Торричелли формула

Суть опыта ученого

Торричелли был вдохновлен своим видением того, что другие не замечали. Он отчаянно верил в теорию Галилео Галилея, что воздух весом и стремился выявить, что он оказывает прямое влияние на предметы. Для доказательства своей правоты в XVII веке он поставил опыт.

Для проведения опыта он взял стеклянную трубку (приблизительно метр длиной), с одной стороны она была запаяна. Торричелли наполнил трубку (которая впоследствии получила название трубки Торричелли) ртутью и, перевернув ее, опустил ее в чашу также со ртутью. Некоторая часть вещества перетекла в емкость, но большая часть оставалась в емкости. Что же не давало всему веществу перетечь в емкость? Давление атмосферы, которое воздействовало на ртуть в самой чаше, тем самым создавая отпор проникновению ртути из трубки.

Выходит, что атмосферное давление равно тому показателю, который показывает ртуть в столбце трубки, ведь именно с этой силой атмосфера давит на жидкость в емкости. Именно поэтому принято измерять атмосферное давление в миллиметрах ртутного столба. Вот в чем заключался опыт Торричелли, кратко говоря. Таким образом, была выведена следующая краткая формула:

АД равно давлению столба ртути в трубке.

pатм=pртути=ρgh=13600 ⋅ 9.8 ⋅ 0.76=101293 (Па)

Этот же опыт простимулировал изобретение измерительного прибора — ртутного барометра. Сейчас существуют более современные и безопасные приборы для измерения давления атмосферы, так как пары ртути крайне опасны. Новые же изобретения пригодны к применению без последствий для человеческого здоровья и без вреда для окружающей среды.

В процессе своего эксперимента ученый неосознанно сделал еще одно открытие. Он открыл вакуум, который первоначально называли торричеллиевой пустотой. Та часть трубки, которая опустела, и была вакуумом. Хотя многие ученые придерживаются мнения о том, что на самом деле это был не вакуум, а пары ртути.

Подытоживая, можно выделить следующие достижения этого эксперимента:

  • доказательство существования атмосферного давления;
  • изобретение барометра;
  • открытие «торричеллиевой пустоты», или вакуума.

Сообщение о таком результативном опыте, который принес не одно открытие, а сразу три, несомненно, разделил мир науки на до и после.

Достижения Торричелли

Эванджелиста Торричелли — ученый физик и математик, истинный энтузиаст, автор многочисленных трудов и открытий. Итальянец, родом из Флоренции. Был близок с Бенедетто Кастелли, который в свою очередь был другом и учеником Галилео Галилея. Под руководством Кастелли он начал изучать математику. Впоследствии, вдохновленный многими трудами Галилея и опираясь на содержание его многочисленных трактатов, он развивал свой гений и стал преемником Галилео.

Торричелли сделал много открытий в математике, механике и физике. Среди них:

  • развил тему «метод неделимых»;
  • открыл так называемую точку Торричелли в плоскости треугольника;
  • описал принцип движения центров тяжести;
  • проводил многочисленные исследования, которые заложили основу принципов гидравлики;
  • изобретатель микроскопов, линз для телескопов;
  • изобрел ртутный барометр;
  • доказал существование атмосферного давления;
  • открыл пустоту Торричелли, или вакуум.

Коэффициент разряда

Если сравнить теоретические прогнозы о процессе слива резервуара с реальными измерениями, в некоторых случаях можно обнаружить очень большие различия. На самом деле бак обычно сливается намного медленнее. Чтобы получить лучшее приближение к фактически измеренному объемному расходу, на практике используется коэффициент расхода :

V˙настоящийзнак равноμ⋅V˙идеальный{\ displaystyle {\ displaystyle {\ dot {V}} _ {\ text {real}} = \ mu \ cdot {\ dot {V}} _ {\ text {ideal}}}}

Коэффициент расхода учитывает как снижение скорости истечения из-за вязкого поведения жидкости («коэффициент скорости»), так и уменьшение эффективного поперечного сечения оттока из-за контракта вены («коэффициент сжатия». ). Для жидкостей с низкой вязкостью (например, воды), вытекающих из круглого отверстия в резервуаре, коэффициент расхода составляет порядка 0,65. Путем нагнетания через круглую трубу или шланг коэффициент нагнетания может быть увеличен до более 0,9. Для прямоугольных отверстий коэффициент расхода может достигать 0,67, в зависимости от соотношения высоты и ширины.

