§ 15. закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения: формула

Всемирное тяготение формулируется следующим образом: два любых материальных объекта друг к другу притягиваются с определенной силой. Величина этой силы прямо пропорциональна произведению масс этих объектов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

В формуле m1 и m2 являются массами исследуемых материальных объектов; r – расстояние, определяемое между центрами масс расчетных объектов; G – постоянная гравитационная величина, выражающая силу, с которой осуществляется взаимное притяжение двух объектов массой по 1 кг каждый, располагающихся между собой на расстоянии 1 м.

Гравитационная постоянная определена экспериментальным путем. Выполнить расчеты удалось британскому ученому Генри Кавендишу с помощью специального динамометра – крутильных весов. Выяснилось, что величина G=(6,673±0,003)·10-11Н·м2·кг-2 в МСЕ (Международной системе единиц).

Тела с пространственной протяженностью

Напряженность гравитационного поля внутри Земли

Гравитационное поле у ​​поверхности Земли — объект ускоряется к поверхности

Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (в отличие от точечных масс), то гравитационная сила между ними вычисляется путем суммирования вкладов условных точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда составляющие точечные массы становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по всем двум телам .

Таким образом, можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. (Обычно это неверно для несферически-симметричных тел.)

Для точек внутри сферически-симметричного распределения материи можно использовать теорему Ньютона об оболочке, чтобы найти гравитационную силу. Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на гравитационную силу, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r от центра распределения массы:

  • Часть массы, которая расположена на радиусах r < r 0, вызывает ту же силу на радиусе r 0, как если бы вся масса, заключенная в сфере радиуса r 0, была сосредоточена в центре распределения масс (как отмечено выше ).
  • Часть массы, которая расположена на радиусах r > r 0, не оказывает чистой гравитационной силы на радиусе r от центра. То есть отдельные гравитационные силы, действующие на точку с радиусом r элементами массы за пределами радиуса r 0, компенсируют друг друга.

Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нет чистого гравитационного ускорения где-либо в пределах полой сферы.

Кроме того, внутри однородной сферы сила тяжести увеличивается линейно с расстоянием от центра; увеличение из-за дополнительной массы в 1,5 раза меньше уменьшения из-за большего расстояния от центра. Таким образом, если сферически-симметричное тело имеет однородное ядро ​​и однородную мантию с плотностью, которая меньше 2/3 плотности ядра, то сила тяжести сначала уменьшается снаружи за границу, а если сфера достаточно велика, в дальнейшем наружу сила тяжести снова увеличивается и в конечном итоге превышает силу тяжести на границе ядро ​​/ мантия. Учитывая это, сила тяжести Земли может быть максимальной на границе ядро ​​/ мантия.

Исламский мир

Ибн Сина

В XI веке н.э. персидский эрудит Ибн Сина (Авиценна) согласился с теорией Филопона о том, что «движущийся объект приобретает наклон от движителя» в качестве объяснения движения снаряда . Затем Ибн Сина опубликовал в «Книге исцеления» (ок. 1020 г.). В отличие от Филопона, который считал, что это временная добродетель, которая угаснет даже в вакууме , Ибн Сина рассматривал ее как постоянную, требующую внешних сил, таких как сопротивление воздуха, чтобы рассеять ее. Ибн Сина сделал различие между «силой» и «наклоном» ( Mayl ), и утверждал , что объект получил Mayl , когда объект находится в оппозиции к своему естественному движению. Он пришел к выводу, что продолжение движения связано с наклоном, передаваемым объекту, и этот объект будет находиться в движении до тех пор, пока майл не будет израсходован.

Аль-Бируни

Другой персидский эрудит XI века, Аль-Бируни , предположил, что небесные тела имеют массу , вес и гравитацию, как и Земля. Он критиковал как Аристотеля, так и Ибн Сину за то, что они придерживались точки зрения, что только Земля обладает этими свойствами. Ученый 12-го века Аль-Хазини предположил, что гравитация, которую содержит объект, зависит от его расстояния от центра Вселенной (имея в виду центр Земли). Аль-Бируни и Аль-Хазини изучали теорию центра тяжести, обобщили и применили ее к трехмерным телам. Они также основали теорию весомого рычага и создали науку о гравитации. Были также разработаны тонкие экспериментальные методы для определения удельного веса или удельного веса объектов, основанные на теории весов и взвешивания .

