Пифагор (pythagoras), 570-495 до н. э

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S2. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами

Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х2. Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с2– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х2 – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Молния может дважды ударить в одно и то же место

ФАКТ. Никогда не следуйте совету спрятаться от непогоды в том месте, куда однажды уже ударила молния: нет причин считать, что этого больше никогда не случится. Проще всего опровергнуть идею с избирательностью стихии на примере с небоскребами: жители мегаполисов могут видеть, как молнии многократно в течение одной грозы бьют по шпилям высоток. Так, всего за одну летнюю ночь в три башни в центре Чикаго попало сразу 17 разрядов: 10 пришлось на Уиллис-тауэр, 8 — на Трамп-тауэр и 4 — на 875 Норт-Мичиган-авеню (некоторые из молний были тройными, поэтому засчитывались как одна).

Даже если речь идет о равнинной местности, нет никаких физических причин, препятствующих повторному удару молнии в одно и то же место: вероятность такого события не уменьшается от разряда к разряду.

Учение Пифагора

Возможно, на мысль о связи теоремы с именем Пифагора натолкнуло историков высказывание великого грека, что в пресловутом треугольнике с его катетами и гипотенузой зашифрованы все явления нашей жизни. А этот треугольник является «ключом» к решению всех возникающих проблем. Великий философ говорил, что следует узреть треугольник, тогда можно считать, что задача на две трети решена.

О своем учении Пифагор рассказывал только своим ученикам устно, не делая никаких записей, держа его в тайне. К великому сожалению, учение величайшего философа не сохранилось до наших дней. Что-то из него просочилось, но нельзя сказать сколько истинного, а сколько ложного в том, что стало известно. Даже с историей теоремы Пифагора не все бесспорно. Историки математики сомневаются в авторстве Пифагора, по их мнению теоремой пользовались за много веков до его рождения.

Теорема Пифагора: определение

Для начала разберемся, что такое прямоугольный треугольник. Его отличительной чертой является прямой угол, равный 90 градусам. Собственно, за это его и прозвали прямоугольным!

Визуальная демонстрация теоремы Пифагора полностью подтверждает оригинальное доказательство древнего математического утверждения. Итак, о чем свидетельствует рисунок? Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, которые построены на катетах прямоугольного треугольника. Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Формула: a2 + b2 = c2.

Литература[править | править код]

На русском языкеправить | править код

  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
  • В.Литцман, М., 1960.
  • Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
  • История теоремы Пифагора
  • О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва
  1. Pythagorean Proposition, by Elisha Scott Loomis
  2. L. Hoehn, A Neglected Pythagorean-Like Formula, Mathematical Gazette, 84 (2000), pp. 71-73

На английскомправить | править код

  • Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
  • Cut-The-Knot, секция посвящённая теореме пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Читать биографию Пифагора Самосского

Греческий философ, ученый и религиозный учитель Пифагор основал философскую школу, которая была известна как Милетская школа, а также сформулировал многие математические и философские теории.

Ранние годы

Рожденный на острове Самос, у Греции, в Средиземном море, Пифагор был сыном Мессарха. Мало что известно о его ранней жизни. После учебы в Греции он бежал в южную Италию, чтобы избежать сурового правления Поликрата, который пришел к власти около 538 года до нашей эры.  Говорят, что Пифагор находился в Египте и Вавилоне в это время.

Пифагор и его последователи стали политически могущественными в Кротоне, на юге Италии, где Пифагор создал школу для своей группы последователей. Вероятно, пифагорейцы заняли позиции в местном правительстве, чтобы привести людей к чистой жизни, которая была распространена их учением. В конце концов, конкурирующая группа начала атаку на пифагорейцев на их собрании, и группа почти была почти полностью разрушена. Пифагор был вынужден либо покинуть Кротон, либо добровольно ушел незадолго до этой атаки. Он умер в Метапонте в начале пятого века до н.э.

Религиозные учения

Пифагор и его сделали большой вклад как в религию, так и в науку. Его религиозные учения были основаны на доктрине (обучении) метемпсихоза, в которой говорится, что душа никогда не умирает и  обречена на цикл перерождений до тех пор,  пока она не сможет освободиться от цикла через чистоту своей жизни.