Проблема клепсидры

Приливная клепсидра

А клепсидра это часы, которые измеряют время по потоку воды. Он представляет собой горшок с небольшим отверстием на дне, через которое может выходить вода. Количество вытекающей воды является мерой времени. Согласно закону Торричелли, скорость истечения через отверстие зависит от высоты воды; и по мере того, как уровень воды уменьшается, расход не является равномерным. Простое решение — поддерживать постоянную высоту воды. Этого можно достичь, пропуская в сосуд постоянный поток воды, который может выходить сверху через другое отверстие. Таким образом, имея постоянную высоту, вода, сбрасываемая снизу, может быть собрана в другой цилиндрический сосуд с равномерной шкалой для измерения времени. Это приливная клепсидра.

В качестве альтернативы, путем тщательного выбора формы сосуда уровень воды в сосуде может снижаться с постоянной скоростью. Измеряя уровень воды, оставшейся в емкости, можно измерить время с равномерной шкалой. Это пример оттока клепсидры. Поскольку скорость истечения воды выше, когда уровень воды выше (из-за большего давления), объем жидкости должен быть больше, чем простой цилиндр, когда уровень воды высокий. То есть радиус должен быть больше, когда уровень воды выше. Пусть радиус р{ displaystyle r} увеличивается с высотой уровня воды час{ displaystyle h} над выходным отверстием области а.{ displaystyle a.} То есть, р=ж(час){ Displaystyle г = е (ч)}. Мы хотим найти такой радиус, чтобы уровень воды имел постоянную скорость понижения, т.е. dчасdт=c{ displaystyle dh / dt = c}.

При заданном уровне воды час{ displaystyle h}, площадь водной поверхности равна А=πр2{ Displaystyle А = пи г ^ {2}}. Мгновенная скорость изменения объема воды составляет

dVdт=Аdчасdт=πр2c.{ displaystyle { frac {dV} {dt}} = A { frac {dh} {dt}} = pi r ^ {2} c.}

По закону Торричелли скорость оттока равна

dVdт=аv=а2граммчас,{ displaystyle { frac {dV} {dt}} = av = a { sqrt {2gh}},}

Из этих двух уравнений

а2граммчас=πр2c⇒час=π2c22грамма2р4.{ displaystyle { begin {align} a { sqrt {2gh}} & = pi r ^ {2} c Rightarrow quad h & = { frac { pi ^ {2} c ^ {2} } {2ga ^ {2}}} г ^ {4}. End {выравнивается}}}

Таким образом, радиус контейнера должен изменяться пропорционально корню четвертой степени из его высоты, р∝час4.{ displaystyle r propto { sqrt {h}}.}

Итальянские подводные лодки

Торричелли (S-512); 0837310

1959 Торричелли памятная марка в СССР

Несколько подводных лодок ВМС Италии были названы в честь Евангелисты Торричелли:

  • Micca подводной лодки класса , построенный в 1918 году, пострадавших в 1930 году
  • Архимед подводной лодка класса (1934), передан в Испанию в 1937 году и переименован в генерал Мол , пострадавшая в 1959 году
  • Бенедетто Брин подводная лодка класса (1937), затонула в Красном море из — за британский военно — морской флот в 1940 году
  • Evangelista Torricelli , бывший военный корабль США Lizardfish , переброшен в Италию в 1960 году и списан в 1976 году.