В XII веке Абу’л-Баракат аль-Багдади принял и модифицировал теорию Ибн Сины о движении снарядов . В своем « Китаб аль-Мутабар» Абу’л-Баракат заявил, что движущийся придает сильный наклон ( майл касри ) движущемуся и что это уменьшается по мере того, как движущийся объект удаляется от движущегося. Согласно Шломо Пайнсу, теория движения аль-Багдади была «старейшим отрицанием фундаментального динамического закона Аристотеля смутным предвосхищением фундаментального закона классическая механика «.

Оценка g по закону всемирного тяготения

Из закона всемирного тяготения , сила , действующая на тело воздействует Земли сила тяготения определяется

Fзнак равнограммм1м2р2знак равно(граммм1р2)м2{\ displaystyle F = G \, {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} = \ left (G \, {\ frac {m_ {1}} {r ^ {2) }}} \ вправо) м_ {2}}

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), и здесь мы принимаем m 1 за массу Земли, а m 2 за массу тела.

Кроме того, второй закон Ньютона , F = ma , где m — масса, а a — ускорение, говорит нам, что

Fзнак равном2грамм{\ Displaystyle F = m_ {2} \, g \,}

Сравнивая две формулы, видно, что:

граммзнак равнограммм1р2{\ displaystyle g = G \, {\ frac {m_ {1}} {r ^ {2}}}}

Так, чтобы найти ускорение силы тяжести на уровне моря, подставить значения из гравитационной постоянной , G , Земли масса (в кг), м 1 , а Земли радиус (в метрах), г , чтобы получить значение г :

граммзнак равнограммм1р2знак равно6,67408⋅10-11м3⋅kграмм-1⋅s-25,9722⋅1024kграмм(6,371⋅106м)2знак равно9,81998м⋅s-2{\ displaystyle g = G \, {\ frac {m_ {1}} {r ^ {2}}} = 6.67408 \ cdot 10 ^ {- 11} \, \ mathrm {m} ^ {3} \ cdot \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ cdot \ mathrm {s} ^ {- 2} \, \, \, {\ frac {5.9722 \ cdot 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg}} {\ left ( 6.371 \ cdot 10 ^ {6} \, \ mathrm {m} \ right) ^ {2}}} = 9.81998 \, \, {\ mbox {m}} \ cdot {\ mbox {s}} ^ {- 2 }}

Эта формула работает только из-за того математического факта, что сила тяжести однородного сферического тела, измеренная на его поверхности или над ней, такая же, как если бы вся его масса была сосредоточена в точке в его центре. Это то, что позволяет нам использовать радиус Земли в качестве r .

Полученное значение примерно соответствует измеренному значению g . Разницу можно объяснить несколькими факторами, упомянутыми выше в разделе «Варианты»:

  • Земля неоднородна
  • Земля не является идеальной сферой, и для ее радиуса необходимо использовать среднее значение.
  • Это вычисленное значение g включает только истинную гравитацию. Это не включает уменьшение сдерживающей силы, которое мы воспринимаем как уменьшение силы тяжести из-за вращения Земли, и некоторую часть силы тяжести, противодействующей центробежной силе.

Существуют значительные погрешности в значениях r и m 1, используемых в этом расчете, и значение G также довольно сложно точно измерить.

Если G , g и r известны, то обратный расчет даст оценку массы Земли. Этот метод использовал Генри Кавендиш .

Аномалии и неточности

Есть некоторые наблюдения, которые не учитываются должным образом, что может указывать на необходимость в более совершенных теориях гравитации или, возможно, быть объясненными другими способами.

Кривая вращения типичной спиральной галактики: предсказанная ( А ) и наблюдаемая ( Б ). Расхождение кривых связано с темной материей .

