Консервативные и неконсервативные силы

Неконсервативная сила [ править ]

Несмотря на сохранение полной энергии, неконсервативные силы могут возникать в классической физике из-за пренебрежения степенями свободы или из-за зависящих от времени потенциалов. Многие неконсервативные силы могут восприниматься как макроскопические эффекты мелкомасштабных консервативных сил. Например, трение можно рассматривать без нарушения закона сохранения энергии, рассматривая движение отдельных молекул; однако это означает, что необходимо учитывать движение каждой молекулы, а не обрабатывать его статистическими методами. Для макроскопических систем работать с неконсервативным приближением гораздо проще, чем с миллионами степеней свободы.

Примерами неконсервативных сил являются трение и напряжение неупругого материала . Трение приводит к передаче части энергии от крупномасштабного движения тел к мелкомасштабным движениям внутри них, и поэтому в больших масштабах оно кажется неконсервативным. Общая теория относительности неконсервативна, что видно по аномальной прецессии орбиты Меркурия. Однако общая теория относительности действительно сохраняет псевдотензор напряжения-энергии-импульса .

Ссылки [ править ]

1. ^ HyperPhysics — Консервативная сила
2. ^ Луи Н. Хэнд, Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. п. 41. ISBN 0-521-57572-9.
3. ^ Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Саусалито, Калифорния: Univ. Научные книги. С. 133–138. ISBN 1-891389-22-X.
4. ^ Например, П. К. Шривастава (2004). Механика . Международный паб New Age. (P) Limited. п. 94. ISBN 9788122411126. Проверено 20 ноября 2018 .: «В общем, сила, которая явно зависит от скорости частицы, не является консервативной. Однако магнитная сила (q v × B ) может быть включена в число консервативных сил в том смысле, что она действует перпендикулярно скорости и, следовательно, выполняется всегда равен нулю ». интернет-ссылка
5. ^ Например, Магнитная Вселенная: геофизическая и астрофизическая теория динамо , Рюдигер и Холлербах, страница 178, веб-ссылка
6. ^ Фридхельм Кайперс. Klassische Mechanik. WILEY-VCH 2005. Стр. 9.
7. ^ a b Том В. Б. Киббл, Фрэнк Х. Беркшир. Классическая механика. (5-е изд). Imperial College Press 2004 ISBN 1860944248 
8. ^ Ремингтон Питтс. Механика и волны. Электронные научные ресурсы 2018

Неоконсерватизм

Неоконсерватизм сочетает признаки консерватизма и либерализма. 

Характеристика неоконсерваторов включает:

• неохотное признание демократии, так как в современном мире другой альтернативы нет;

• признание двойственности человеческой природы – агностицизм;

• государство считает, что не должно экономически и социально поддерживать граждан, которые сами могут заработать;

• культурные и моральные нормы преобладают над социальными, экономическими и политическими.

Направление на неоконсерватизм было предпринято Западом в 60 — 70-х годах прошлого века, когда был расцвет феминистического и радикального движения среди молодежи.

Кто такие консерваторы?

Иногда мы можем услышать в свой адрес: «Ты консерватор!», понимая, что это не совсем комплимент. Или же в новостях по телевизору нередко проскальзывают фразы, наподобие: «Партия консерваторов проголосовала за новый законопроект». Данные высказывания для многих людей остаются загадкой, ведь о том, кто такие консерваторы, знают далеко не все. А ведь это понятие может употреблять по отношению к человеку и в прямом, и в переносном смысле.

Кто такие консерваторы — определение понятия

Чтобы получить правильный ответ на вопрос, что значит консерватор, прежде всего, необходимо посмотреть на истоки самого слова.

Оно, как и большинство терминов, имеет латинское происхождение и по своему значению очень похоже на другое слово – «консервы», потому что корень у них один: conserve, что значит «сохранять». Вначале слово использовалось как философское понятие, относящее к социально-политической сфере, но затем это качество стали переносить на отдельного индивида. Поэтому сегодня говоря о консерваторах, могут подразумевать отдельного человека с особым типом жизненных установок или представителя конкретной политической – консервативной – партии. И тот, и другой будут являться консерваторами, но при этом будут отличаться.