Рекомендации

  • Обер, Андре (1989). «Предыстория дзета-функции». В Обере — Карл Эгиль; Бомбьери, Энрико; Гольдфельд, Дориан (ред.). Теория чисел, формулы следов и дискретные группы . Академическая пресса . ISBN 978-1483216232.
  • де Гандт, Франсуа, изд. (1987). L’Oeuvre de Torricelli: Science galiléene et nouvelle géométrie . Publications de la Faculté des Lettres et Sciences Humaines de Nice. 32 . Париж: Les Belles Lettres.
  • Джервис-Смит, Фредерик Джон (1908). Евангелиста Торричелли . Издательство Оксфордского университета . п. 9. ISBN .
  • Сегре, Майкл (1991). По следам Галилея . Нью-Брансуик: Издательство Университета Рутгерса .
  • Тимбс, Джон (1868). Замечательные изобретения: от компаса моряка до электрического телеграфного кабеля . Лондон: Джордж Рутледж и сыновья . п. 41. ISBN 978-1172827800.

Является ли Торричелли автором закона, носящего его имя?

Чем больше высота жидкости, тем больше скорость.

Перед публикацией работы Торричелли Мерсенн написал множество писем Пейреску в 1634 году. В 1639 году Декарт, казалось, поздравил его с его законом, который «в ожидании» повторяет закон Торричелли. Эти произведения хранятся в Arts et Métiers в Париже.

Декарт, Мерсенн, Гассенди много писали до 1643 года и позже. Проблемы четко обозначены: постоянный уровень потери давления воды в случае усадки выпускного патрубка и, очевидно, фонтан и закон Галилеи 1638 года ( 4- й  день). Hydraulica de Mersenne появилась в 1644 году, а Мерсенн встретил Торричелли в 1645 году. Если сообщающиеся суда поднимают воду до уровня озера, очевидно, что вертикально направленная струя воды не возвращается туда, и каждый может ясно видеть это производит модификацию форсунки в брызгах воды. Демонстрация явно превосходит физиков того времени.

Впоследствии, в 1668 году, в Академии наук в Париже , Кристиана Гюйгенса и Жан Пикар , затем Edme Мариотта снова взял эту проблему.

Таким образом, в 1695 году, после Лейбница (1684), Пьер Вариньон рассуждал следующим образом:

«Небольшая масса воды ρ S d x выбрасывается силой давления S ρ gh с импульсом ρ S d x v в течение времени d t  : пусть v 2 = gh  »

но фактор 2 по-прежнему отсутствует.

Тем не менее, в то время, когда живая сила была рассчитана mv 2  ; она была переименована в кинетическую энергию и приняла значение12 mv 2, так что его производнаяследует за работами Гаспара-Гюстава Кориолиса и Жана-Виктора Понселе за период 1819-1839 гг.
dEпротивdтзнак равномv→⋅dv→dтзнак равноп→⋅в→знак равноF→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} E_ {c}} {\ mathrm {d} t}} = m \, {\ vec {v}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {vec {a}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {a}} = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} }

В 1738 году Даниэль Бернулли наконец дал решение в своей « Гидродинамике» .

Работа Торричелли по математике

Торричелли также известен открытием трубы Торричелли (также — возможно, более часто — известной как Рог Габриэля ), площадь поверхности которой бесконечна , но объем конечен. Многие в то время считали это «невероятным» парадоксом, включая самого Торричелли, и вызвали ожесточенные споры о природе бесконечности, в которых также участвовал философ Гоббс . Некоторые полагают, что это привело к идее «завершенной бесконечности». Торричелли попробовал несколько альтернативных доказательств, пытаясь доказать, что площадь его поверхности также конечна, но все они потерпели неудачу.

Торричелли также был пионером в области бесконечных серий. В своих параболах De Dimensione 1644 года Торричелли рассмотрел убывающую последовательность положительных членов и показал, что соответствующий телескопический ряд обязательно сходится к , где L — предел последовательности, и таким образом дает доказательство формулы для суммы геометрический ряд.
а,а1,а2,…{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots} (а-а1)+(а1-а2)+⋯{\ Displaystyle (а_ {0} -а_ {1}) + (а_ {1} -а_ {2}) + \ cdots}а-L{\ displaystyle a_ {0} -L}

Торричелли разработал далее метод неделимых из Кавальери . Многие математики 17 века узнали об этом методе через Торричелли, чьи письма были более доступными, чем у Кавальери.