  • Сверхбыстрые звезды : Звезды в галактиках следуют распределению скоростей, когда звезды на окраинах движутся быстрее, чем они должны, в соответствии с наблюдаемым распределением нормальной материи. Галактики в скоплениях галактик демонстрируют похожую картину. Темная материя , которая взаимодействует посредством гравитации, но не электромагнитно, может объяснить это несоответствие. Также были предложены различные модификации ньютоновской динамики .
  • Аномалия пролета : различные космические аппараты испытывали большее ускорение, чем ожидалось, во времяманевров по гравитации .
  • Ускорение расширения : кажется, что метрическое расширение пространства ускоряется. Для объяснения этого была предложена темная энергия . Недавнее альтернативное объяснение состоит в том, что геометрия пространства неоднородна (из-за скоплений галактик) и что, когда данные интерпретируются заново, чтобы учесть это, расширение в конце концов не ускоряется, однако этот вывод оспаривается.
  • Аномальное увеличение астрономической единицы : недавние измерения показывают, что быстрее, чем если бы это происходило исключительно за счет потери массы Солнцем за счет излучения энергии.
  • Фотоны с дополнительной энергией : фотоны, проходящие через скопления галактик, должны набирать энергию, а затем снова терять ее на выходе. Ускоряющееся расширение Вселенной должно остановить фотоны, возвращающие всю энергию, но даже с учетом этого фотоны космического микроволнового фонового излучения получают в два раза больше энергии, чем ожидалось. Это может указывать на то, что гравитация спадает быстрее, чем в обратном квадрате на определенных масштабах расстояний.
  • Сверхмассивные водородные облака : спектральные линии леса Лайман-альфа предполагают, что водородные облака более сгруппированы в определенных масштабах, чем ожидалось, и, как темный поток , может указывать на то, что гравитация спадает медленнее, чем обратный квадрат на определенных масштабах расстояний.

Сравнительные значения по всему миру

Существуют инструменты для расчета силы тяжести в различных городах по всему миру. Влияние широты хорошо видно на примере гравитации в высокоширотных городах: Анкоридже (9,826 м / с 2 ), Хельсинки (9,825 м / с 2 ), что примерно на 0,5% больше, чем в городах вблизи экватора: Куала-Лумпур ( 9,776 м / с 2 ), Манила (9,780 м / с 2 ). Влияние высоты можно увидеть в Мехико (9,776 м / с 2 ; высота 2240 метров (7350 футов)), сравнив Денвер (9,798 м / с 2 ; 1616 метров (5 302 фута)) с Вашингтоном, округ Колумбия (9,801 фута). м / с 2 ; 30 метров (98 футов)), оба из которых находятся около 39 ° северной широты. Измеренные значения могут быть получены из физико-математических таблиц TM Yarwood и F. Castle, Macmillan, исправленное издание 1970 г.

Ускорение свободного падения в разных городах
Место нахождения м / с 2 фут / с 2 Место нахождения м / с 2 фут / с 2 Место нахождения м / с 2 фут / с 2
Амстердам 9,817 32,21 Джакарта 9,777 32,08 Оттава 9,806 32,17
Анкоридж 9,826 32,24 Канди 9,775 32,07 Париж 9,809 32,18
Афины 9,800 32,15 Калькутта 9,785 32,10 Перт 9,794 32,13
Окленд 9,799 32,15 Куала Лумпур 9,776 32,07 Рио де Жанейро 9,788 32,11
Бангкок 9,780 32.09 Кувейт 9,792 32,13 Рим 9,803 32,16
Бирмингем 9,817 32,21 Лиссабон 9,801 32,16 Сиэтл 9,811 32,19
Брюссель 9,815 32,20 Лондон 9,816 32,20 Сингапур 9,776 32,07
Буэнос айрес 9,797 32,14 Лос-Анджелес 9,796 32,14 Скопье 9,804 32,17
Кейптаун 9,796 32,14 Мадрид 9,800 32,15 Стокгольм 9,818 32,21
Чикаго 9,804 32,17 Манчестер 9,818 32,21 Сидней 9,797 32,14
Копенгаген 9,821 32,22 Манила 9,780 32.09 Тайбэй 9,790 32,12
Денвер 9,798 32,15 Мельбурн 9,800 32,15 Токио 9,798 32,15
Франкфурт 9,814 32,20 Мехико 9,776 32,07 Торонто 9,807 32,18
Гавана 9,786 32,11 Монреаль 9,809 32,18 Ванкувер 9,809 32,18
Хельсинки 9,825 32,23 Нью-Йорк 9,802 32,16 Вашингтон 9,801 32,16
Гонконг 9,785 32,10 Никосия 9,797 32,14 Веллингтон 9,803 32,16
Стамбул 9,808 32,18 Осло 9,825 32,23 Цюрих 9,807 32,18

