Эксперимент кавендиша

Вычисленное значение

Эксперимент показал, что значение средней плотности Земли в 5,448 раза больше плотности воды. Хотя в оригинальной работе приведено значение 5,48, позднее Ф. Бейли нашел и исправил арифметическою ошибку, допущенную Кавендишем. Найденное Кавендишем значение лишь на 1,3 % отличается от современного (5,52 г/см³). Средняя плотность планеты, полученная в эксперименте, оказалась значительно больше поверхностной (~2 г/см³), из этого следовало, что в глубинах Земли сосредоточены более плотные вещества.

Вычисленное по данным Кавендиша значение гравитационной постоянной составляет G = 6,754⋅10−11 м³/(кг·с²). Для сравнения, современное значение (CODATA ) составляет G = 6,674⋅10−11 м³/(кг·с²).

Сам Кавендиш в своём эксперименте не ставил задачу определения гравитационной постоянной, о которой в его время ещё не было выработано единого представления в научном сообществе. Гравитационная постоянная была введена, по-видимому, впервые только С. Д. Пуассоном в «Трактате по механике» (1811)[]. Значение G было вычислено позже другими учёными из данных опыта Кавендиша. Кто впервые рассчитал численное значение G, историкам неизвестно.

Генри Кавендиш — великий химик-первооткрыватель

Основным направлением его научной деятельности – было химическое исследование газов. Именно благодаря Генри Кавендишу мы сейчас пользуемся горючим газом под названием водород. В одной из первых работ под названием «Искусственный воздух» он подробно рассказывает об открытии горючего воздуха. Им был разработан процесс сбора, очистки и исследования газов, благодаря которому были получены водород с углекислым газом. Тем же способом были установлены вес и физические свойства этих элементов. В 1781 году ученым был определен физический состав воздуха, а немного позднее, в 1784 году, при сжигании водорода был определен химический состав воды, чем изменил мнение об ее элементарном строении.  Так же, благодаря этому эксперименту, было установлено, что кислород в воздухе составляет 20,83% объем. Современные же ученые исправили эту цифру на более точную – 20,95%.

В 1772 году ученым был открыт азот. При помощи искры, выработанной электричеством, Генри получил оксид азота и изучил его свойства. Он доказал, что когда электрическая дуга проходит через воздушный слой над водной поверхностью, азот вступает в реакцию с кислородом, в следствии чего получается азотная кислота. При чем Кавендиш дополнительно указал и на то, что одна сотая часть исходного объема воздуха не реагирует с кислородом. К сожалению, в силу несовершенства проведения анализа и примитивности приборов тех времен, Генри не смог открыть в невступившей в реакцию части воздуха еще один газ – аргон. Это сделал позже в 1894 году Вильям Рамзай.

Есть еще одна любопытная деталь: исследования азота Кавендиш проводил параллельно с другим ученым Д. Резерфордом. И из–за своей скромности, Генри, после проведения работ, поделился результатами лишь со своим другом и опубликовал с вою работу с огромным опозданием. В следствии чего Резерфорд стал полноправным открывателем этого газа.

Оборудование для исследования газов

Примечания[править | править код]

  1. , p. 70.
  2. см., например en:Schiehallion_experiment,
  3. ↑ .
  4. , с. 255-268.
  5. ;
  6. , p. 90.
  7. David R. Williams.  (англ.). NASA (1 July 2013). Дата обращения: 8 апреля 2014.
  8.  (англ.). Encyclopedia Britannica. Дата обращения: 24 января 2021.
  9. Cohen E. R., Crowe C. M., Dumond J. W. M. Fundamental constants of physics. — N. Y.: Interscience Publishers, 1957. — P. 16.
  10. Cook A. H. Experiments on gravitation . Cambridge, 1987. P. 74. Experiments on gravitation // Three hundred years of gravitation / Hawking S. W., Israel W.. — Cambridge: Cambridge Unversity Press, 1987. — P. 74.
  11.  (англ.). Дата обращения: 7 марта 2020.
  12. Poisson S. D. Traité de mecaniqué. — Paris, 1811. — Т. 1—2.
  13. , p. ccxivii, Table VII.
  14. , p. 79.
  15. .
  16. .
  17. .
  18. .
  19. .
  20. Peter J. Mohr and Barry N. Taylor. Constants in the category «All constants». Reviews of Modern Physics, 2000, Vol. 72, No. 2.
  21. The American Institute of Physics. Bulletin of Physics News. N.482, May 3, 2000.