Размеры

Диаметр

В случае водопроводных и газовых труб мы имеем дело с не вполне обычной системой измерений. Для соответствующих трубопроводов в качестве основного параметра используется несколько непривычное понятие условного прохода, или условного диаметра (ДУ). Он измеряется как в дюймах, так и в миллиметрах; одна и та же ВГП труба может продаваться как 1 1/4 дюйма или ДУ32 мм.

Приведем предусмотренные ГОСТ 3262-75 размеры водогазопроводных труб.

Условный проход (ДУ), мм Фактический наружный диаметр, мм
15 21,3
20 26,8
25 33,5
32 42,3
40 48,0
50 60,0
65 75,5
80 88,5
90 101,3
100 114,0
125 140,0
150 165,0

Поскольку толщина стенок варьируется в пределах одного типоразмера (трубы производятся легкими, обыкновенными и усиленными), можно сказать, что ДУ в общем случае близок к внутреннему диаметру, но, как правило, не равен ему.

Условный проход близок к внутреннему диаметру трубы.

Сечение

При строительстве водопроводов используются, за редким исключением, трубы круглого сечения.

Тому есть две весьма веских причины.

  1. У круглой трубы минимальная площадь стенок при максимальной площади сечения. Стало быть, цена погонного метра трубопровода при фиксированной толщине стенки будет минимальной – просто из-за меньшего расхода материала.
  2. Круглое сечение обеспечивает максимальную прочность на разрыв. Дело в том, что сила, с которой внутренняя среда с избыточным давлением давит на стенки, прямо пропорциональна их площади; а площадь, как мы уже выяснили, минимальна именно у круглой трубы.

Магистрали высокого давления всегда имеют круглое сечение.

Площадь внутреннего сечения вычисляется по формуле S=Pi*R^2, где S – искомое значение площади, Pi – число “пи”, приблизительно равное 3,14159265, а R – радиус (половина внутреннего диаметра). Скажем, у трубы с внутренним диаметром 200 мм сечение будет равно 3,14159265х(0,1^2)=0,031 м2.

Поскольку течение жидкости в круглой трубе не всегда связано с заполнением всего ее объема, при расчетах нередко используется понятие “живого сечения”. Так называют площадь сечения потока. Скажем, при заполнении трубы ровно наполовину она будет равна (Pi*R^2)/2 (в приведенном выше примере – 0,031/2=0,00155 м2).

Живое сечение для напорной, самотечной канализации и для лотка.

Объем

Давайте выясним, чему равен объем жидкости в трубе. С точки зрения геометрии любая труба представляет собой цилиндр. Его объем рассчитывается как произведение площади сечения и длины.

Так, при площади сечения 0,031 м2 объем жидкости в полностью заполненном трубопроводе длиной 8 метров будет равен 0,031х8=0,248 м3.

При частично заполненной трубе для расчета используется среднее живое сечение. При постоянном уклоне и расходе движение жидкости по трубам будет равномерным; соответственно, живое сечение будет одинаковым на всех участках безнапорного трубопровода.

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Полное давление
Размерность
Единицы измерения
СИ Дж/м3 = Па
СГС эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина  сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

Здесь

 — плотность жидкости;
 — скорость потока;
 — высота;
 — давление;
 — ускорение свободного падения.

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением. Могут также использоваться термины «весовое давление» , «статическое давление»  и «динамическое давление» . По словам Д. В. Сивухина, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

Формула Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

где

 — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
 — скорость истечения жидкости,
 — атмосферное давление.

Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде.

Другие проявления и применения закона Бернулли

эффект Вентури

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.

Эффект Вентури

Вдоль горизонтальной трубы координата  постоянна и уравнение Бернулли принимает вид . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «»).

Применение в гидравлике

ГидравликаГидравлические потериНапор

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» :

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор
Размерность
Единицы измерения
СИ метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.
 — гидравлическая высота или напор,
 — нивелирная высота,
 — пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор,
 — скоростная высота или скоростной напор.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора».