Общая теория относительности[править | править код]

В стандартном подходе общей теории относительности (ОТО) гравитация рассматривается изначально не как силовое взаимодействие, а как проявление искривления пространства-времени. Таким образом, в ОТО гравитация интерпретируется как геометрический эффект, причём пространство-время рассматривается в рамках неевклидовой римановой (точнее псевдо-римановой) геометрии. Гравитационное поле (обобщение ньютоновского гравитационного потенциала), иногда называемое также полем тяготения, в ОТО отождествляется с тензорным метрическим полем или метрикой четырёхмерного пространства-времени, а напряженность гравитационного поля — с аффинной связностью пространства-времени, определяемой метрикой. Стандартной задачей ОТО является определение компонент метрического тензора, в совокупности задающих метрику пространства-времени, по известному распределению источников энергии-импульса в рассматриваемой системе четырёхмерных координат. В свою очередь знание метрики позволяет рассчитывать движение пробных частиц, что эквивалентно знанию свойств поля тяготения в данной системе. В связи с тензорным характером уравнений ОТО, а также со стандартным фундаментальным обоснованием её формулировки, считается, что гравитация также носит тензорный характер. Одним из следствий является то, что гравитационное излучение должно быть не ниже квадрупольного порядка.

Известно, что в ОТО имеются затруднения с объяснением факта неинвариантности энергии гравитационного поля, поскольку данная энергия не описывается тензором. В недавней работе было показано, что принцип эквивалентности не выполняется в отношении массы-энергии самого гравитационного поля. В частности, гравитационная масса-энергия поля неподвижного тела, и инертная масса-энергия поля движущегося с постоянной скоростью этого же тела не совпадают друг с другом. Эта ситуация не объяснима в ОТО. В классической ОТО также возникает проблема описания спин-орбитального взаимодействия.

Считается, что в ОТО существуют определенные проблемы с однозначностью результатов и обоснованием непротиворечивости. В самом деле, благодаря предельной универсальности в выборе допустимых систем отсчёта ОТО сама по себе не может дать критерий того, является ли теоретически выбранная заранее форма метрического тензора и система отсчёта действительно правильно описывающими конкретную ситуацию (например, в Солнечной системе). Решение Шварцшильда для метрики вокруг точечной массы калибруется по условию её перехода на бесконечности в единичную метрику Минковского. Но поскольку в решение для метрики не входит радиус точечной массы (а только гравитационная масса, видимая из бесконечности), метрика Шварцшильда в любой точке вблизи этой массы не обязательно является метрикой для реальных массивных тел, обладающих радиусом и по-разному искривляющих пространство-время. Учёт свойств конкретных массивных тел также не даёт желаемой однозначности результатов для метрики.

Прогресс в развитии ОТО отсутствовал также в связи с тем, что эта теория долгое время была не аксиоматизирована, как большинство других физических теорий. Построение систем аксиом позволило ограничить область применимости ОТО и указать возможности для построения более общих теорий. Кроме этого была обнаружена несовместимость ОТО с квантовой механикой, включая затруднения со вторичным квантованием уравнений теории.