Пифагореизм отличался от других философских систем своего времени не просто интеллектуальным поиском истины, а целым образом жизни, который привел бы к спасению или избавлению от греха

Важной частью пифагорейства была связь всей жизни

Математические учения

Пифагорейцы представили в качестве факта дуализм (что жизнь контролируется противоположными силами) между ограниченным и неограниченным. Вероятно, Пифагор заявил, что цифры могут раскрыть тайны Вселенной, ограничивая и придавая форму материи. Изучение музыкальных интервалов, привело его к открытию того, что основные  интервалы могут быть выражены в числовых соотношениях (связях между числами) между первыми четырьмя целыми числами (положительные целые числа), что, в свою очередь, привело к тому, что число десять – это сумма первых четырех положительных чисел.

Возможно, Пифагор обнаружил теорему, которая все еще носит его имя (в прямом треугольнике , квадрат н гипотенузы равен сумме квадратов катетов), хотя это предложение было обнаружено на камне, датируемый временем вавилонского царя Хаммурапи (умер 1750 г. до н. э.). Независимо от источников, пифагорейцы сыграли важную роль в развитии математики.

Космологические взгляды

Пифагорейцы, в результате своих религиозных убеждений и тщательного изучения математики, разработали космологию (имеющую отношение к структурам Вселенной), которая в то время отличалась некоторыми важными аспектами от существующих в то время мировоззрений, наиболее важными из которых были их взгляды на Землю как на сферу, которая находилась в центре Вселенной. Неизвестно, насколько эта теория относилась к самому Пифагору.

Математических и философских  исследований, проведенных Пифагором и его последователями, было достаточно, чтобы сделать его важной фигурой в становлении некоторых западных ученых и мыслителей. Интересные факты и даты из жизни

Интересные факты и даты из жизни

Пифагор

Из жизни Пифагора

Будущий великий ученый, математик, философ родился на острове Самосе в 570 году до нашей эры. Исторические документы сохранили сведения об отце Пифагора, который был резчиком по драгоценным камням, а вот о матери сведений нет. О родившемся мальчике говорили, что это незаурядный ребенок, проявивший с детского возраста страсть к музыке и поэзии. К учителям юного Пифагора историки относят Гермодаманта и Ферекида Сиросского. Первый ввел мальчика в мир муз, а второй, будучи философом и основателем итальянской школы философии, направил взор юноши к логосу.

В 22 года от роду (548 г. до н. э.) Пифагор отправился в Навкратис для изучения языка и религии египтян. Далее его путь лежал в Мемфис, где благодаря жрецам, пройдя через их хитроумные испытания, он постиг египетскую геометрию, которая, возможно натолкнула пытливого юношу на доказательство теоремы Пифагора. История в дальнейшем припишет теореме именно это имя.

Краткая биография

Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище — Самосский), где он появился на свет приблизительно в 580 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.

Образование у Пифагора было очень хорошим, юношу обучало много наставников, среди которых были Ферекид Сиросский и Гермодамант. Следующим местом, где Пифагор совершенствовал познания, стал Милет, там его ждало знакомство с Фалесом, ученым, посоветовавшим ему поехать в Египет. У Пифагора было с собой рекомендательное письмо самого фараона, однако жрецы поделились с ним секретами только после успешного прохождения трудных испытаний. Среди наук, которых он хорошо освоил в Египте, была и математика. Следующие 12 лет он прожил в Вавилоне, где также с ним делились своими познаниями жрецы. Согласно легендам, Пифагор побывал и в Индии.

Возвращение на родину состоялось примерно в 530 г. до н. э. Статус полупридворного-полураба при тиране Поликрате не казался ему привлекательным, и он какое-то время жил в пещерах, после чего переехал в Протон. Возможно, причина его отъезда крылась в философских взглядах. Пифагор являлся идеалистом, приверженцем рабовладельческой аристократии, а в его родной Ионии были весьма популярны демократические взгляды, их приверженцы имели немалое влияние.

В Кротоне Пифагор выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами. В частности, все члены пифагорейского союза не должны были употреблять мясную пищу, раскрывать другим учение своего наставника, отказывались иметь личную собственность.

Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было почти 90. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.

Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно. Ряд историков сомневаются в том, что знаменитая теорема Пифагора была доказана именно им, аргументируя это тем, что она была известна другим древним народам.

Имя Пифагора всегда было окружено большим количеством легенд даже при жизни. Считалось, что он мог управлять духами, умел прорицать, знал язык животных, общался с ними, птицы под влиянием его речей могли изменить вектор полета. Предания приписывали Пифагору и умение исцелять людей, в том числе с помощью прекрасного знания лекарственных растений. Его влияние на окружающих было сложно переоценить. Рассказывают такой эпизод из биографии Пифагора: когда однажды он рассердился на ученика, тот от горя покончил жизнь самоубийством. С тех пор философ взял за правило больше никогда не выплескивать на людей свое раздражение.

