Импульс тела

История открытия

Слово «импульс» в переводе с латинского означает «толчок». В некоторых книгах вместо этого термина используется термин «количество движения». Это понятие ввели в науку тогда же, когда Исаак Ньютон открыл и сформулировал законы, которые позже были названы в его честь.

Впервые слово «импульс» использовал учёный Рене Декарт в начале XVII века. Тогда в физике ещё не применялось понятие массы. Декарт определил эту математическую величину как произведение скорости тела и его «величины». В дальнейшем Ньютон уточнил формулировку Декарта. Согласно его определению, импульс (или количество движения) пропорционален величине скорости и массы движущегося тела.

1.16. Импульс тела window.top.document.title = «1.16. Импульс тела»;

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

Модель.
Импульс тела

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.


Рисунок 1.16.1.Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t)

Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F (t) остается практически неизменной. Импульс силы F (t) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале .

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:

В этом простом примере

В некоторых случаях среднюю силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10–3 с.

Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:

Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора


Рисунок 1.16.2.Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью после отскока мяч будет иметь скорость Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυx. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δpx > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.

Реактивное движение

ОпределениеРеактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Определение и свойства

Импульсом силы в физике принято называть величину, равную произведению этой силы на время. Фактически она представляет собой следующую закономерность F∆t = ∆P (формула импульса силы). Отсюда можно вычислить, в чём измеряется импульс силы — эти единицы называются ньютон-секундами. С помощью этого произведения можно описать следующие физические явления:

  • Полёт выпущенной из лука стрелы. Чем дольше она взаимодействует с тетивой лука, тем больше изменяется её движение и тем выше конечная скорость полёта.
  • Две точки или два шарика, сталкивающиеся друг с другом (упругий удар). Согласно третьему закону Ньютона, эти тела при ударе имеют равные модули силы. Следовательно, модули импульса тоже должны быть равными. При этом масса шариков может быть неодинаковой.

Силы одинаковой величины, которые действуют на протяжении одинакового отрезка времени, вызывают одинаковые импульсы силы. Причём этот показатель не зависит от массы тела.

Для показателя изменения справедливо и обратное утверждение. Сумма сил, которые действуют на тело, равна отношению импульса силы ко времени.

В переводе с латинского слово «импульс» означает «толчок». Этот термин в некоторых источниках заменён на «количество движения».

Импульс силы направлен в ту же сторону, что и вектор скорости движения.

Законы фотоэффекта

Чтобы получить более полное представление о фотоэффекте, выясним, от чего зависит количество электронов, вырванных светом с поверхности вещества, а также, от чего зависит их скорость, или кинетическая энергия. Выяснить все это нам помогут эксперименты.

Первый закон фотоэффекта

Возьмем стеклянный баллон и выкачаем из него воздух (смотрите рисунок выше). Затем поместим в него два электрода. На электроды подадим напряжение и будем регулировать его с помощью потенциометра и измерять при помощи вольтметра.

В верхней части нашего баллона есть небольшое кварцевое окошко, которое пропускает весь свет, в том числе ультрафиолетовый. Через него падает свет на один из электродов (в нашем случае на левый электрод, к которому присоединен отрицательный полюс батареи). Мы увидим, что под действием света этот электрод начнет испускать электроны, которые при движении в электрическом поле будут создавать электрический ток. Вырванные электроны будут направляться ко второму электроду. Но если напряжение небольшое, второго электрода достигнут не все электроны. Если интенсивность излучения сохранить, но увеличить между электродами разность потенциалов, то сила тока будет увеличиваться. Но как только она достигнет некоторого максимального значения, рост силы тока при дальнейшем увеличении напряжения прекратится. Максимальное значение силы тока будем называть током насыщения.

Ток насыщения — максимальное значение силы тока, также называемое предельным значением силы фототока.

Ток насыщения обозначается как Iн. Единица измерения — А (Кл/с). Численно величина равна отношению суммарному заряду вырванных электронов в единицу времени:

Iн=qt..

Если же мы начнем изменять интенсивность излучения, то сможем заметить, что фототок насыщения также начинается меняться. Если интенсивность излучения ослабить, максимальное значение силы тока уменьшится. Если интенсивность светового потока увеличить, ток насыщения примет большее значение. Отсюда можно сделать вывод, который называют первым законом фотоэффекта.

Первый закон фотоэффекта:

Число электронов, вырываемых светом с поверхности металла за 1 с, прямо пропорционально поглощаемой за это время энергии световой волны. Иными словами, фототок насыщения прямо пропорционален падающему световому потоку Ф.