На сегодняшний день существуют уже надёжно установленные и не объясняемые с помощью ОТО экспериментальные результаты. К ним относятся: эффект «Пионера»; flyby эффект; увеличение астрономической единицы; квадрупольно-октупольная аномалия фонового микроволнового излучения; тёмная энергия; тёмная материя.
Некоторые альтернативные эйнштейновскому, но стандартные для современной физики, подходы к формулировке теории гравитации приводят к результату, совпадающему с ОТО в пределе слабого поля, которое в основном и доступно экспериментальной проверке.

Карусель

Каждый знает, как вращение карусели воздействует на тело. Поэтому устройство искусственной гравитации по этому принципу кажется наиболее реальным.

Все, что находится в диаметре карусели, стремится выпасть из нее со скоростью, примерно равной скорости вращения. Выходит, что на тела действует сила, направленная вдоль радиуса вращающегося объекта. Это очень похоже на гравитацию.

Итак, требуется корабль, имеющий цилиндрическую форму. При этом он должен вращаться вокруг своей оси. Между прочим, искусственная гравитация на космическом корабле, созданная по этому принципу, достаточно часто демонстрируется в научно-фантастических фильмах.

Бочкообразный корабль, вращаясь вокруг продольной оси, создает центробежную силу, направление которой соответствует радиусу объекта. Чтобы вычислить получаемое ускорение, требуется разделить силу на массу.

Знающим физику людям посчитать это будет совсем не сложно: a = ω²R.

В этой формуле результат расчетов – ускорение, первая переменная – узловая скорость (измеряется в количестве радиан в секунду), вторая – радиус.

Согласно этому, для получения привычной нам g, необходимо грамотно сочетать угловую скорость и радиус космического транспорта.

Подобная проблема освещена в таких фильмах, как «Интерсолах», «Вавилон 5», «2001 год: Космическая одиссея» и подобных им. Во всех этих случаях искусственная гравитация приближена к земному ускорению свободного падения.

Как бы ни была хороша идея, реализовать ее достаточно сложно.

Гравитационное взаимодействие[править | править код]

Важнейшим свойством гравитации является то, что вызываемое ею ускорение малых пробных тел почти не зависит от массы этих тел. Это связано с тем, что гравитация как сила в природе прямо пропорциональна массе взаимодействующих тел. При размерах тел, достигающих размеров планет и звёзд, гравитационная сила становится определяющей и формирует шарообразную форму этих объектов. При дальнейшем увеличении размеров до уровня скоплений галактик и сверхскоплений проявляется эффект ограниченной скорости гравитационного взаимодействия. Это приводит к тому, что сверхскопления имеют уже не округлую форму, а напоминают вытянутые сигарообразные волокна, примыкающие к узлам с самыми массивными скоплениями галактик.
Гравитационное взаимодействие — одно из четырёх фундаментальных взаимодействий в нашем мире. В рамках классической механики, гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя телами массы  m1~m_1
и  m2~m_2
, разделённых расстоянием  R~R
есть


 F=−G⋅m1⋅m2R2~F = — G \cdot {m_1 \cdot m_2\over R^2}
.

Здесь  G~G
 — гравитационная постоянная, равная  6,673(10)⋅10−11~6,673(10)\cdot 10^{-11}
м³/(кг с²). Знак минус означает, что сила, действующая на пробное тело, всегда направлена по радиус-вектору от пробного тела к источнику гравитационного поля, т. е. гравитационное взаимодействие приводит всегда к притяжению тел.

Поле тяжести потенциально. Это значит, что можно ввести потенциальную энергию гравитационного притяжения пары тел, и эта энергия не изменится после перемещения тел по замкнутому контуру. Потенциальность поля тяжести влечёт за собой закон сохранения суммы кинетической и потенциальной энергии, что при изучении движения тел в поле тяжести часто существенно упрощает решение.

