Динамика движения по окружности с постоянной по модулю скоростью

Ускорение материальной точки при движении по окружности

При движении по окружности (как при любом неравномерном криволинейном движении) ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение (${\overline{a}}_{\tau }$), которое направлено по касательной к траектории движения точки и характеризующее быстроту изменения модуля скорости $v$ и центростремительной ускорение (${\overline{a}}_n$), направленное к центру кривизны траектории, определяющее быстроту изменения направления скорости.

Величина нормальной (центростремительной) компоненты ускорения вычисляется при помощи формулы:

При равномерном перемещении по окружности величина центростремительного ускорения постоянна ($a_n=const).\ $Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.

Тангенциальное ускорение при движении по окружности вычисляют, как и при любом криволинейном движении:

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела.

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой:

• для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца.
• для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.
• для Луны скорость убегания равна 2,4 км/с, несмотря на то, что в действительности для удаления тела на бесконечность с поверхности Луны необходимо преодолеть притяжение Земли, Солнца и Галактики.

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие вторую космическую скорость, движутся по параболе.

Формула

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу — спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния .

Круговое ускорение

Поперечное ускорение ( перпендикулярно скорости) вызывает изменение направления. Если она постоянна по величине и изменяется по направлению со скоростью, происходит круговое движение . Взяв две производные от координат частицы по времени, получаем центростремительное ускорение

азнак равноv2рзнак равноω2р{\ Displaystyle а \, = {\ гидроразрыва {v ^ {2}} {r}} \, = {\ omega ^ {2}} {r}}

куда:

• v{\ displaystyle v \,}- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• р{\ Displaystyle г \,}это радиус круга
• ω {\ displaystyle \ omega \}это угловая скорость , измеряется в радианах в единицу времени.

Формула безразмерна и описывает соотношение, действительное для всех единиц измерения, применяемых единообразно во всей формуле. Если числовое значение измеряется в метрах в секунду в секунду, то числовые значения будут в метрах в секунду, в метрах и радианах в секунду.
а{\ Displaystyle \ mathbf {а}}v{\ displaystyle v \,}р{\ Displaystyle г \,}ω {\ displaystyle \ omega \}

Общие сведения

Угловое ускорение тела, движущегося по окружности, определяет насколько изменяется скорость движения этого тела по окружности. Эту скорость также называют угловой скоростью. Когда мы говорим, что тело движется по окружности с ускорением, это может означать, что скорость уменьшается или увеличивается, но ускорение также может быть вызвано изменением направления движения. Движение по окружности характеризуется угловым ускорением, в то время как движение по прямой — линейным.

Оранжевое тело двигается по окружности с угловым ускорением A, которое обозначено розовым цветом. Тангенциальная скорость этого тела — B (темно-синяя). Кроме силы, толкающей тело, на него также действует центростремительная сила C (фиолетовая), которая направлена в центр вращения. Эта сила создает центростремительное ускорение D (голубое), которое также направлено в центр вращения

Угловое ускорение часто путают с центростремительным ускорением, которое вызвано центростремительной силой. Эта путаница происходит из-за того, что и угловое и центростремительное ускорение используют для описания движения по окружности. На рисунке центростремительная сила обозначена фиолетовым цветом (C), а центростремительное ускорение — голубым (D). В отличие от углового ускорения, центростремительное обозначает изменение скорости по касательной. Эту скорость также называют тангенциальной скоростью, то есть мгновенной линейной скоростью тела по касательной к окружности в точке, где тело в это время находится. На рисунке эта скорость обозначена темно-синим цветом (B).

Угловое ускорение параллельно силе, которая вызывает движение по окружности, и перпендикулярно радиусу вращения. На нашем рисунке угловое ускорение обозначено розовым цветом (A). Центростремительное ускорение, напротив, направлено к центру вращения, то есть перпендикулярно направлению движения тела. Из этого следует, что угловое ускорение перпендикулярно центростремительному.