Исследования

Школа Ньюкомб в Хакни была выбрана местом, где Кавендиш начал учебу, когда ему было 11 лет. Когда этот этап закончился, в 1749 году он поступил в Петерхаус Кембриджского университета.

По словам его учителей, он был прилежным учеником, хотя его отягощала его застенчивость. Он почти не говорил и, казалось, всегда был заперт в своем мире.

Однако не это было причиной того, что он не окончил Кембридж. Кавендиш отказался участвовать в религиозных службах, проводившихся в университете, что было обязательным. Таким образом, по окончании его обучения в 1753 году они не согласились дать ему титул.

После этого Кавендиш уехал на сезон в Париж, где расширил свои знания по физике и математике.

История

Установление Ньютоном закона всемирного тяготения явилось важнейшим событием в истории физики. Его значение определяется, прежде всего, универсальностью гравитационного взаимодействия. На законе всемирного тяготения основывается один из центральных разделов астрономии — небесная механика. Мы ощущаем силу притяжения к Земле, однако притяжение малых тел друг к другу неощутимо. Требовалось экспериментально доказать справедливость закона всемирного тяготения и для обычных тел. Именно это и сделал Кавендиш, попутно определив среднюю плотность Земли.

Современное выражение закона всемирного тяготения:

F=G⋅m1⋅m2R2,{\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over R^{2}},}

где G{\displaystyle G} — гравитационная постоянная, m1{\displaystyle m_{1}} и m2{\displaystyle m_{2}} — массы материальных точек, R{\displaystyle R} — расстояние между ними, a F{\displaystyle F} — сила взаимодействия между ними.

До начала XIX века константа G в закон всемирного тяготения не вводилась, так как для всех расчётов в небесной механике достаточно использовать постоянные GM, имеющие кинематическую размерность. Постоянная G появилась впервые, по-видимому, только после унификации единиц и перехода к единой метрической системе мер в конце XVIII века. Численное значение G можно вычислить через среднюю плотность Земли, которую нужно было определить экспериментально. Очевидно, что при известных значениях плотности ρ и радиуса R Земли, а также ускорения свободного падения g на её поверхности можно найти G:

g=GM⊕R⊕2=Fm,{\displaystyle g={GM_{\oplus } \over R_{\oplus }^{2}}={F \over m},}
F=GM⊕mR⊕2=V⊕ρ⊕mGR⊕2=4πR⊕3ρ⊕mG3R⊕2=4πR⊕ρ⊕mG3,{\displaystyle F=G{M_{\oplus }m \over R_{\oplus }^{2}}={V_{\oplus }\rho _{\oplus }mG \over R_{\oplus }^{2}}={4\pi R_{\oplus }^{3}\rho _{\oplus }mG \over 3R_{\oplus }^{2}}={4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }mG \over 3},}
G=34πR⊕ρ⊕⋅Fm=3g4πR⊕ρ⊕.{\displaystyle G={3 \over 4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}\cdot {F \over m}={3g \over 4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}.}

Первоначально эксперимент был предложен Джоном Мичеллом. Именно он сконструировал главную деталь в экспериментальной установке — крутильные весы, однако умер в , так и не поставив опыта. После его смерти экспериментальная установка перешла к Генри Кавендишу. Кавендиш модифицировал установку, провёл опыты и описал их в Philosophical Transactions в 1798 году. Для своего времени эта установка явилась беспримерным шедевром искусства физического эксперимента.