Кто такой человек-консерватор?

Достаточно часто слово «консерватор» употребляется по отношению к обычному человеку, не занимающемуся политической или активной социальной деятельностью. Причем, данное определение может носить как одобрительный, так и негативный характер. Чтобы не попасть в неловкую ситуацию, следует знать, что означает консерватор в том случае, если так называют именно вас или кого-то из ваших знакомых. Скорее всего, собеседник не хочет нанести обиду и имеет в виду всего лишь приверженность определенной системе взглядов, которые влияют на жизненное кредо и могут многое сказать о характере человека. Основные черты консервативного типа мировоззрения это:

• трезвое, взвешенное, критичное отношение к жизни;
• настороженное, иногда резко отрицательное отношение к новым веяниям;
• боязнь и избегание любых перемен;
• стремление жить здесь и сейчас, скептическое отношение к гипотетическому будущему счастью;
• крайнее почитание традиций, даже откровенно устаревших и вредных;
• приверженность прошлому, его идеализация.

Иногда консерватизм человека отождествляется с косностью, но это в корне неверно. В стремлении сохранить существующее, нет ничего плохого, ведь без прошлых достижений не будет и последующих. Кроме того, человеческая цивилизация развивается по спирали, поэтому некоторые идеи консерваторов могут вообще приобрести статус прогрессивных.

За что выступают консерваторы-политики?

Классическим примером консервативной политической партии является одна из фракций британского парламента. В нашей истории наиболее ярким образцом можно назвать социально-политическое движение славянофилов в XIX веке, а в настоящее время многие определяют наиболее близкими к консерваторам представителей коммунистической политической партии.

Для консерваторов-политиков наиболее характерны следующие черты:

• весьма критичное отношение к любым радикальным реформам;
• стремление к сохранению национальной идентичности, ограждению от влияния иностранной культуры;
• агитация за строгое ограничение импорта до необходимого минимума, призыв делать упор на отечественные товары и услуги;
• поддержание мер по сохранению традиционного социально-общественного и религиозного уклада в стране;
• формализм по отношению к модным веяниям во всех общественных сферах.

Консерватизм в России в XIX веке

В России консерватизм получил широкое распространение в 19 веке. Зародился как славянофильство, затем приобрел религиозные и этические черты. 

Российская история XIX века была полна событиями радикального и революционного характера: восстание декабристов, покушения на царя и высокопоставленных чиновников, отмена крепостного права, движения за предоставление больших прав народу. 

Такие народные настроения привели к более консерваторским взглядам в правительственных кругах, чтобы взять контроль над населением.

Государственная политика основывалась на сохранении самобытности России

Особое внимание уделялось религиозному учению, укреплению самодержавия, сохранению исконно-русских устоев. Авторы консерваторских философских работ поддерживали такие взгляды.

Самыми известными представителями российского консерватизма XIX века были: Самарин, Хомяков, Киреевский, Аксаков.

Консерватизм в странах мира

Направления консерватизма имеют свою обособленную историю практически в каждой стране планеты. Цели и методы консервативной политики каждый страны отличаются.

В современном мире консерватизм подразумевает наличие монархии в стране. Консервативные партии и монархические семьи смогли сохранить: Великобритания, Дания, Норвегия, Швеция, Нидерланды, Люксембург, Япония и многие другие.

Партии, наполовину имеющие признаки консерватизма, христианские взгляды, есть в Австралии, Италии, Германии, Японии, Новой Зеландии, США.

В Ирландии, Португалии и Канаде есть социально-консервативные партии.

Политолог и ученый Клаус фон Байме разработал свой метод, по которому классифицировал все партии мира и истории. После чего обнаружил, что нет ни одной партии на планете, которую можно было бы полностью считать консервативной.