Второй закон фотоэффекта

Теперь произведем измерения кинетической энергии, то есть, скорости вырывания электронов. Взгляните на график, представленный ниже. Видно, что сила фототока выше нуля даже при нулевом напряжении. Это говорит о том, что даже при нулевой разности потенциалов часть электронов достигает второго электрода.

Если мы поменяем полярность батареи, то будем наблюдать уменьшение силы тока. Если подать на электроды некоторое значение напряжения, равное Uз, сила тока станет равно нулю. Это значит, что электрическое поле тормозит вырванные электроны, останавливает их, а затем возвращает на тот же электрод.

Напряжение, равное Uз, называют задерживающим напряжением. Оно зависит зависит от максимальной кинетической энергии электронов, которые вырываются под действием света. Измеряя задерживающее напряжение и применяя теорему о кинетической, можно найти максимальное значение кинетической энергии электронов. Оно будет равно:

mv22..=eUз

Опыт показывает, что при изменении интенсивности света (плотности потока излучения) задерживающее напряжение не меняется. Значит, не меняется кинетическая энергия электронов. С точки зрения волновой теории света этот факт непонятен. Ведь чем больше интенсивность света, тем большие силы действуют на электроны со стороны электромагнитного поля световой волны и тем большая энергия, казалось бы, должна передаваться электронам. Но экспериментальным путем мы обнаруживаем, что кинетическая энергия вырываемых светом электронов зависит только от частоты света. Отсюда мы можем сделать вывод, являющийся вторым законом фотоэффекта.

Второй закон фотоэффекта:

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растет с частотой света и не зависит от его интенсивности.

Причем, если частота света меньше определенной для данного вещества минимальной частоты νmin, фотоэффект наблюдаться не будет.

Техническое применение фотонов

Важное техническое устройство, использующее фотоны — лазер. Лазеры применяют во многих областях технологии: с их помощью режут, варят и плавят металлы, получают сверхчистые металлы

На лазерах основаны многие точные физические приборы — например, сейсмографы. Ну а с лазерными принтерами и указками вы наверняка знакомы.

На определении местоположения фотонов основаны многие генераторы случайных чисел. Чтобы сгенерировать один бит случайной последовательности, фотон направляется на лучеделитель — штуку, которая разделяет свет на два потока.

Для любого фотона существует лишь две возможности, причем с одинаковой вероятностью: пройти лучеделитель или отразиться от его грани. В зависимости от того, прошел фотон через лучеделитель или нет, следующим битом в последовательность записывается 0 или 1.

Изучаем количество движения

В физике импульсом называется количество движения, которое приобретает тело под действием заданной силы за определенное время. Играя в бильярд, нетрудно убедиться в разнообразных проявлениях импульса. Чем сильнее и быстрее удар кия по шару, тем интенсивнее движется шар. Чем больше столкновений испытает шар, тем менее интенсивным становится его движение.

В повседневных ситуациях мы привыкли говорить, что тому или иному объекту или событию придают импульс. Рассмотрим процесс передачи импульса более подробно на примере бильярдного кия и шара. Процесс передачи импульса начинается в момент ​\( t_0 \)​ первого соприкосновения кия с шаром и заканчивается в момент ​\( t_1 \)​ утраты контакта между кием и шаром. В общем зависимость силы воздействия кия на шар от времени имеет сложный характер. Однако доя простоты можно положить, что она линейно возрастает от нулевого значения в момент \( t_0 \) первого соприкосновения, достигает максимального значения в момент наибольшего контакта, а потом снижается до нуля в момент \( t_1 \) утраты контакта между кием и шаром. Эта идеализированная зависимость силы взаимодействия кия и шара от времени графически показана на рис. 9.1.

Время взаимодействия кия и шара очень мало (несколько долей секунды), и зафиксировать характер изменения силы можно только с помощью очень точного оборудования. Обычно физики используют не точные мгновенные значения, а усредненные величины. Например, в данном примере приобретенный шаром импульс ​\( \mathbf{p} \)​ равен произведению средней силы взаимодействия ​\( \mathbf{\overline{F}} \)​ и времени взаимодействия ​\( \Delta{t}=t_1-t_0 \)​:

Обратите внимание, что эта формула связывает векторы силы и импульса. Действительно, импульс — это вектор, обладающий некоторой величиной и направлением, совпадающим с направлением силы, например результирующей векторной суммы всех действующих на объект сил

Таблица единиц измерения «Механика»

Физическая величина

Символ

Единица измерения физической величины

Ед. изм. физ. вел.