Уравнение Бернулли

Подробности
Категория: Гидравлика

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

 Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

https://vk.com/video_ext.php

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

 — плотность жидкости,
 — скорость потока,
 — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
 — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
 — ускорение свободного падения.

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли(не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли.

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости

Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»)

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид:   .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности :   .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.

В статье были спользованны материалы Wikipedia

Физическая сущность закона Бернулли

Швейцарский математик и физик Даниил Бернулли родился в 1716 году в Голландии. За свою научную карьеру он получил звания Почетного члена Берлинской, Петербургской и Парижской академии наук, являлся членом Лондонского королевского общества. Главным научным трудом ученого является работа «Гидродинамика, или изъяснение сил и движений жидкости», опубликованная в 1733 году. Именно в этой книге были описаны физические основы механики жидкости.

Закон, названный его именем, Бернулли сформулировал во время работы в России, изучая взаимосвязь давления жидкости с ее скоростью. В математическом выражении он определяется уравнением Бернулли. Давайте разберемся, в чем состоит сущность закона.

Для начала определим, что закон Бернулли рассматривает движение потока несжимаемой идеальной жидкости, на которую действуют только силы тяжести и силы упругости.

Идеальная жидкость — это жидкость, в которой полностью отсутствует внутреннее трение и теплопроводность, ввиду чего, она лишена касательных напряжений между соседними слоями.

Подобная идеализация применяется при рассмотрении течения в гидродинамике. В законе Бернулли рассматривается стационарное течение жидкости — это движение слоев жидкости относительно друг друга и относительно ее самой, при котором скорость потока в некой конкретной точке не меняется, сохраняя свое постоянное значение. Давление при стационарном течении идеальной жидкости одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.

Для наглядности рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другом — S2. При стационарном потоке через все сечения за определенный промежуток времени пройдет одинаковый объем жидкости, так как в ином случае, невозможность сжатия привела бы к ее разрыву. Таким образом, мы получаем уравнение неразрывности струи, определяющее соотношение между скоростью течения (v) и площадью сечения (S): S1v1=S2v2

При этом скорость давление в сечении S1 меньше, чем в сечении S2. Как вы думаете, в каком из сечений скорость течения жидкости будет больше? Казалось бы, что по логике, скорость должна увеличиваться в том месте, где больше давление. Однако, согласно закону Бернулли, скорость увеличивается с уменьшением площади сечения. В этом-то и состоит парадоксальность принципа.

Закон Бернулли гласит, в тех участках течения жидкости или газа, где скорость больше, давление меньше, и наоборот, с увеличением давления жидкости, протекающей в трубе, скорость ее движения уменьшается. То есть, где больше скорость (v), там меньше давление (p).

Чтобы убедиться в этом, достаточно провести небольшой опыт из подручных средств. Возьмите два шара одного размера и подвесьте их так, чтобы между ними сохранялось небольшое расстояние. Подуйте между шарами или пустите воздух из фена. Шары вместо того, чтобы отдалиться, притянутся друг к другу. Это прямое следствие описанного закона, так как в том месте, куда вы дули, давление стало уменьшаться, а скорость шаров возросла, приблизив их друг к другу.

Общее время для опорожнения контейнера

Рассмотрим цилиндрический контейнер, содержащий воду на высоту h, который свободно опорожняется через трубку. Пусть h будет высотой воды в любой момент. Пусть скорость истечения равна v=dИксdт=2граммчас { displaystyle v = {dx over dt} = { sqrt {2gh}} }