Индивидуальные доказательства

  1. ↑ Значение гравитационной постоянной.
  2. ^ Клайв Спик, Терри Куинн: поиск постоянной Ньютона . В кн . : Физика сегодня . Лента67 , нет.7 , 2014, с.27 , DOI : .
  3. Значение гравитационной постоянной в натуральных единицах. Цифры в скобках указывают на погрешность в последних цифрах значения; эта погрешность выражается как указанного числового значения от фактического значения.
  4. Дэвид Ф. Бартлетт: Почему так легко недооценить систематические ошибки при измерении G? Phil. Trans. R. Soc. A 372, 2014 г., DOI: 10.1098 / rsta.2014.0021 (полный текст).
  5. Генри Кавендиш: Эксперименты по определению плотности Земли. (PDF) 1798 (английский).

Как найти гравитационную постоянную – история открытия

Коэффициент G – универсальная константа, измерение которой осуществляется экспериментальным путём. Доподлинно неизвестно, кто открыл значение гравитационной постоянной, первое употребление в «Трактате по механике» Пуассона датируется 1811 годом.

Работы Ньютона

При публикации закона тяготения в трактате Ньютона отсутствовало явное обозначение константы, характеризующее гравитацию и её действие. Коэффициент не появлялся в работах по физике вплоть до конца восемнадцатого века, его точное значение не было вычислено.

Исаак Ньютон

Вместо известной сегодня постоянной присутствовал гравитационный параметр:

M – масса объекта, причём, масса планеты или звезды, так как гравитационный параметр нашёл широкое распространение в астрофизике.

Сегодня для объектов Солнечной системы значение параметра рассчитано точнее, чем гравитационная постоянная G и масса по отдельности, так как она не требует серьёзных экспериментов, вычисляется на основании астрономических наблюдений.

Например:

  • для Земли ;
  • Луны ;
  • Солнца .

Подробнее о использовании закона всемирного тяготения в астрономии вы можете прочитать в нашей статье.

Как была экспериментально определена гравитационная постоянная – эксперимент Кавендиша

Естествоиспытатель Джон Митчел придумал эксперимент для определения массы Земли при помощи крутильных весов, однако не реализовал его. После его смерти идея опыта и аппаратура перешли к английскому физику и химику Генри Кавендишу, который, усовершенствовав прибор, провёл ряд экспериментов и осуществил задумку своего предшественника.

крутильные весы Кавендиша

Главенствующая роль в опытах отводилась установке. На метровой нити из меди подвешивалось коромысло длиной 1,8 метра, на его концах устанавливалась пара свинцовых шариков диаметром 5 сантиметров, массой 775 грамм. Чуть выше крепилась поворотная ферма, причём тщательно соблюдалось требование совпадения оси вращения фермы с медной нитью. На концах поворотной штанги находилось по одному большому свинцовому шару диаметром 20 сантиметров, массой 49,5 килограмм. Чтобы избежать влияния конвекционных воздушных потоков, вся установка накрывалась плотным деревянным кожухом. Вследствие взаимодействия лёгкие шарики притягивались к тяжёлым, закручивая нить и отклоняя коромысло. Угол отклонения фиксировался двумя телескопами, а сила упругости нити приравнивалась гравитационному взаимодействию шаров.

Величина определённой силы притяжения составляла 0,17 микроньютона. Если сравнивать это значение с весом маленького шара, то оно меньше последнего примерно в 45 миллионов раз.

В результате своего эксперимента Генри Кавендиш рассчитал среднюю плотность Земли, причём его эксперимент был точным – погрешность измеренного значения в сравнении с современным значением составляет всего 0,7%. Именно Кавендишу приписывают открытие значения гравитационной постоянной, однако он никогда не задавался подобной целью при проведении своих опытов. Очевидно, величина константы определена на основании результатов его эксперимента, но кто сделал это первым, неизвестно.