Описание

Примечания

Масса

m

килограмм

кг

Величина, определяющая инерционные и гравитационные свойства тел.

экстенсивная величина

Плотность

ρ

килограмм на кубический метр

кг/м3

Масса на единицу объёма.

интенсивная величина

Поверхностная плотность

ρA

Масса на единицу площади.

кг/м2

Отношение массы тела к площади его поверхности

Линейная плотность

ρl

Масса на единицу длины.

кг/м

Отношение массы тела к его линейному параметру

Удельный объем

v

кубический метр на килограмм

м3/кг

Объём, занимаемый единицей массы вещества

Массовый расход

Qm

килограмм в секунду

кг/с

Масса вещества, которая проходит через заданную площадь поперечного сечения потока за единицу времени

Объемный расход

Qv

кубический метр в секунду

м3/с

Объёмный расход жидкости или газа

Импульс

P

килограмм-метр в секунду

кг•м/с

Произведение массы и скорости тела.

экстенсивная, сохраняющаяся величина

Момент импульса

L

килограмм-метр в квадрате в секунду

кг•м2/с

Мера вращения объекта.

сохраняющаяся величина

J

килограмм-метр в квадрате

кг•м2

Мера инертности объекта при вращении.

тензорная величина

Сила, вес

F, Q

ньютон

Н

Действующая на объект внешняя причина ускорения.

вектор

Момент силы

M

ньютон-метр

Н•м =

(кг·м2/с2)

Произведение силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

вектор

Импульс силы

I

ньютон-секунда

Н•с

Произведение силы на время её действия

вектор

Давление, механическое напряжение

p, σ

паскаль

Па = (кг/(м·с2))

Сила, приходящаяся на единицу площади.

интенсивная величина

Работа

A

джоуль

Дж = (кг·м2/с2)

Скалярное произведение силы и перемещения.

скаляр

Энергия

E, U

джоуль

Дж = (кг·м2/с2)

Способность тела или системы совершать работу.

экстенсивная, сохраняющаяся величина, скаляр

Мощность

N

ватт

Вт = (кг·м2/с3)

Скорость изменения энергии.

Физические свойства фотона

Фотон — безмассовая нейтральная частица. Спин фотона равен 1 (частица является бозоном), но из-за нулевой массы покоя более подходящей характеристикой является спиральность, проекция спина частицы на направление движения. Фотон может находиться только в двух спиновых состояниях со спиральностью, равной . Этому свойству в классической электродинамике соответствует циркулярная поляризация электромагнитной волны.

Массу покоя фотона считают равной нулю, основываясь на эксперименте (отличие массы фотона от нуля привело бы к дисперсии электромагнитных волн в вакууме, что размазало бы по небу наблюдаемые изображения галактик) и теоретических обоснованиях (в квантовой теории поля доказывается, что если бы масса фотона не равнялась нулю, то электромагнитные волны имели бы три, а не два поляризационных состояния). Поэтому скорость фотона, как и скорость любой безмассовой частицы, равна скорости света. По этой причине (не существует системы отсчёта, в которой фотон покоится) внутренняя чётность частицы не определена. Если приписать фотону наличие т. н. «релятивистской массы» (термин ныне выходит из употребления) исходя из соотношения , то она составит . Фотон — истинно нейтральная частица (тождественен своей античастице), поэтому его зарядовая чётность отрицательна и равна −1. Вследствие закона сохранения зарядовой чётности и её мультипликативности в электромагнитных процессах невозможно превращение чётного числа фотонов в нечётное и наоборот (Теорема Фарри).

Фотон относится к калибровочным бозонам. Он участвует в электромагнитном и гравитационном взаимодействии.

Фотон проводит часть времени как виртуальная частица векторный мезон или как виртуальная пара адрон-антиадрон. За счёт этого явления фотон способен участвовать в сильных взаимодействиях. Свидетельством участия фотона в сильных взаимодействиях являются процессы фоторождения — мезонов на протонах и нейтронах, а также множественное образование нуклонов на протонах и ядрах. Сечения процессов фоторождения нуклонов на протонах и нейтронах очень близки друг к другу. Это объясняется тем, что у фотона есть адронная составляющая, за счёт чего фотон участвует в сильных взаимодействиях.