За счет сохранения массы (в предположении несжимаемого потока), Аdчас=−аdИкс{ Displaystyle A , dh = -a , dx} куда А и а — поперечные сечения емкости и трубки соответственно, dh высота жидкости в контейнере, соответствующая dx в трубке, которая уменьшается одновременно dt:

dИкс=−Аdчас а{ displaystyle {dx} = — {A , dh over a}}
dИксdт=−Аdчас аdт=2граммчас{ displaystyle {dx over dt} = — {A , dh over a , dt} = { sqrt {2gh}}}
⇒−Аdчас а2граммчас=dт{ displaystyle Rightarrow — {A , dh over a { sqrt {2gh}}} = dt}
⇒−А а2грамм∫час1час2dчасчас=∫т1т2 dт{ displaystyle Rightarrow — {A over a { sqrt {2g}}} int _ {h_ {1}} ^ {h_ {2}} { frac {dh} { sqrt {h}}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} dt}
⇒2А а2грамм(час1−час2)=т2−т1=Δт{ displaystyle Rightarrow {2A over a { sqrt {2g}}} ({ sqrt {h_ {1}}} — { sqrt {h_ {2}}}) = t_ {2} -t_ { 1} = Delta t}
⇒Δт=2А а2грамм(час1−час2){ displaystyle Rightarrow Delta t = {2A over a { sqrt {2g}}} ({ sqrt {h_ {1}}} — { sqrt {h_ {2}}})}

время, необходимое для слива воды с высоты час1 к час2 в контейнере, где час1 > час2. Эту формулу можно использовать для калибровки водяных часов. Чтобы контейнер был полностью опорожнен, час2{ displaystyle h_ {2}} установлен на 0:

Δт=2А а2граммчас1{ displaystyle Delta t = {2A over a { sqrt {2g}}} { sqrt {h_ {1}}}}

Вывод

В предположениях в несжимаемой жидкости с пренебрежимо малой вязкостью , принцип Бернулли устанавливает , что

v22+грамму+пρзнак равнопостоянный,{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gy + {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constant}},}

где скорость жидкости, ускорение свободного падения (около 9,81 м / с 2 на поверхности Земли), высота над некоторой контрольной точкой, давление и плотность. Таким образом, для любых двух точек жидкости
v{\ displaystyle v}грамм{\ displaystyle g}у{\ displaystyle y}п{\ displaystyle p}ρ{\ displaystyle \ rho}

v122+грамм1у1+п1ρ1знак равноv222+грамм2у2+п2ρ2.{\ displaystyle {\ frac {{v_ {1}} ^ {2}} {2}} + g_ {1} y_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + g_ {2} y_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}}.}

Первую точку можно взять на поверхности жидкости, а вторую — непосредственно за пределами отверстия. Поскольку жидкость считается несжимаемой, равно ; оба могут быть представлены одним символом . Кроме того, когда отверстие очень маленькое по сравнению с горизонтальным поперечным сечением контейнера, скорость поверхности считается незначительной ( ). предполагается практически одинаковым в обеих точках, поэтому .
ρ1{\ displaystyle \ rho _ {1}}ρ2{\ displaystyle \ rho _ {2}}ρ{\ displaystyle \ rho}v1знак равно{\ displaystyle v_ {1} = 0}грамм{\ displaystyle g}грамм1знак равнограмм2знак равнограмм{\ displaystyle g_ {1} = g_ {2} = g}

грамму1+п1ρзнак равноv222+грамму2+п2ρ{\ displaystyle gy_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} = {\ frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + gy_ {2} + {\ гидроразрыв {p_ {2}} {\ rho}}}
⇒v2знак равно2грамм(у1-у2)+2(п1-п2)ρ.{\ displaystyle \ Rightarrow v_ {2} = {\ sqrt {2g (y_ {1} -y_ {2}) + 2 (p_ {1} -p_ {2}) / \ rho}}.}

у1-у2{\ displaystyle y_ {1} -y_ {2}}равна высоте поверхности жидкости над отверстием. и обычно оба имеют атмосферное давление, так что .
час{\ displaystyle h}п1{\ displaystyle p_ {1}}п2{\ displaystyle p_ {2}}п1знак равноп2⇒п1-п2знак равно{\ displaystyle p_ {1} = p_ {2} \ Rightarrow p_ {1} -p_ {2} = 0}

v2знак равно2граммчас.{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {2gh}}.}