Предыдущая

ОбществознаниеНаучно-техническая революция – основные черты, направления и достижения

Следующая

ОбществознаниеТермины по обществознанию для 7 класса – основные определения и понятия

5. Законы сохранения

5.1. Механическая система — это совокупность тел,
выделенных нами для рассмотрения
5.1.1. Внутренние и внешние силы

5.1.2. Замкнутая система
Замкнутая система — это система, на которую внешние силы не
действуют.

5.1.3. Импульс системы материальных
точек — это
векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих
в систему

,     
.

5.2. Закон сохранения импульса

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

На рисунке изображена замкнутая система, состоящая из трех тел.

По II закону Ньютона , примененному к каждому телу
рассматриваемой замкнутой системы, имеем:

Сложим эти уравнения. Справа, по III закону
Ньютона , получим ноль. Слева — производную
по времени от полного импульса системы .

Производная — ноль, значит, сама величина — константа.

если нет внешних сил (система замкнута).

Если система не замкнута, но внешние силы не действуют на неё вдоль
каких-либо осей, то соответствующие компоненты импульса сохраняются, например:

Применим II закон Ньютона для материальной точки m, движущейся под действием результирующей силы :

Помножим скалярно: слева на
— справа на

.

Используя справа и преобразуя левую часть,

получим

.

Половина произведения массы частицы на квадрат ее
скорости названа ее
кинетической энергией

Таким образом элементарная работа, совершаемая над
телом, равна элементарному приращению его кинетической энергии. При
интегрировании вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2, мы
получим:

Работа результирующей силы идет на приращение кинетической энергии
материальной точки.

5.6. Консервативные и неконсервативные силы
Консервативные (conservativus — охранительный) —
такие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяются только
начальным и конечным положением материальной точки.
Силы, не обладающие только что названным
свойством, называют неконсервативными.
Для того чтобы узнать, консервативна сила либо
нет, надо вычислить ее работу.

5.6.1. Консервативность силы тяжести

На приведенном выше рисунке дан вид сбоку. Точка
m движется под действием силы тяжести из 1 в 2. Сила тяжести всегда
направлена вниз! вектор перемещения,

.

При любой траектории ответ будет таким же, значит, сила
тяжести консервативна.

5.6.2. Неконсервативность силы трения

На рисунке изображен вид сверху на материальную точку m, движущуюся при наличии силы трения из положения 1 в положение 2. Сила трения всегда направлена против скорости cosα = -1.

.

Ответ зависит от выбора траектории, значит, сила трения
неконсервативна.

5.7. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил

Так как их работа не зависит от траектории, а только
от начального и конечного положений материальной точки, то эту работу можно записать в
виде разности двух чисел: одно — W_n1 — будет зависеть от начального положения
тела, второе — W_n2 — от конечного положения тела.

.

W_n1 — потенциальная энергия тела в положении 1;
W_n2 — в положении 2.

5.7.1. Некоторые конкретные
выражения для потенциальной энергии W_n(r)
Для нахождения конкретного вида зависимости W_n(r)
необходимо вычислить работу

.

В частности, для
однородного поля тяжести, где , используя
, получим: W_n = mgh.
Если — гравитационная сила,
то Если — кулоновская сила, то
.Если — сила упругости, то
.

5.8.Закон сохранения механической
энергии

5.8.1.Для одной материальной
точки, движущейся в поле консервативных сил,из

A₁₂ = W_k2 — W_k1,

из

A₁₂ = W_n1 — W_n2.

Откуда

W_n1 — W_n2 = W_k2 — W_k1

или

W_k1 + Wn1 = W_k2 + W_n2.

В поле консервативных сил сумма кинетической и потенциальной
энергии материальной точки остается постоянной, т.е. сохраняется.

— полная энергия материальной
точки.

Полная энергия материальной точки в поле консервативных сил сохраняется.

5.8.2. Полная энергия системы
материальных точек
Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой
материальных точек, полная энергия

,

где W_{п i, k} — потенциальная энергия взаимодействия
i -й материальной точки с k-й материальной точкой.
W_п — потенциальная энергия взаимодействия всех
частиц системы между собой.

5.8.2.1. Закон сохранения энергии для
системы материальных точек
Если система материальных точек находится во внешнем поле консервативных сил, то её полная механическая энергия

,

где W’_п — потенциальная энергия системы во внешнем поле.