Помимо доказательства теоремы Пифагора, этому математику приписывают подробное изучение целых чисел, пропорций и их свойств. Пифагорейцам принадлежит значительная заслуга в придании геометрии характера науки. Пифагор являлся одним из первых, кто был убежден, что Земля – это шар и центр Вселенной, что планеты, Луна, Солнце движутся по-особому, не как звезды. В определенной степени идеи пифагорейцев о движении Земли стали предтечей гелиоцентрического учения Н. Коперника.

Детство

Ребенок рос любопытным, всеми любимым. Учитель мальчика учил риторике, музыке, письму. Он изучал поэзию, поэмы Гомера «Илиада» и «Одиссея» заучивал наизусть.

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ — прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $\angle A C B=\angle C H A=90^{\circ}$,
$\angle A$ — общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$\frac{a}{c}=\frac{H B}{a}, \frac{b}{c}=\frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c \cdot H B, b^{2}=c \cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

История[править | править код]

Чу-пей 500–200 до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

Традиционно авторство теоремы приписывают греческому философу и математику Пифагору, хотя есть свидетельства того, что теорема была известна задолго до него в Вавилоне и Древнем Китае. Возможно, Пифагор и узнал эту теорему во время своего путешествия по Египту и Вавилону, а может быть, и в Милетской школе. Однако есть свидетельства, что доказательство теоремы впервые было приведено именно им, или , по крайней мере, в его школе. Существует исторический анекдот и легенда, что когда Пифагор окрыл свою теорему, он в благодарность богам принёс в жертву 100 быков, и с тех пор все скоты ненавидят математику.
Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов:

Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами), то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов.

Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки.

Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида.

Согласно комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор (569—475 гг. до н. э.), использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек. Комментарии Прокла датируются 410 и 485 годами до н. э. соответственно. Примечательно, что известный английский историк математики Хиф (Heath), полагает, что не существует убедительных доказательств в пользу Пифагора на протяжении 5 столетий после его жизни на предмет авторства теоремы.
В то же время, такие известные авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывают авторство теоремы именно Пифагору, в соответствии с этими источниками можно сделать вывод о том, что авторство Пифагора было широко известно и не подвергалось сомнению.

Нумерология Пифагора

В биографии Пифагора имеется примечательная вещь: его всю жизнь чрезвычайно сильно интересовали числа. С их помощью он старался познать природу вещей и явлений, жизни и смерти, страданий, счастья и прочих важных вопросов бытия.

Цифру 9 он связывал с постоянством, 8 – со смертью, а еще уделял огромное внимание квадрату чисел. В этом смысле совершенным числом была 10

Десятку Пифагор называл символом Космоса.

Пифагорейцы первыми разделили числа на четные и нечетные. У четных чисел, по мнению математика, было женское начало, а у нечетных – мужское.

В те времена, когда не существовало науки как таковой, люди познавали жизнь и мироустройство, как могли. Пифагор, как великий сын своего времени, старался искать ответы на эти и другие вопросы с помощью цифр и чисел.

Философское учение

Учение Пифагора следует разделить на две категории:

  • Научный подход
  • Религиозность и мистика

К сожалению, далеко не все труды Пифагора удалось сохранить. А все из-за того, что ученый практически не делал никаких записей, передавая знания ученикам в устной форме.

Кроме того, что Пифагор был ученым и философом, его можно по праву назвать и религиозным новатором. В этом на него немного был похож Лев Толстой (интересные факты о Толстом мы публиковали в отдельной статье).

Пифагор был вегетарианцем и побуждал к этому своих последователей. Он не разрешал ученикам употреблять пищу животного происхождения, запрещал им пить спиртные напитки, сквернословить и вести себя непристойно.

Философ проповедовал, что человек может сохранить свою душу лишь при условии физического и нравственного очищения.

Интересен и тот факт, что Пифагор не обучал простых людей, которые стремились получить лишь поверхностные знания. Он принимал в ученики только тех, в ком видел избранных и просвещенных индивидов.

Личная жизнь

Изучая биографию Пифагора, может сложиться ошибочное впечатление, что времени на личную жизнь у него не было. Однако это не совсем так.

Когда Пифагору было около 60 лет, на одном из своих выступлений он повстречал красивую девушку по имени Феана.