Американские горки

Отличие углового и центростремительного ускорения также в силах, которыми оно ускорение вызвано. Как мы уже говорили, центростремительное ускорение зависит от центростремительной силы. Эта сила всегда направлена к центру вращения, и заставляет тело двигаться по окружности. Классический пример действия этой силы — в американских горках. Именно центростремительная сила не позволяет кабинкам упасть вниз, даже когда они движутся в перевернутом положении по окружности. Угловое ускорение, с другой стороны, вызвано силой, толкающей тело вперед.

Вычисляя угловое ускорение, также необходимо не перепутать его с центростремительным. Чтобы найти центростремительное ускорение, квадрат мгновенной линейной скорости делят на радиус вращения. Под радиусом вращения мы подразумеваем расстояние от тела до центра вращения. Из приведенной выше формулы следует, что чем больше радиус, тем меньше центростремительное ускорение. Угловое ускорение можно найти, поделив момент силы на момент инерции. Здесь под моментом силы мы подразумеваем свойство тел, благодаря которому они начинают вращаться, если к ним приложить силу. Момент инерции — наоборот мера инертности твердых тел при вращательном движении. То есть, зависимость между вращением тела и противодействием этому вращению аналогична подобной зависимости для прямолинейного движения, которая описана во втором законе Ньютона: F = ma, где a — это линейное ускорение, F — это сила, которая вызывает движение по прямой, а m — масса тела, которая как раз и влияет на то, как сильно тело противостоит движению.

Факторы, влияющие на угловое ускорение

Описанная выше зависимость между угловым ускорением, моментом силы и моментом инерции говорит о том, что. изменяя момент силы и момент инерции, мы можем манипулировать ускорением. То есть, чтобы ускорить движение тела нам необходимо увеличить силу, вызывающую движение по окружности, или уменьшить момент инерции, то есть сопротивление этому движению. Какую из этих двух величин изменить — зависит от ситуации, так как иногда проще изменить одну, а иногда — другую. Момент инерции зависит от веса и формы тела. Под формой подразумевается радиус от центра вращения до самой удаленной точки тела. Поэтому в некоторых случаях имеет смысл изменить вес или форму тела, чтобы не тратить дополнительную энергию на увеличение силы. В других случаях, наоборот, изменить форму или вес нет возможности, поэтому более целесообразно увеличить силу.

Угловая скорость и период обращения

ω2р3знак равноμ{\ displaystyle \ omega ^ {2} r ^ {3} = \ mu}

Следовательно, орбитальный период ( ) может быть вычислен как:
Т{\ Displaystyle Т \, \!}

Тзнак равно2πр3μ{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {r ^ {3} \ over {\ mu}}}}

Сравните две пропорциональные величины: время свободного падения (время падения до точечной массы из состояния покоя).

Тжжзнак равноπ22р3μ{\ displaystyle T_ {ff} = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {r ^ {3} \ over {\ mu}}}} (17,7% периода обращения по круговой орбите)

и время, чтобы упасть в точечную массу на радиальной параболической орбите

Тпарзнак равно23р3μ{\ displaystyle T_ {par} = {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} {\ sqrt {r ^ {3} \ over {\ mu}}}} (7,5% периода обращения по круговой орбите)

Тот факт, что формулы различаются только постоянным множителем, априори очевиден из анализа размеров .

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•10 4 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω — εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω/t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с 2 ).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ + ωt + εt 2 /2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ = 0, находим: φ(t)= ωt/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•10 4 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с 2 ; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•10 4 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR 2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω/ε, где ω — начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.

Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности, центры которой расположены на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий то­чек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вра­щения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение две­рей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела

Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по кото­рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, ко­торая вращается около оси вместе с телом, теперь угол φ, образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. рис. 7.3). Угол φ называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота φ и временем t, т. е. знать закон вращательного движения тела:

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени t положение вращающегося тела определяется углом поворота φ, а в момент t + Δt – углом поворота φ + Δ φ. Следовательно, за время Δt тело повернулось на угол Δ φ, и величина

называется средней угловой скоростью.

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение ;

.

Единица углового ускорения 1 рад/с 2 .

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения

Векторы и – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы и направлены в одну сторону (рис. 7.4, а), то вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б).