Полная механическая энергия системы материальных точек, находящейся только под действием
консервативных сил, остается постоянной.

При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия
системы не сохраняется, ее убыль равна работе неконсервативных сил.

Виды консервативных сил

Свойством консервативности обладают: сила упругости, тяжести, гравитационная сила, электростатическое взаимодействие и другие центральные. Для этих систем свойственно – работа cил при перемещении по замкнутому контуру равняется нулю. При упругих деформациях пружина возвращает свое исходное состояние по прекращению воздействия (работа =0). Если работают лишь консервативные силы, энергия общая механическая при этом не изменяется.

Потенциальные силы зависят только от положения взаимодействующих тел. Объекты притягиваются или отталкиваются. Положение точки отсчета 0 произвольное, выбирается в зависимости от задачи. Разные поля имеют различные начальные уровни потенциальной энергии. В однородном поле тяжести – от поверхности, для гравитационных полей – от далёких точек, для деформации упругости – от начального недеформированного состояния.

Сила тяжести

Еще до конца XVI в. Галилео Галилей изучал свободное падение тел под влиянием притяжения Земли. При устранении сопротивления воздуха разные тела достигают поверхности с одинаковым ускорением g, которое округленно является константой. Потенциальную энергию считают от поверхности Земли. Работа определяет изменение с противоположным знаком энергии тела.

Работа консервативных сил (тяжести) зависит только от координат двух точек пути, при замкнутом контуре = 0.

Планета Земля не круглая, а приплюснута, как груша, на полюсах. Расстояния до центра Земли от поверхности разные, поэтому ускорение на полюсах побольше, чем на экваторе. Меньшим оно будет на большей высоте над Землей. Принято усредненное число 9,81 м/с2. Притяжение к Земле вблизи ее поверхности (тяжесть) – проявление силы всемирного тяготения (гравитации).

Сила упругости

В деформируемом теле появляется сила упругости, как отклик внутренних взаимодействий частей в строении вещества. Наглядный пример – деформация растяжения или сжатия пружины. При упругих изменениях (деформациях) тело возвращает свои изначальные размеры состояния покоя по окончании действия внешней силы. При небольших смещениях x по формуле Гука упругость пропорциональна абсолютному удлинению и определяется:

Работа с полем упругой силы равна

Сила гравитации

Ньютон в 1682 году открыл Закон всемирного тяготения, объясняющий движение планет. Фундаментальный закон силы тяготения был сформулирован при решении обратной задачи по движению спутника Земли Луны.

Гравитационное силовое поле притяжения порождает массивное тело. Между телами, обладающими массой, есть только силы гравитационного притяжения. Гравитация действует на массы, но массы самостоятельно не совершат ничего.

Силы зависят только от массы и расстояния в квадрате между объектами.

F = G * (Mm/R2), где G= 6,67430(15)·10−11 м³/(кг·с²) — гравитационная постоянная.

Закон приблизительно справедлив для тел со значительно меньшими скоростями (к световой) и малой силой тяготения. Для сил гравитации в масштабах космоса, пространства и времени лишь спустя 2 века родилась теория относительности Эйнштейна.

Вектор силы тяготения, которая действует на тело через влияния других тел, равен сумме векторов сил

(правило суперпозиции).

Сила электростатического взаимодействия

Электрическим полем называется особый вид материи, воздействующий на заряженные частицы и тела. Давно замечено свойство янтаря или эбонитовой палочки притягивать мелкие бумажки, предметы. При трении тела наэлектризовываются, приобретают электрические заряды, так, например, при печати прилипают листы бумаги в принтерах. Существует два типа зарядов: положительные и отрицательные. Одноименные заряды отталкиваются, а разные притягиваются.

Электрические заряды – источники поля, они не сами действуют, а создают электрическое поле, которое и передает их действие. Неподвижные заряды взаимодействуют с силой, нарастающей при увеличении зарядов и уменьшающейся с квадратичным ростом расстояния между ними. Закон Кулона для вакуума с двумя точечными зарядами похож на закон тяготения масс, но у последнего только сила притяжения.