Они поженились, и от этого брака у них родились мальчик и девочка. Так что выдающийся грек был семейным человеком.

Смерть

Как это ни удивительно, но ни один из биографов не может однозначно сказать, каким образом умер великий философ и математик. Существует три версии его смерти.

Согласно первой, Пифагора убил один из учеников, которого он отказался обучать. В порыве гнева, убийца поджег Академию ученого, где тот и погиб.

Вторая версия рассказывает о том, что во время пожара, приверженцы ученого, желая спасти его от смерти, создали мост из собственных тел.

Но самой распространенной версией кончины Пифагора считается его гибель во время вооруженного конфликта в городе Метапонт.

Великий ученый прожил более 80 лет, умерев в 490 г. до н. э. За свою долгую жизнь он успел сделать очень многое, и его вполне справедливо считают одним из самых выдающихся умов в истории.

Если же вам вообще нравятся краткие биографии, истории из жизни великих людей и просто интересные факты – обязательно подписывайтесь на InteresnyeFakty.org. С нами всегда интересно!

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a < b < c, усмотреть соотношение a2 + b2 = c2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, — и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением. При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.

Пример решения

Любая теория является незавершенной моделью интерактивного обучения. Следует разобрать пример теоремы Пифагора на практике. Например, существует треугольник с катетами а = 12 и b = 9. Необходимо найти его третью сторону «с». Решить задание можно, используя закон соотношения сторон.

Расчет осуществляется таким образом: с 2 = 12 2 + 9 2 = 144 + 81 = 225 (ед 2 ). Если извлечь квадратный корень из результата, то получается значение гипотенузы с = 15 (ед)

Специалисты рекомендуют обратить внимание на значения размерностей в скобках.

Необходимо руководствоваться таким правилом: когда не указана единица измерения, тогда нужно указывать ее условно. Например, в условии дана размерность а = 12 м и b = 9 м. Формула для вычисления приобретает такой вид: с 2 = 12 2 + 9 2 = 144 + 81 = 225 м 2 и с = 15 м.

Однако такие задания бывают только в классах со слабой успеваемостью или на первоначальных этапах обучения. Встречаются более сложные виды, в которых фигурируют доказательства некоторых тождеств, а также составление уравнений. Некоторые соотношения следует доказать, используя различные математические преобразования.

Таким образом, теорема Пифагора получила широкое применение в доказательстве других более сложных утверждений, а также используется при решении задач.

А можно взять вообще любую геометрическую фигуру?

Почти. Универсальная формула работает для всех подобных фигур — тех, что являются увеличенными или уменьшенными версиями одной и той же фигуры. Ну, например:

Все квадраты похожи друг на друга (площадь квадрата — всегда квадрат одной его стороны). Все круги похожи друг на друга (площадь круга — всегда π*r²). Треугольники не похожи друг на друга: они бывают вытянутыми или плоскими, «толстенькими» и «тоненькими», и у каждого треугольника — свой коэффициент для вычисления площади в зависимости от того, какой линейный сегмент вы выбрали. Измените форму треугольника, изменится и уравнение.

В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания * высоту». Но отношения между основанием и высотой зависят от вида треугольника, поэтому и коэффициент в универсальной формуле будет всегда разным.

Почему для сохранения универсальности уравнения необходимы подобные фигуры? Интуитивно понятно, что при масштабировании фигуры вы меняете её размер, но сохраняете пропорции. Периметр квадрата всегда будет вычисляться умножением размера его стороны на 4.

Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами фигуры, формула будет работать для всех фигур с одинаковыми пропорциями (подобными фигурами). Это как сказать, что полный размах рук человека приблизительно соответствует его росту — вне зависимости от того, кто перед нами, ребёнок или баскетболист.

Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена в следующих трёх постулатах:

  • Площадь фигуры вычисляется с помощью возведения в квадрат любого её линейного сегмента.
  • У каждого линейного сегмента будет свой коэффициент в универсальной формуле.
  • Одна и та же формула расчёта площади работает для всех подобных фигур.

Философское учение

Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

Учение Пифагора следует разбить на две составляющие части: научный подход к познанию мира и религиозно-мистический образ жизни, проповедуемый Пифагором. Доподлинно неизвестны заслуги Пифагора в первой части, так как ему позднее приписывали всё, созданное последователями в рамках школы пифагореизма. Вторая часть превалирует в учении Пифагора, и именно она осталась в сознании большинства античных авторов.

Достаточно полные сведения о развиваемых Пифагором представлениях о переселении душ и основанных на них пищевых запретах даёт поэма Эмпедокла «Очищения».