Пример

Давайте рассмотрим действие и правила кругового движения на конкретном примере. Допустим у нас есть шаттл, совершающий обороты вокруг планеты. Он подчиняется равномерному круговому движению, поэтому должна существовать сила, препятствующая вылету челнока с орбиты. Здесь ее роль исполняет гравитация. Связь гравитационного притяжения и скоростью шаттла равняется: mgI = mv2r (m – масса шаттла, v – скорость вращения вокруг планеты, r – радиус орбиты).

Равномерное круговое движение создает перемещение объекта по кругу или дуге окружности с постоянным показателем скорости. Равномерное линейное движение выступает главной формой поступательного. Но два типа движения отличаются отношением к силе, которая требуется для их поддерживания.

Вспомним о Первом законе движения Ньютона. Он говорит, что объект будет поддерживать утраченную скорость, если не применять к нему чистую внешнюю силу. Так что равномерное линейное движение демонстрирует ее отсутствие. Однако подобное движение требует, чтобы вектор скорости объекта постоянно менял направление. Из-за этого создается ускорение.

При равномерном круговом движении центростремительная сила перпендикулярна скорости. Центростремительная сила указывает на центр круга, удерживая объект на круговой траектории

В равномерном круговом движении сила всегда перпендикулярна направлению скорости. Направление скорости постоянно меняется, поэтому должно присутствовать и направление силы. Направление происходит тангенциально, а значит перпендикулярное направление в круговой траектории выступает радиальным. Сила в движении равномерного направления пребывает в радиальном, поэтому ускорение старается достичь центра.

Необходимое уравнение для поддержания равномерного кругового движения:

a = v2/r.

Здесь m – масса объекта, v – скорость, r – радиус круга. А вот для нахождения чистой внешней силы нужно:

F_net = (m ⋅ v2)/r.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Центростремительное ускорение материальной точки, перемещающейся по окружности, имеющей радиус R, задано уравнением: $a_n=A+Bt+Ct^2(\frac{м}{с^2})$. Каково тангенциальное ускорение точки? Как направлены ускорения точки?

Решение. Сделаем рисунок.

Направления ускорений точки изображены на рис.2. ${\overline{a}}_n$ направлено к центру окружности; ${\overline{a}}_{\tau }$ — совпадает с направлением скорости движения точки, по касательной к окружности, направление вектора полного ускорения ($\overline{a}$) находим по правилу параллелограмма, так как:

\

Нормальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности можно найти как:

\

Следовательно, скорость точки:

\

Используя заданный в условии задачи закон изменения нормального ускорения $a_n=A+Bt+Ct^2(\frac{м}{с^2})$, выражение (1.3) преобразуем к виду:

\

Величина тангенциального ускорения определена как:

\

Подставим правую часть выражения (1.4) в уравнение (1.5), имеем:

\

Ответ. $a_{\tau }=\sqrt{R}\frac{B+2Ct}{2\sqrt{A+Bt+Ct^2}}$

Пример 2

Задание. Чему равен путь (s), который проходит точка в примере 1 за время $t_1$, если A= 1 $\frac{м}{с^2}$, $B=6\ \frac{м}{с^3}$; $С=9\frac{м}{с^4}$.

Решение. Путь, пройденный точкой можно найти как:

\

Используем выражение для величины скорости, которое мы получили в первом примере:

\

Подставим известные нам из условия задачи коэффициенты, преобразуем полученное выражение $v\ \left(t\right):$

\

Вычислим интеграл (2.1), принимая во внимание выражение (2.3):

\

Ответ. $s=\sqrt{R}\left(t_1+\frac{3}{2}{t_1}^2\right)$

Приложения [ править ]

Решение приложений, связанных с неравномерным круговым движением, включает анализ сил. При равномерном круговом движении единственная сила, действующая на объект, движущийся по кругу, — это центростремительная сила. При неравномерном круговом движении на объект действуют дополнительные силы из-за ненулевого тангенциального ускорения. Хотя на объект действуют дополнительные силы, сумма всех сил, действующих на объект, должна быть равна центростремительной силе.