Центральные кулоновские силы находятся на прямой линии, соединяющей точки центров зарядов. В потенциальных центральных полях равна 0 работа силы по замкнутой линии.

Неофициальное определение [ править ]

Неформально консервативную силу можно рассматривать как силу, сохраняющую механическую энергию . Предположим, что начинается частицы в точке А, и существует сила F , действующая на нее. Затем частица перемещается под действием других сил и в конце концов снова оказывается в точке A. Хотя частица все еще может двигаться, в тот момент, когда она снова проходит точку А, она прошла замкнутый путь. Если сетевая работа, выполненная F в этот момент, равна 0, то F проходит тест замкнутого пути. Любая сила, которая проходит тест на замкнутый путь для всех возможных замкнутых путей, классифицируется как консервативная сила.

Сила тяжести , сила пружины , магнитная сила (согласно некоторым определениям, см ниже) и электрическая силу ( по крайней мере , в магнитном поле , не зависящее от времени, см закона Фарадея индукции для деталей) являются примерами консервативных сил, в то время как трение и воздух сопротивление являются классическими примерами неконсервативных сил.

Для неконсервативных сил механическая энергия, которая теряется (не сохраняется), должна быть направлена ​​в другое место в результате сохранения энергии . Обычно энергия превращается в тепло , например тепло, выделяемое при трении. Помимо тепла, трение также часто производит некоторую звуковую энергию. Гидравлическое сопротивление движущейся лодки преобразует механическую энергию лодки не только в тепловую и звуковую энергию, но также и в энергию волн на краях ее следа . Эти и другие потери энергии необратимы в силу второго закона термодинамики .

Неконсервативные силы

g src=»https://studwork.s3.eu-central-1.amazonaws.com/reference_page/sila-treniya-f80e38ada376cc9b5609bcb1b961d948.png» alt=»сила трения»>

Конечно, помимо консервативных сил есть неконсервативные. Это все остальные силы, чья работа вычисляется по пути.

Сила трения

Сила трения возникает при движении одного тела по поверхности другого и равна:

F=μNF=\mu NF=μN

μ\muμ — коэффициент трения,NNN — сила реакции опоры.

Коэффициент трения зависит от материала тел, состояния их поверхности и т. д., но он не зависит от площади трущихся тел.

Сила сопротивления воздуха

Сила сопротивления воздуха возникает, когда тело какой-то формы движется со скоростью vvv в воздухе. Для некоторого диапазона скоростей эта сила пропорциональна квадрату скорости:

F=kv2F=kv^2F=kv2

kkk — коэффициент пропорциональности, зависящий от формы движущегося тела и его прочих характеристик.

Для неконсервативных сил невозможно ввести потенциальную энергию, следовательно, не имеет смысла говорить о полной механической энергии E=T+UE=T+UE=T+U и о ее сохраняемости. Значит, получается, что при действии неконсервативных сил, полная (механическая) энергия не сохраняется.

Самое важное, что нужно запомнить относительно этих двух видов сил: энергия (механическая) сохраняется в той системе тел, где действуют только консервативные силы. В этом их смысл

Но что это за процессы? Это могут быть, например, явления превращения кинетической энергии в тепло. Когда два тела трутся друг о друга, то они нагреваются. Не замечая этого, мы и говорим, что полная энергия не сохраняется

Но здесь важно понимать главное различие. Говорится именно о несохраняемости полной механической энергии

Существует всего два вида механической энергии: кинетическая и потенциальная. Если мы добавим сюда все виды энергии, которые существуют в природе, то получим красивое правило: полная энергия системы (система должна быть замкнутой) сохраняется.

Неофициальное определение [ править ]

Неформально консервативную силу можно рассматривать как силу, сохраняющую механическую энергию . Предположим, что начинается частицы в точке А, и существует сила F , действующая на нее. Затем частица перемещается под действием других сил и в конце концов снова оказывается в точке A. Хотя частица все еще может двигаться, в тот момент, когда она снова проходит точку А, она прошла замкнутый путь. Если сетевая работа, выполненная F в этот момент, равна 0, то F проходит тест замкнутого пути. Любая сила, которая проходит тест на замкнутый путь для всех возможных замкнутых путей, классифицируется как консервативная сила.

