и останется только половина исходного материала. Но по истечении этого времени дважды потеря дополнительного материала относится только к оставшейся половине, а не к исходной сумме; после двойного t ½ останется половина половины исходного материала, то есть четверть. Точно так же после трехкратного увеличения t ½ останется только (1/2) 3 = 1/8 первоначальной выборки и так далее. После того, как этот период полураспада будет увеличиваться в десять раз, активность снизится в 2 10 = 1024 раза, то есть существенно разделить на тысячу. t 1/2 — время, по истечении которого количество радиоактивных ядер, присутствующих в образце, уменьшается вдвое, но «срок службы» образца намного превышает его «период полураспада»: радиоактивного вещества всегда остается немного, даже после большое количество «периодов полураспада».

Математически закон распада радиоактивного образца можно охарактеризовать следующим образом:

Математическая характеристика периода полураспада и средней продолжительности жизни

Если N (t) представляет собой количество радионуклидов в момент времени t, то:

НЕТ(т12)знак равноНЕТ2знак равноНЕТе-λт12знак равноНЕТепер⁡(12){\ displaystyle N (t_ {1/2}) = {\ frac {N_ {0}} {2}} = N_ {0} e ^ {- \ lambda t_ {1/2}} = N_ {0} e ^ {\ ln (1/2)}}

Сразу выводим:

т12знак равнопер⁡(2)λ{\ displaystyle t_ {1/2} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda}}}

или же:

λзнак равнопер⁡(2)т12{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ ln (2)} {t_ {1/2}}}}

где — количество начальных ядер, — радиоактивная постоянная, соответствующая типу ядер.
НЕТ{\ displaystyle N_ {0}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Средняя выживаемость

Период полураспада не следует путать со средней продолжительностью t . Это получается с помощью следующих рассуждений: количество ядер, распадающихся в момент t, «проживало» в течение этого времени t или, точнее, в момент t остается N exp (–λ t) ядер. Из них за период времени уничтожаются:

dНЕТзнак равноλНЕТexp⁡(-λт)dт{\ displaystyle dN = \ lambda N_ {0} \ exp (- \ lambda t) dt}.

Следовательно, эти dN имеют срок службы от t до t + dt. Таким образом, мы можем определить среднюю продолжительность жизни всех радионуклидов в выборке (или просто среднюю продолжительность жизни ) следующим образом:

т¯знак равно∫НЕТтdНЕТНЕТ{\ displaystyle {\ overline {t}} = \ int _ {N_ {0}} ^ {0} t {\ frac {dN} {N_ {0}}}}.

Таким образом, учитывая приведенное выше выражение для dN, получаем

т¯знак равноλ∫+∞тexp⁡(-λт)dтзнак равно1λзнак равнот12пер⁡(2)≈1,44 годт12{\ displaystyle {\ overline {t}} = \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ exp (- \ lambda t) dt = {\ frac {1} {\ lambda}} = {\ гидроразрыв {t_ {1/2}} {\ ln (2)}} \ приблизительно 1 {,} 44 \, t_ {1/2}}.

В научной литературе среднее время жизни радиоактивного вещества обычно обозначается греческой буквой τ, поэтому

τзнак равнот¯знак равно1λ{\ displaystyle \ tau = {\ overline {t}} = {\ frac {1} {\ lambda}}}.

Этот срок службы не зависит от размера образца  ; это характерное время рассматриваемого радионуклида, как и его период полураспада . По истечении этого характерного времени τ активность снижается до доли 1 / e от своего начального значения:
НЕТ{\ displaystyle N_ {0}}т12{\ displaystyle t_ {1/2}}

НЕТ(τ)знак равноНЕТexp⁡(-λλ)знак равноНЕТе{\ Displaystyle N (\ тау) = N_ {0} \ ехр (- \ lambda / \ lambda) = {\ frac {N_ {0}} {e}}}.

Можно отметить, что это «время жизни» на самом деле является средним временем выживания атома в образце с начала наблюдения . В случае естественного радионуклида его предыдущая жизнь могла быть намного дольше, иногда составляя миллионы лет и более. Символическим примером является Плутоний 244 , с периодом полураспада 80,8 мега- лет, из которых следы атомов , образованных процессов примитивных звездных взрывов задолго до формирования и эволюции системы находятся в почве Земли. Солнечная , так что там больше 5 Гиг- лет. Эти атомы первоначально имели среднюю выживаемость около 80,8 / Ln (2) = 80,8 x 1,4427 млн ​​лет, или 116,7 миллиона лет; но те, кого мы обнаруживаем сегодня — то немногое, что от них осталось — выжили, по крайней мере, в пятьдесят раз больше. Они выжили благодаря удаче; и в среднем их потенциал выживания, отсчитываемый с сегодняшнего дня, составляет 80,8 мега- лет, как в первый день.

Математическое определение

Предварительное замечание: закон распада предполагает непрерывную величину, которая может быть представлена ​​как действительное число как «множество» . Но также можно использовать целые числа, например Б. Можно использовать количество атомов в образце радиоактивного вещества, поскольку оно описывает метрологическое ожидаемое значение, то есть среднее значение по множеству (воображаемых) отдельных измерений.