Fnet=maFnet=marFnet=mv2rFnet=Fc{\displaystyle {\begin{aligned}F_{net}&=ma\,\\F_{net}&=ma_{r}\,\\F_{net}&={\frac {mv^{2}}{r}}\,\\F_{net}&=F_{c}\,\end{aligned}}}

Радиальное ускорение используется при расчете общей силы. Тангенциальное ускорение не используется при вычислении общей силы, поскольку оно не отвечает за удержание объекта на круговой траектории. Единственное ускорение, обеспечивающее движение объекта по кругу, — это радиальное ускорение. Поскольку сумма всех сил представляет собой центростремительную силу, рисование центростремительной силы на диаграмме свободного тела не обязательно и обычно не рекомендуется.

Используя , мы можем нарисовать диаграммы свободного тела, чтобы перечислить все силы, действующие на объект, а затем установить его равным . После этого мы можем решить, что когда-либо неизвестно (это может быть масса, скорость, радиус кривизны, коэффициент трения, нормальная сила и т. Д.). Например, изображение выше, показывающее объект в верхней части полукруга, будет выражено как .
Fnet=Fc{\displaystyle F_{net}=F_{c}\,}Fc{\displaystyle F_{c}\,}Fc=n+mg{\displaystyle F_{c}=n+mg\,}

При равномерном круговом движении полное ускорение объекта по круговой траектории равно радиальному ускорению. Из-за наличия тангенциального ускорения в неравномерном круговом движении это больше не выполняется. Чтобы найти полное ускорение объекта в неоднородной окружности, найдите векторную сумму тангенциального ускорения и радиального ускорения.

ar2+at2=a{\displaystyle {\sqrt {a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}}=a}

Радиальное ускорение по-прежнему равно . Тангенциальное ускорение просто производная скорость в любой заданной точке: . Эта сумма квадратов отдельных радиальных и тангенциальных ускорений верна только для кругового движения; для общего движения в плоскости с полярными координатами следует добавить член Кориолиса , тогда как радиальное ускорение станет .
v2r{\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}}at=dvdt{\displaystyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}\,}(r,θ){\displaystyle (r,\theta )}ac=2(drdt)(dθdt){\displaystyle a_{c}=2({\frac {dr}{dt}})({\frac {d\theta }{dt}})}at{\displaystyle a_{t}}ar=−v2r+d2rdt2{\displaystyle a_{r}={\frac {-v^{2}}{r}}+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}}

Примеры разных скоростей

Ускорение меняет направление, но не скорость

Простое гармоническое движение из равномерного движение по окружности.

Есть очень легкий метод вывести простое гармоническое движение из равномерного кругового. На рисунке отображен один из них. Шарик фиксируют к равномерно вращающемуся вертикальному столу, чья тень проецируется на пол. Она и выполняет простое гармоническое движение.

Тень шара, совершающая обороты со стабильной угловой скоростью на поворотном столе, перемещается вперед и назад в простом гармоническом движении

Здесь видна главная зависимость между исследуемыми движениями. Точка Р смещается вокруг круга с неизменной угловой скоростью. Она соответствует шару на поворотном столе. Проекция Р на лишенную активности ось выполняет простое гармоническое движение и соответствует тени тела.

Чтобы удостовериться, что проекция осуществляет простое гармоническое движение, отметим, что позиция х задается как:

х = Xcosθ (θ = ωt, ω – постоянная угловая скорость, X – радиус круговой траектории). Выходит, что

х = Xcosωt.

В этом случае 2π радиан – время для одного вращения T. То есть ω = 2π/T. Подставим в выражение:

х (t) = cos(2πt/T) = сos(2πft).

Кинематические уравнения вращения

Движение по окружности, как и по прямой линии, может быть равномерным или происходить с ускорением. В первом случае справедлива формула:

То есть центральный угол θ, на который повернется тело за время t, прямо пропорционален угловой скорости ω. Угол θ выражается в радианах, а скорость ω — в радианах в секунду.

Если действует постоянный внешний момент сил на систему, то движение по окружности происходит с некоторым постоянным ускорением α. В таком случае будет справедливо следующее кинематическое выражение:

Если система сначала вращалась с некоторой скоростью ω_0, а затем стала увеличивать частоту своего вращения с ускорением α, то, начиная с момента времени t, когда появилось ускорение, будет справедлива формула:

Заметим, что это выражение является линейной комбинацией двух предыдущих.