Сила тяжести , сила пружины , магнитная сила (согласно некоторым определениям, см ниже) и электрическая силу ( по крайней мере , в магнитном поле , не зависящее от времени, см закона Фарадея индукции для деталей) являются примерами консервативных сил, в то время как трение и воздух сопротивление являются классическими примерами неконсервативных сил.

Для неконсервативных сил механическая энергия, которая теряется (не сохраняется), должна быть направлена ​​в другое место в результате сохранения энергии . Обычно энергия превращается в тепло , например тепло, выделяемое при трении. Помимо тепла, трение также часто производит некоторую звуковую энергию. Гидравлическое сопротивление движущейся лодки преобразует механическую энергию лодки не только в тепловую и звуковую энергию, но также и в энергию волн на краях ее следа . Эти и другие потери энергии необратимы в силу второго закона термодинамики .

Доказательство эквивалентности критериев

Как было сказано в начале, четыре определения консервативного силового поля синонимичны друг другу. Первый критерий — это как раз определение консервативной силы из введения, остальные вытекают из него.

Любые два пути в консервативном силовом поле

1. Предположив, что произведение исчезает по замкнутому пути, сначала можно показать правильность второго критерия. Рассмотрим два пути и между точками 1 и 2 в консервативном силовом поле, как на картинке справа:
С.1{\ displaystyle S_ {1}}С.2{\ displaystyle S_ {2}}

Если он проходит от точки 1 по пути до точки 2, а затем по пути обратно в точку 1, кольцевой интеграл по этому пути приводит к
С.{\ displaystyle C}С.1{\ displaystyle S_ {1}}С.2{\ displaystyle S_ {2}}

знак равно∮С.Ф.→(р→)⋅dр→знак равно∫1,С.12Ф.→(р→)⋅dр→+∫2,-С.21Ф.→(р→)⋅dр→{\ displaystyle 0 = \ oint _ {C} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ int _ {1, S_ { 1}} ^ {2} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} + \ int _ {2, -S_ {2}} ^ {1} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}

С участием

∫1,С.12Ф.→(р→)⋅dр→знак равно-∫2,-С.21Ф.→(р→)⋅dр→знак равно∫1,С.22Ф.→(р→)⋅dр→{\ displaystyle \ int _ {1, S_ {1}} ^ {2} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = — \ int _ {2, -S_ {2}} ^ {1} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ int _ {1, S_ {2}} ^ {2} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}

это то и ровно ноль, если

∫1,С.12Ф.→(р→)⋅dр→знак равно∫1,С.22Ф.→(р→)⋅dр→{\ displaystyle \ int _ {1, S_ {1}} ^ {2} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ int _ {1, S_ {2}} ^ {2} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}

что соответствует независимости пути и, следовательно, второму определению консервативного силового поля.

2. Если это так
Ф.→(р→)знак равно-∇→V(р→){\ displaystyle {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) = — {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}})}

∫12Ф.→(р→)⋅dр→знак равно-∫12∇→V(р→)⋅dр→знак равноV(1)-V(2){\ displaystyle \ int _ {1} ^ {2} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = — \ int _ {1 } ^ {2} {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = V (1) -V (2)}Независимо от направления на юг .

3. Если да, то применяется ротация
Ф.→(р→)знак равно-∇→V(р→){\ displaystyle {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) = — {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}})}

∇→×Ф.→(р→)знак равно-∇→×∇→V(р→)знак равно(∂∂Икс∂∂у∂∂z)×(∂V∂Икс∂V∂у∂V∂z)знак равно(∂2V∂у∂z-∂2V∂z∂у∂2V∂z∂Икс-∂2V∂Икс∂z∂2V∂Икс∂у-∂2V∂у∂Икс)знак равно→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) = — {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}}) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac { \ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial V} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial V} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial y \ partial z}} — {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z \ partial y}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z \ partial x}} — { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x \ partial z}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x \ partial y}} — {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial y \ partial x}} \ end {pmatrix}} = {\ vec {0}}},

где последний шаг произошел из-за взаимозаменяемости частных производных согласно теореме Шварца .