Фотон не имеет электрического заряда и не распадается спонтанно в вакууме, стабилен. Фотон может иметь одно из двух состояний поляризации и описывается тремя пространственными параметрами — составляющими волнового вектора, который определяет его длину волны и направление распространения.

Фотоны излучаются во многих природных процессах, например, при движении электрического заряда с ускорением, при переходе атома или ядра из возбуждённого состояния в состояние с меньшей энергией, или при аннигиляции пары электрон-позитрон. При обратных процессах — возбуждение атома, рождение электрон-позитронных пар — происходит поглощение фотонов.

Если энергия фотона равна , то импульс связан с энергией соотношением , где — скорость света (скорость, с которой в любой момент времени движется фотон как безмассовая частица). Для сравнения, для частиц с ненулевой массой покоя связь массы и импульса с энергией определяется формулой , как показано в специальной теории относительности.

В вакууме энергия и импульс фотона зависят только от его частоты (или, что эквивалентно, от длины волны :

,
,

и, следовательно, величина импульса есть:

,
где — постоянная Планка, равная ; — волновой вектор и — его величина (волновое число); — угловая частота. Волновой вектор указывает направление движения фотона. Спин фотона не зависит от частоты.

Классические формулы для энергии и импульса электромагнитного излучения могут быть получены исходя из представлений о фотонах. К примеру, давление излучения осуществляется за счёт передачи импульса фотонов телу при их поглощении. Действительно, давление — это сила, действующая на единицу площади поверхности, а сила равна изменению импульса, отнесённому ко времени этого изменения.

В зависимости от электрической и магнитной мультипольности системы зарядов, излучившей данный фотон, для фотона возможны состояния с полными моментами импульса … и чётностью или . Различают состояния фотонов электрического и магнитного типа. Состояние фотона с моментом и чётностью называется фотонным — полем электрического типа, с чётностью называется фотонным — полем магнитного типа. Для обозначения фотонов определённой мультипольности сначала пишется буква для электрического мультиполя или M для магнитного мультиполя и вплотную к этой букве пишется цифра, равная полному моменту . Электрический дипольный фотон обозначается как , магнитный дипольный — , электрический квадрупольный фотон — , и т. д.

Понятие импульса

Изучая законы механики на примере упругого столкновения движущегося и покоящегося тел (например, металлических шаров), можно легко убедиться, что результат такого столкновения зависит не только от скорости движущегося тела, но и от масс обоих тел. Чем больше масса движущегося тела, тем сильнее оно толкнет одно и то же покоящееся тело при равной скорости. Следовательно, необходимо ввести специальную величину, которая бы характеризовала эту особенность взаимодействия – количество движения или импульс.

Для вывода формулы импульса заметим, что ускорение, получаемое материальной точкой, изменяется по закону:

$$\overrightarrow a={\overrightarrow F \over m}$$

Это одна из записей Второго закона Ньютона. Ускорение в левой части формулы равно отношению изменения скорости ко время этого изменения. Подставляя, получим:

$${\overrightarrow {v_2}-\overrightarrow {v_1}\over Δt}={\overrightarrow F \over m}$$

Преобразуя по свойству пропорции, имеем:

$${m \overrightarrow {v_2}- m \overrightarrow {v_1}}={\overrightarrow F Δt}$$

В левой части выражения мы получили разность произведений масс материальных точек на их скорости. Причем, эта разность пропорциональна величине приложенной силы и времени ее действия. То есть, действие силы состоит в изменении произведения массы и скорости. Это произведение и называется импульсом материальной точки (обозначается $\overrightarrow p$):

$$\overrightarrow p= m \overrightarrow v$$

Рис. 1. Импульс материальной точки.

Основные теоретические сведения

Импульс тела

Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:

Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.

Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):

где: pн – импульс тела в начальный момент времени, pк – в конечный. Главное не путать два последних понятия.

Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.

Закон сохранения импульса

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ). Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:

Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:

Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:

Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.

Сохранение проекции импульса

Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю. Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.

Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод

В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:

В этих формулах буквой υ обозначены скорости тел до соударения, а буквой u обозначены скорости тел после соударения. Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов. Если правильно записать соответствующую теорему косинусов, то зачастую получается уравнение из которого можно найти нужную величину. Однако, иногда к правильно записанной теореме косинусов еще нужно будет добавить правильно записанный закон сохранения энергии (смотрите следующий раздел). В этом случае получится система уравнений из которых наверняка можно будет найти нужную величину.