Термины

• Угловой момент – векторная величина, характеризующая объект в круговом движении. Величина равняется импульсу частички, а направление выступает перпендикулярным плоскости в движении по кругу.
• Угловая скорость – векторная величина, дающая оценку телу в круговом движении. Величина равняется скорости частички, а направление выступает перпендикулярным плоскости кругового движения.
• Вектор – направленное количество, обладающее величиной и направлением.

Линейное перемещение – движение по прямой линии. В этой разновидности присутствуют знакомые векторные величины, вроде скорости и импульса. Обе обладают величиной и направлением.

Подобное повторяется в движении по кругу. Оно обладает тем же набором величин с добавлением угловой скорости и углового момента.

В этой векторной диаграмме вы можете просмотреть процесс кругового движения. Синий вектор отмечает начало (центр) движения, красный – вектор угловой скорости, выступающий перпендикулярным плоскости движения и величиной, равной мгновенной скорости

Представьте, что частичка перемещается по кругу вокруг точки (источник) с постоянной скоростью. В следующее мгновение ее скорость остается стабильной, но направление меняется. Мы знаем из линейной скорости, что при трансформации вектора скорости возникает ускорение.

Но в данном случаем мы способны вычислить вектор углового момента (здесь он постоянный). Угловая скорость характеризуется направлением, выступающим перпендикулярным плоскости кругового движения. Это направление никогда не меняется в процессе прохождения объектом кругового пути. Величина углового момента равняется скорости, с которой продвигается угол частицы.

Отметим, что есть два вектора, выступающих перпендикулярными любой плоскости. Представьте вектор, указывающий на ваш стол и противоположный, направленный на него. Чтобы убрать двусмысленность, используют правило правой руки: сожмите пальцы в направлении кругового движения и большой палец укажет на направление векторов угловой скорости и импульса.

Чтобы вычислить направление углового вектора, применяйте правило правой руки: сожмите пальцы в направлении кругового движения, а большой палец выпрямите в векторном направлении

Единицы угловой скорости – радиан в секунду. Радиан характеризует угол плоскости, окруженный дугой (длина дуги, разделенная на ее радиус). Один радиан – угол, расположенный в центре круга дуги, равной по длине радиусу круга. Величина приравнивается к отношению длины дуги к радиусу окружности:

Θ = s/r, где Θ – угол в радианах, s – длина дуги, r – радиус.

Получается, что объект перемещается по кругу со стабильной скоростью, но подвергается постоянному линейному ускорению, которое необходимо, чтобы продолжать движение. Угловая скорость выступает постоянной, потому что непрерывно измеряет длину дуги в единицах времени. Постоянная угловая скорость известна как равномерное круговое движение.

Есть также угловая версия ускорения. Если объект перемещается по кругу и его скорость меняется, тогда присутствует угловое ускорение. Это изменение вектора угловой скорости, способное выражаться в изменении скорости объекта или направлении. Происходит по часовой стрелке или против нее.

Связь линейных и угловых кинематических характеристик

Выше была приведена формула для центростремительного ускорения, записанная через линейную скорость v. Однако эту формулу можно записать также через соответствующую угловую характеристику ω.

Предположим, что вращающееся тело совершило один оборот по окружности за время t. Тогда для линейной и угловой скоростей можно записать:

Откуда видно, что модуль линейной скорости v в r раз больше модуля величины ω, то есть:

Это равенство связывает угловую и линейную скорости. Используя его, можно записать формулу для a_c через ω:

Теперь вычислим в формуле со скоростями производную по времени для левой и правой частей равенства, получим:

Это равенство связывает направленное по касательной к окружности линейное ускорение a и его угловой аналог α.

Нетрудно доказать, что центральный угол поворота θ при движении по окружности связан с длиной ее дуги L, следующим выражением:

Здесь, если θ будет равен 2*pi радиан (полный оборот), мы получим длину окружности L.

Похожие записи:

6 жезлов — значение карты таро 2018 год какого животного? характеристика знака Праздники Печку строить Дельфины в реке Знак зодиака водолей: мужчина