Экспоненциальный спад

Считается, что в процессе уменьшается количество вещества с фиксированной константой распада . Это означает, что за короткий промежуток времени количество изменяется на, т.е. -я часть текущего количества вещества распадается. В результате получается простое дифференциальное уравнение , описывающее этот процесс:
N(т){\ Displaystyle N (т)} λ{\ displaystyle \ lambda}Δт{\ displaystyle \ Delta t}ΔN(т)знак равно-λ⋅N(т)⋅Δт{\ Displaystyle \ Delta N (t) = — \ lambda \ cdot N (t) \ cdot \ Delta t}λ⋅Δт{\ displaystyle \ lambda \ cdot \ Delta t}N(т){\ Displaystyle N (т)}

dN(т)dтзнак равно-λ⋅N(т).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} N (t)} {\ mathrm {d} t}} = — \ lambda \ cdot N (t).}

Это уравнение имеет экспоненциальную функцию в качестве решения

N(т)знак равноN⋅exp⁡(-λ⋅т),{\ Displaystyle N (T) = N_ {0} \ cdot \ exp \ left (- \ lambda \ cdot t \ right),}

где — начальное количество вещества. Период полураспада — это время, после которого остается только половина вещества, поэтому он применим . Это результат начала
N()знак равноN{\ Displaystyle N (0) = N_ {0}}Т12{\ displaystyle T_ {1/2}}N(Т12)знак равноN2{\ displaystyle N (T_ {1/2}) = {\ frac {N_ {0}} {2}}}

Т12знак равнопер⁡(2)λ≈0,693λ{\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda}} \ приблизительно {\ frac {0 {,} 693} {\ lambda}}}

и в более общем плане для времени, по истечении которого только -я часть вещества все еще присутствует, для чего применяется следующее
Т1п{\ displaystyle T_ {1 / n}}п{\ displaystyle n}N(Т1п)знак равноNп{\ displaystyle N (T_ {1 / n}) = {\ frac {N_ {0}} {n}}}

Т1пзнак равнопер⁡(п)λ.{\ displaystyle T_ {1 / n} = {\ frac {\ ln (n)} {\ lambda}}.}

Общий распад

Для более общих распадов определение периода полураспада остается
тем же.Т12{\ displaystyle T_ {1/2}}

N(Т12)знак равноN2;{\ Displaystyle N (T_ {1/2}) = {\ frac {N_ {0}} {2}};}

однако размер больше не следует простой экспоненциальной функции.
N(т){\ Displaystyle N (т)}

Примером этого являются химические реакции второго порядка, такие как димеризация формы

N+N⟶п,{\ displaystyle \ mathrm {N} + \ mathrm {N} \ longrightarrow \ mathrm {P},}

в котором две молекулы N всегда объединяются в одну молекулу P. Уравнение скорости для этого представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее распад:

dN(т)dтзнак равно-2⋅λ⋅N2(т){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} N (t)} {\ mathrm {d} t}} = — 2 \ cdot \ lambda \ cdot N ^ {2} (t)}

Здесь константа скорости реакции и скорость реакции. Тогда решение этого уравнения будет
λ{\ displaystyle \ lambda}λ⋅N2{\ Displaystyle \ лямбда \ cdot N ^ {2}}

N(т)знак равноN1+N⋅2⋅λ⋅т{\ Displaystyle N (т) = {\ гидроразрыва {N_ {0}} {1 + N_ {0} \ cdot 2 \ cdot \ lambda \ cdot t}}}

и период полураспада приводит к

Т12знак равно12⋅λ⋅N.{\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {1} {2 \ cdot \ lambda \ cdot N_ {0}}}.}

В отличие от экспоненциального случая, он зависит не только от константы скорости реакции , но и явно от начальной величины ; «Период полураспада» здесь всегда означает время, по истечении которого начальное количество уменьшается вдвое. Время, по истечении которого -я часть вещества распалась, приводит к
Т12{\ displaystyle T_ {1/2}}λ{\ displaystyle \ lambda}N{\ displaystyle N_ {0}}Т1п{\ displaystyle T_ {1 / n}}п{\ displaystyle n}

Т1пзнак равноп-12⋅λ⋅N.{\ displaystyle T_ {1 / n} = {\ frac {n-1} {2 \ cdot \ lambda \ cdot N_ {0}}}.}