Генри Кавендиш

Измерение гравитационной постоянной

Значение константы, полученное по измеренной Кавендишем плотности, по разным источникам разнится. Британская энциклопедия называет число, равное

Коэффициент пропорциональности определяли после Генри Кавендиша, причём зачастую его установку модернизировали новыми материалами. Например, в 1872 году Корню и Байль для измерения гравитационной постоянной использовали платиновые маленькие шарики и стеклянные, наполненные ртутью, большие. Результаты опыта показали значение

-3

Работы Ньютона

Примечательно, что в трудах Ньютона (1684—1686) гравитационная постоянная в явном виде отсутствовала, как и в записях других ученых аж до конца XVIII-го века.

Исаак Ньютон (1643 — 1727)

Ранее использовался так называемый гравитационный параметр, который равнялся произведению гравитационной постоянной на массу тела. Нахождение такого параметра в то время было более доступно, поэтому на сегодняшний день значение гравитационного параметра различных космических тел (в основном Солнечной системы) более точно известно, нежели порознь значение гравитационной постоянной и массы тела.

µ = GM

Здесь: µ — гравитационный параметр, G – гравитационная постоянная, а M — масса объекта.

Размерность гравитационного параметра — м3с−2.

Следует отметить тот факт, что значение гравитационной постоянной несколько варьируется даже до сегодняшнего дня, а чистое значение масс космических тел в то время было определить довольно сложно, поэтому гравитационный параметр нашел более широкое применение.

Предлагаемое изменение во времени

Спорное исследование некоторых предыдущих измерений G в 2015 году , проведенное Андерсоном и др., Показало, что большинство взаимоисключающих значений в высокоточных измерениях G можно объяснить периодическим изменением . Вариации измеряли , как имеющий период 5,9 года, аналогичный тому , что наблюдалось в (LOD) измерении длины в день, намекает на общую физическую причине, которая не обязательно является изменение в G . Ответ был получен некоторыми из первоначальных авторов измерений G, использованных в Anderson et al. В этом ответе отмечается, что Anderson et al. не только пропущены измерения, но и использовано время публикации, а не время проведения экспериментов. График с расчетным временем измерения, полученный при контакте с оригинальными авторами, серьезно ухудшает корреляцию продолжительности дня. Кроме того, рассмотрение данных, собранных Карагиозом и Измайловым за десятилетие, не показывает корреляции с измерениями продолжительности дня. Таким образом, вариации G, скорее всего, возникают из-за систематических ошибок измерения, которые не были должным образом учтены. При предположении, что физика сверхновых типа Ia универсальна, анализ наблюдений 580 сверхновых типа Ia показал, что гравитационная постоянная изменялась менее чем на одну десятую миллиарда в год за последние девять миллиардов лет, согласно Mold et al. . (2014).

Результаты Кавендиша

Проведя измерения, Кавендиш получил очень хорошие результаты. Вот его результаты в сравнении с общепринятыми значениями  :

граммКавендишзнак равно 6,754×10-11 НЕТ м2 kграмм-2{\ displaystyle G _ {\ text {Cavendish}} = \ 6 {,} 754 \ times 10 ^ {- 11} \ {\ rm {N \ m ^ {2} \ kg ^ {- 2}}}}
граммдопущенныйзнак равно 6,674×10-11 НЕТ м2 kграмм-2{\ displaystyle G _ {\ text {admitted}} = \ 6 {,} 674 \ times 10 ^ {- 11} \ {\ rm {N \ m ^ {2} \ kg ^ {- 2}}}}
MКавендишзнак равно 5,980×1024 kграмм{\ displaystyle M _ {\ text {Cavendish}} = \ 5 {,} 980 \ times 10 ^ {24} \ {\ rm {kg}}}
Mдопущенныйзнак равно 5,974×1024 kграмм{\ displaystyle M _ {\ text {admitted}} = \ 5 {,} 974 \ times 10 ^ {24} \ {\ rm {kg}}}
ρКавендишзнак равно 5,48 грамм противм-3{\ Displaystyle \ rho _ {\ текст {Кавендиш}} = \ 5 {,} 48 \ {\ rm {г \ см ^ {- 3}}}}
ρдопущенныйзнак равно 5,54 грамм противм-3{\ displaystyle \ rho _ {\ text {admitted}} = \ 5 {,} 54 \ {\ rm {g \ cm ^ {- 3}}}}