4. Согласно теореме Стокса поверхность A, окруженная замкнутой кривой C, имеет место

∬А.∇→×Ф.→⋅dА.→знак равно∮С.Ф.→⋅dр→{\ displaystyle \ iint _ {A} {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}} = \ oint _ {C} {\ vec {F}} \ mathrm {\ cdot} \ mathrm {d} {\ vec {r}}}.

Этот интеграл обращается в нуль для всех кривых C тогда и только тогда, когда есть.
∇→×Ф.→(р→)знак равно→ {\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) = {\ vec {0}} \}

Математическое описание

Силовое поле F , определенное всюду в пространстве (или в односвязной объеме пространства), называется консервативной силой или консервативным векторным полем , если он соответствует любому из этих трех эквивалентных условий:

1. Локон из F является нулевым вектором:

   ∇→×F→знак равно→.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} = {\ vec {0}}. \,}

2. При движении частицы по траектории, которая начинается и заканчивается в одном и том же месте, существует нулевая чистая работа ( W ), выполняемая силой:
   W≡∮CF→⋅dр→знак равно{\ Displaystyle W \ Equiv \ oint _ {C} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = 0. \,}
3. Сила может быть записана в виде отрицательного градиента о наличии потенциала , :
   Φ{\ displaystyle \ Phi}F→знак равно-∇→Φ.{\ displaystyle {\ vec {F}} = — {\ vec {\ nabla}} \ Phi. \,}

Термин « консервативная сила» происходит от того факта, что когда существует консервативная сила, она сохраняет механическую энергию. Наиболее известные консервативные силы — это гравитация , электрическая сила (в магнитном поле, не зависящем от времени, см . Закон Фарадея ) и сила пружины .

Многие силы (особенно те, которые зависят от скорости) не являются силовыми полями . В этих случаях указанные выше три условия математически не эквивалентны. Например, магнитная сила удовлетворяет условию 2 (поскольку работа, совершаемая магнитным полем над заряженной частицей всегда равна нулю), но не удовлетворяет условию 3, а условие 1 даже не определено (сила не является векторным полем, поэтому его локон оценить нельзя). Соответственно, одни авторы классифицируют магнитную силу как консервативную, а другие нет. Магнитная сила — необычный случай; большинство сил, зависящих от скорости, таких как трение , не удовлетворяют ни одному из трех условий и, следовательно, однозначно неконсервативны.

Независимость от пути

Прямым следствием теста замкнутого пути является то, что работа, выполняемая консервативной силой над частицей, движущейся между любыми двумя точками, не зависит от пути, пройденного частицей.

Это проиллюстрировано на рисунке справа: работа, выполняемая гравитационной силой над объектом, зависит только от его изменения высоты, потому что гравитационная сила консервативна. Работа, выполняемая консервативной силой, равна отрицательному изменению потенциальной энергии во время этого процесса. Для доказательства представьте два пути 1 и 2, оба идущие от точки A к точке B. Изменение энергии частицы, идущее по пути 1 от A к B и затем по пути 2 назад от B к A, равно 0; таким образом, работа одинакова для путей 1 и 2, т. е. работа не зависит от пройденного пути, пока она идет от A к B.

Например, если ребенок скользит по горке без трения, работа, выполняемая гравитационной силой над ребенком от начала горки до конца, не зависит от формы горки; это зависит только от вертикального перемещения ребенка.

Похожие записи:

Женщины-стрельцы в 2021 году: гороскоп для огненного знака по сферам и месяцам «сонник война приснилась, к чему снится во сне война» Космический заговор: кто был первым космонавтом К чему снится армия Камни, обереги и талисманы знака зодиака лев: что выбрать представителю огненной стихии Как и почему происходит метеоритный дождь?