В сохранившихся работах Аристотель никогда прямо не обращается непосредственно к Пифагору, но лишь к «так называемым пифагорейцам». В потерянных работах (известных по выдержкам) Аристотель рассматривает Пифагора как основателя полурелигиозного культа, который запрещал есть бобы и имел золотое бедро, но не принадлежал к последовательности мыслителей, предшественников Аристотеля.

относился к Пифагору с глубочайшим почтением и уважением. Когда пифагореец Филолай впервые опубликовал 3 книги, излагающие основные положения пифагореизма, Платон по совету друзей немедленно их купил за большие деньги.

Деятельность Пифагора как религиозного новатора VI в. до н. э. заключалась в создании тайного общества, которое не только ставило перед собой политические цели (из-за чего пифагорейцев разгромили в Кротоне), но, главным образом, освобождение души путём нравственного и физического очищения с помощью тайного учения (мистическое учение о круговороте переселений души). По Пифагору, вечная душа переселяется с небес в бренное тело человека или животного и претерпевает ряд переселений, пока не заслужит права вернуться обратно на небеса.

Шартрский собор, статуя Пифагора

В акусматах (изречениях) Пифагора содержатся обрядовые наставления: о круговороте человеческих жизней, поведении, жертвоприношениях, погребениях, питании. Акусматы сформулированы лаконично и доступно для понимания любого человека, в них содержатся также постулаты общечеловеческой морали. Более сложная философия, в рамках которой развивалась математика и другие науки, предназначалась для «посвящённых», то есть избранных людей, достойных владеть тайным знанием. Научная составляющая учения Пифагора развивалась в V в. до н. э. усилиями его последователей (Архит из Тарента, Филолай из Кротона, Гиппас из Метапонта), но сошла на нет в IV в. до н. э., в то время как мистическо-религиозная составляющая получила своё развитие и второе рождение в виде неопифагореизма во времена Римской империи.

Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. В основе вещей лежит число, учил Пифагор, познать мир — значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Числа и пропорции изучались с тем, чтобы познать и описать душу человека, а познав, управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние.

Как отмечал И. Д. Рожанский: «Несмотря на пережитки магического мышления, основная идея Пифагора о том, что в основе всех вещей лежат числа или отношения чисел, оказалась очень плодотворной». Как отмечал Стобей: «Судя по всему, больше всех (наук) Пифагор почитал науку о числах, он продвинул её вперёд, выведя её за пределы употребления в торговле и выражая, моделируя все вещи числами» (1, «Проэмий», 6, с. 20).

Несмотря на встречающееся мнение о том, что Пифагор будто бы был вегетарианцем, Диоген Лаэртский пишет, что Пифагор изредка ел рыбу, воздерживался только от пахотных быков и от баранов, а остальных животных дозволял в пищу.

В качестве критика Пифагора выступал его современник : «Пифагор, Мнесархов сын, занимался собиранием сведений больше всех людей на свете и, понадергав себе эти сочинения, выдал за свою собственную мудрость многознайство и мошенничество».По Диогену Лаэртскому, в продолжении известного изречения Гераклита «Многознание уму не научает» упоминается среди прочих и Пифагор: «а не то научило бы и Пифагора, равно как и Ксенофана с Гекатеем».

Брахман

В древнеиндийской философской школе существовало схожее с греческим представление об Едином — индийцы называли его словом Брахман. Они верили в то, что весь наш мир во всем его многообразии: каждый листок на дереве, каждый камушек на земле, каждое живое существо, каждый момент времени, являются частичками некоего сверхсущества — Брахмана, а все физические, химические, биологические и исторические процессы во Вселенной являются жизненными процессами этого сверхсущества. Это существо не является личностным Богом, Брахман — это скорее душа мира, индифферентный абсолют, это непосредственно сама реальность. Это существо ниоткуда не появилось, и никуда не исчезнет, оно — само бытие. Утверждали, что Брахману не может быть дано никакое утвердительное определение, его можно определить лишь через отрицание: Брахман бесконечный, Брахман неизменный, Брахман неподвижный. Верящие в Брахмана древние индийцы были первыми пантеистами.

Интересно отметить, что знаменитый физик Эрвин Шрёдингер был ярым поклонником индийской философской школы веданты и написал целый трактат про связь квантовой механики и Брахмана. Но в отличии от Шредингера далеко не все философы древней Индии были согласны с идеей Брахмана, и об одном из них пойдет речь далее.