Проверка на малых расстояниях.

Из опытов
по рассеянию a-частиц (1911) следует, что закон Кулона не
нарушается до атомных расстояний 10-10 м. Опыты, проведенные в 1947 году
и Р.Ризерфордом по измерению относительного
расположения уровней энергии атома водорода, показали, что закон Кулона выполняется
до ядерных расстояний 10-14 м.

На внутриядерных расстояниях закон Кулона терпит крах. Это было показано на
опытах по рассеянию электронов на протонах. Электрические силы оказываются чуть
ли не в 10 раз меньшими, чем им положено. Правда, этому есть два объяснения:
или закон Кулона неверен на таких расстояниях, или заряд протона «размазан»
по некоторому объему.

Заметим, что на таких расстояниях классические понятия уже вряд ли применимы.
Однако выводы квантовой электродинамики имеют своим предельным случаем закон
Кулона.

Общие сведения

Гравитационная постоянная или иначе – постоянная Ньютона – одна из основных констант, используемых в астрофизике. Фундаментальная физическая постоянная определяет силу гравитационного взаимодействия. Как известно, силу, с которой каждое из двух тел, взаимодействующих посредством гравитации, притягивается можно высчитать из современной формы записи закона всемирного тяготения Ньютона:

Гравитационное взаимодействие двух тел

Здесь:

  • m1 и m2 — тела, взаимодействующие посредством гравитации
  • F1 и F2 – векторы силы гравитационного притяжения, направленные к противоположному телу
  • r – расстояние между телами
  • G – гравитационная постоянная

Данный коэффициент пропорциональности равен модулю силы тяготения первого тела, которая действует на точечное второе тело единичной массы, при единичном расстоянии между этими телами.

G = 6,67408(31)·10−11 м3·с−2·кг−1, или Н·м²·кг−2.

Очевидно, что данная формула широко применима в области астрофизики и позволяет рассчитать гравитационное возмущение двух массивных космических тел, для определения дальнейшего их поведения.

Материалы по теме

Гравитационные волны

Измерение гравитационной постоянной проводится различными группами ученых и по сей день. При этом, несмотря на обилие доступных исследователям технологий, результаты экспериментов дают различные значения данной константы. Из этого можно было бы сделать вывод, что, возможно, гравитационная постоянная на самом деле непостоянная, а способна менять свое значение, с течением времени или от места к месту. Однако, если значения константы по результатам экспериментов разнятся, то неизменность этих значений в рамках этих экспериментов уже проверена с точностью до 10-17. Кроме того, согласно астрономическим данным постоянная G не изменилась в значительной степени за несколько последних сотен миллионов лет. Если постоянная Ньютона и способна меняться, то ее изменение не превысило б отклонение на число 10-11 – 10-12 в год.

Примечательно, что летом 2014-го года совместно группа итальянских и нидерландских физиков провели эксперимент по измерению гравитационной постоянной совсем иного вида. В эксперименте использовались атомные интерферометры, которые позволяют отследить влияние земной гравитации на атомы. Значение константы, полученное таким образом, имеет погрешность 0,015% и равняется G = 6.67191(99) × 10−11 м3·с−2·кг−1.