В рамках ньютоновской механики гравитационное взаимодействие является дальнодействующим. Это означает, что как бы массивное тело ни двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал и сила зависят только от положения тела в данный момент времени. Однако учёт лоренц-инвариантности гравитационной силы и запаздывания распространения гравитационного воздействия с помощью решения для потенциалов Льенара и Вихерта приводит к тому, что в движущихся с постоянной скоростью системах отсчёта возникает дополнительная компонента силы за счёт гравитационного поля кручения. Ситуация полностью эквивалентна ситуации с электрической силой, когда при движении наблюдателя он обнаруживает ещё магнитное поле и магнитную силу, пропорциональную скорости своего движения. Это делает необходимым учёт ограниченности скорости распространения гравитации, приводящей к свойству близкодействия и запаздывания гравитационного взаимодействия. В конце 19 и в начале 20 века усилиями ряда физиков — О. Хевисайда, А. Пуанкаре, Г. Минковского, А. Зоммерфельда, Х. Лоренца и др. — были заложены основы лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ), описывающей гравитацию в инерциальных системах отсчёта при релятивистских скоростях.

В результате закон всеобщего тяготения Исаака Ньютона (1687) был включён в лоренц-инвариантную теорию гравитации, которая достаточно хорошо предсказывала общее поведение гравитации. В 1915 году Альбертом Эйнштейном была создана общая теория относительности (ОТО), описывающая явления в гравитационном поле в терминах геометрии пространства-времени и с учётом влияния гравитации на результаты пространственно-временных измерений.

В космосе, на земле есть гравитация?

Еще одним доказательством движения тел к Земле по силовой дуге служит то обстоятельство, что оно варьируется от 9,780 метра в секунду на экваторе до 9,82 метра на полюсах. Понять почему, несложно. Стоит лишь посмотреть на силовые линии между полюсами магнита. Из-за изгиба дуги именно так и должно себя вести себя любое правильное криволинейное движение, считает Катар.

Опираясь на теорию приталкивания, он утверждает, например, что современники заблуждаются с границей Солнечной системы. Она проходит именно в том месте, в котором приталкивание нашей звезды — Солнца сильнее приталкивания соседних звезд из сферы Хилла. А это примерно 40 триллионов километров или четыре световых года.

Катар пишет:

История вопроса

Закон всемирного тяготения родился не спонтанно. Издревле люди изучали небосвод, главным образом для составления сельскохозяйственных календарей, вычисления важных дат, религиозных праздников. Наблюдения указывали, что в центре «мира» находится Светило (Солнце), вокруг которого по орбитам вращаются небесные тела. Впоследствии догматы церкви не позволяли так считать, и люди утратили накапливавшиеся тысячелетиями знания.

В 16 веке, до изобретения телескопов, появилась плеяда астрономов, взглянувших на небосвод по-научному, отбросив запреты церкви. Т. Браге, многие годы наблюдая за космосом, с особой тщательностью систематизировал перемещения планет. Эти высокоточные данные помогли И. Кеплеру впоследствии открыть три своих закона.

К моменту открытия (1667 г.) Исааком Ньютоном закона тяготения в астрономии окончательно утвердилась гелиоцентрическая система мира Н. Коперника. Согласно ей, каждая из планет системы вращается вокруг Светила по орбитам, которые с приближением, достаточным для многих расчетов, можно считать круговыми. В начале XVII в. И. Кеплер, анализируя работы Т. Браге, установил кинематические законы, характеризующие движения планет. Открытие стало фундаментом для выяснения динамики движения планет, то есть сил, которые определяют именно такой вид их движения.

ФИЗИКА

§ 15. Закон всемирного тяготения

В курсе физики 7 класса вы изучали явление всемирного тяготения. Оно заключается в том, что между всеми телами во Вселенной действуют силы притяжения.

К выводу о существовании сил всемирного тяготения (их называют также гравитационными) пришёл Ньютон в результате изучения движения Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца.

Заслуга Ньютона заключается не только в его гениальной догадке о взаимном притяжении тел, но и в том, что он сумел найти закон их взаимодействия, т. е. формулу для расчёта гравитационной силы между двумя телами.

Закон всемирного тяготения гласит:

два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массе каждого из них и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

где F — модуль вектора силы гравитационного притяжения между телами массами m1 и m2, г — расстояние между телами (их центрами); G — коэффициент, который называется гравитационной постоянной.