Примеры значений и уравнений

Фармакокинетические показатели
Характерная черта Описание Условное обозначение Ед. изм Формула Рабочий пример значения
Доза Количество введенного препарата. D{\ displaystyle D} мол{\ Displaystyle \ mathrm {mol}} Расчетный параметр 500 ммоль
Интервал дозирования Время между введениями дозы препарата. τ{\ Displaystyle \ тау} s{\ Displaystyle \ mathrm {s}} Расчетный параметр 24 ч
C макс. Пиковая концентрация препарата в плазме после приема. CМаксимум{\ displaystyle C _ {\ text {max}}} M{\ displaystyle \ mathrm {M}} Прямое измерение 60,9 ммоль / л
t макс Время достижения C макс . тМаксимум{\ Displaystyle т _ {\ текст {макс}}} s{\ Displaystyle \ mathrm {s}} Прямое измерение 3.9 ч
C мин Низкая ( корыта ) концентрация , что лекарственное средство достигает до следующей дозы вводят. Cмин,SS{\ displaystyle C _ {{\ text {min}}, {\ text {ss}}}} M{\ displaystyle \ mathrm {M}} Прямое измерение 27,7 ммоль / л
Объем распространения Кажущийся объем, в котором распределено лекарство (т.е. параметр, связывающий концентрацию лекарства в плазме с количеством лекарства в организме). Vd{\ displaystyle V _ {\ text {d}}} м3{\ Displaystyle \ mathrm {м} ^ {3}} DC{\ displaystyle {\ frac {D} {C_ {0}}}} 6.0 л
Концентрация Количество препарата в заданном объеме плазмы . C,CSS{\ displaystyle C_ {0}, C _ {\ text {ss}}} M{\ displaystyle \ mathrm {M}} DVd{\ displaystyle {\ frac {D} {V _ {\ text {d}}}}} 83,3 ммоль / л
Период полураспада Время, необходимое для всасывания в системный кровоток 50% заданной дозы препарата. т12а{\ displaystyle t _ {{\ frac {1} {2}} а}} s{\ Displaystyle \ mathrm {s}} пер⁡(2)kа{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ ln (2)} {к _ {\ текст {а}}}}} 1.0 ч
Константа скорости абсорбции Скорость, с которой лекарство попадает в организм при пероральном и других внесосудистых путях. kа{\ Displaystyle к _ {\ текст {а}}} s-1{\ Displaystyle \ mathrm {s} ^ {- 1}} пер⁡(2)т12а{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ ln (2)} {т _ {{\ гидроразрыва {1} {2}} а}}}} 0,693  -1
Период полувыведения Время, необходимое для того, чтобы концентрация препарата достигла половины исходного значения. т12б{\ displaystyle t _ {{\ frac {1} {2}} b}} s{\ Displaystyle \ mathrm {s}} пер⁡(2)kе{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ ln (2)} {к _ {\ текст {е}}}}} 12 часов
Константа скорости элиминации Скорость, с которой лекарство выводится из организма. kе{\ displaystyle k _ {\ text {e}}} s-1{\ Displaystyle \ mathrm {s} ^ {- 1}} пер⁡(2)т12бзнак равноCLVd{\ displaystyle {\ frac {\ ln (2)} {t _ {{\ frac {1} {2}} b}}} = {\ frac {CL} {V _ {\ text {d}}}}} 0,0578 ч -1
Скорость инфузии Скорость инфузии, необходимая для баланса выведения. kв{\ displaystyle k _ {\ text {in}}} молs{\ Displaystyle \ mathrm {моль / с}} CSS⋅CL{\ displaystyle C _ {\ text {ss}} \ cdot CL} 50 ммоль / ч
Площадь под кривой Интеграл кривой концентрация-время (после однократной дозы или в стационарном состоянии). АUC-∞{\ displaystyle AUC_ {0- \ infty}} M⋅s{\ Displaystyle \ mathrm {M} \ cdot \ mathrm {s}} ∫∞Cd⁡т{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} C \, \ operatorname {d} t} 1320 ммоль / л · ч
АUCτ,SS{\ displaystyle AUC _ {\ tau, {\ text {ss}}}} M⋅s{\ Displaystyle \ mathrm {M} \ cdot \ mathrm {s}} ∫тт+τCd⁡т{\ displaystyle \ int _ {t} ^ {t + \ tau} C \, \ operatorname {d} t}
Оформление Объем плазмы, очищенной от препарата за единицу времени. CL{\ displaystyle CL} м3s{\ Displaystyle \ mathrm {м} ^ {3} / \ mathrm {s}} Vd⋅kезнак равноDАUC{\ displaystyle V _ {\ text {d}} \ cdot k _ {\ text {e}} = {\ frac {D} {AUC}}} 0,38 л / ч
Биодоступность Системно доступная фракция лекарственного средства. ж{\ displaystyle f} Безразмерный АUCпо⋅DivАUCiv⋅Dпо{\ displaystyle {\ frac {AUC _ {\ text {po}} \ cdot D _ {\ text {iv}}} {AUC _ {\ text {iv}} \ cdot D _ {\ text {po}}}}} 0,8
Колебания Пиковые колебания минимума в пределах одного интервала дозирования в установившемся режиме. %пТF{\ displaystyle \% PTF} %{\ displaystyle \%} CМаксимум,SS-Cмин,SSCсредний,SS⋅100%{\ displaystyle {\ frac {C _ {{\ text {max}}, {\ text {ss}}} — C _ {{\ text {min}}, {\ text {ss}}}} {C _ {{\ текст {av}}, {\ text {ss}}}}} \ cdot 100 \%}
куда
Cсредний,SSзнак равно1τАUCτ,SS{\ displaystyle C _ {{\ text {av}}, {\ text {ss}}} = {\ frac {1} {\ tau}} AUC _ {\ tau, {\ text {ss}}}}
41,8%