Если m1 = m2 = 1 кг и г = 1 м, то, как видно из формулы, гравитационная постоянная G численно равна силе F. Другими словами, гравитационная постоянная численно равна силе F притяжения двух тел массой по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга. Измерения показывают, что

G = 6,67 • 10-11Нм2/кг2.

Формула даёт точный результат при расчёте силы всемирного тяготения в трёх случаях: 1) если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними (рис. 32, а); 2) если оба тела однородны и имеют шарообразную форму (рис. 32, б); 3) если одно из взаимодействующих тел — шар, размеры и масса которого значительно больше, чем у второго тела (любой формы), находящегося на поверхности этого шара или вблизи неё (рис. 32, в).

Рис. 32. Условия, определяющие границы применимости закона всемирного тяготения

Третий из рассмотренных случаев является основанием для того, чтобы рассчитывать по приведённой формуле силу притяжения к Земле любого из находящихся на ней тел. При этом в качестве расстояния между телами следует брать радиус Земли, поскольку размеры всех тел, находящихся на ее поверхности или вблизи неё, пренебрежимо малы по сравнению с земным радиусом.

Взаимодействие яблока и Земли

По третьему закону Ньютона яблоко, висящее на ветке или падающее с неё с ускорением свободного падения, притягивает к себе Землю с такой же по модулю силой, с какой его притягивает Земля. Но ускорение Земли, вызванное силой её притяжения к яблоку, близко к нулю, поскольку масса Земли несоизмеримо больше массы яблока.

Вопросы

  1. Что было названо всемирным тяготением?
  2. Как иначе называются силы всемирного тяготения?
  3. Кто и в каком веке открыл закон всемирного тяготения?
  4. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Запишите формулу, выражающую этот закон.
  5. В каких случаях следует применять закон всемирного тяготения для расчёта гравитационных сил?
  6. Притягивается ли Земля к висящему на ветке яблоку?

Упражнение 15

  1. Приведите примеры проявления силы тяготения.
  2. Космическая станция летит от Земли к Луне. Как меняется при этом модуль вектора силы её притяжения к Земле; к Луне? С одинаковыми или различными по модулю силами притягивается станция к Земле и Луне, когда она находится посередине между ними? Если силы различны, то какая больше и во сколько раз? Все ответы обоснуйте. (Известно, что масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.)
  3. Известно, что масса Солнца в 330 000 раз больше массы Земли. Верно ли, что Солнце притягивает Землю в 330 000 раз сильней, чем Земля притягивает Солнце? Ответ поясните.
  4. Мяч, подброшенный мальчиком, в течение некоторого времени двигался вверх. При этом его скорость всё время уменьшалась, пока не стала равной нулю. Затем мяч стал падать вниз с возрастающей скоростью. Объясните: а) действовала ли на мяч сила притяжения к Земле во время его движения вверх; вниз; б) что послужило причиной уменьшения скорости мяча при его движении вверх; увеличения его скорости при движении вниз; в) почему при движении мяча вверх его скорость уменьшалась, а при движении вниз — увеличивалась.
  5. Притягивается ли к Луне человек, стоящий на Земле? Если да, то к чему он притягивается сильнее — к Луне или к Земле? Притягивается ли Луна к этому человеку? Ответы обоснуйте.

Границы применимости

Несмотря на то, что закон всемирного тяготения Ньютона объясняет работу множества явлений, в конце XIX века было выявлено несоответствие наблюдаемого и рассчитанного смещения перигелия Меркурия. Эта особенность движения планеты не объяснялась известным законом, что потребовало новое понимание гравитации.

Кроме того, на рубеже веков применимость классической механики, основанной на законах Ньютона, подверглась ограничениям. Получение точных результатов с её помощью возможно только в случаях, когда:

  • скорость тел гораздо меньше скорости звука;
  • размеры объектов гораздо больше размеров атомов и молекул;
  • скорость распространения гравитации считается бесконечной.