Физические исследования Генри Кавендиша

В области физики Генри Кавендишу принадлежат опыты по измерению гравитационной силы. В результате этих экспериментов была вычислена плотность нашей планеты. Для вычислений Генри использовал оборудование построенное, Джоном Мичеллом. Оно представляло собой вращающиеся весы для измерения притяжения между двумя шариками, состоящими из свинца массой в 350 фунтов, и еще двумя массой 1,61 фунта. В результате было установлено, что плотность планеты в 5,48 раз превышает плотность воды. Позднее Дж. Г. Пойнтинг дополнил, что результаты должны были составлять значение 5,448, которое было средним после проведения 29 экспериментов.

Кавендиш написал множество работ для Королевского общества, которые были опубликовании только спустя сто лет в 1879 году Дж. Максвеллом. Его открытиями в сфере электричества являются следующие:

  • Определение электрического потенциала, которому он дал название «Степень электрификации».
  • Способы расчетов емкостей сфер и конденсаторов.
  • Диэлектрическая проницаемость материалов.
  • Отношение между током и потенциалом, именуемое сейчас законом Ома.
  • Разделение токов в параллельных электрических цепях.
  • Закон обратного квадрата изменения электрической силы с расстоянием (закон Кулона).
  • Экспериментально было установлено влияние различных сред на емкость конденсаторов.
  • С помощью крутильных весов подтвержден закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном.
  • Определил теплоту при фазных переходах и удельную теплоемкость некоторых веществ.
  • Изобрел устройство для исследований газовой смеси с содержанием горючих элементов – эвдиометр.

Сэр Генри ушёл из жизни 24 марта 1810 года в возрасте 79 лет. В завещании Кавендиша содержалось требование похоронить его в тщательно замурованном гробу без единой надписи. Будучи атеистом, Кавендиш запретил проводить над его телом после смерти какие-либо религиозные обряды. В Кембридже его именем назвали лабораторию.

Размерный анализ

В соответствии с Ньютон, гравитационный является сила притяжения между двумя массивными телами , которые, с одной стороны, прямо пропорциональны к продукту их массы и, с другой стороны, обратно пропорционален квадрату этого расстояния между ними. Соответствующей центр массы:

|F|∝м1м2р2{\ displaystyle \ quad | \ mathbf {F} | \ propto {\ frac {{m_ {1}} {m_ {2}}} {r ^ {2}}}}

Анализ размеров, используемый для сравнения размера силы;

|F|знак равноM⋅L⋅Т-2{\ Displaystyle = М \ cdot L \ cdot T ^ {- 2}}

и размер  :
м1м2р2{\ displaystyle {\ frac {{m_ {1}} {m_ {2}}} {r ^ {2}}}}

м1м2р2знак равноM2⋅L-2{\ displaystyle \ left = M ^ {2} \ cdot L ^ {- 2}}

где это размерность массы , что и в длину , и что из времени .
M{\ displaystyle M}L{\ displaystyle L}Т{\ displaystyle T}

Поскольку два члена не имеют одинаковой размерности, отношение пропорциональности позволяет определить фактор таким образом, чтобы:
грамм{\ displaystyle G}

|F|знак равнограммм1 м2р2{\ displaystyle | \ mathbf {F} | = G {\ frac {m_ {1} \ m_ {2}} {r ^ {2}}}}

Следовательно, этот фактор имеет размер:

граммзнак равно|F|р2м1м2знак равноM-1⋅L3⋅Т-2{\ displaystyle = {\ frac { } {}} = M ^ {- 1} \ cdot L ^ {3} \ cdot T ^ {- 2}}

Следовательно, в международной системе единиц он выражается в м 3  кг -1  с -2 .

Иногда отличает . Массы, связанные с силами фундаментальным уравнением динамики, являются инертными массами , массы , лежащие в основе гравитационного поля, являются серьезными массами . В классической физике , то закон действия и реакции следует , что сила притяжения между двумя симметричными телами соответствующих масс и , и , следовательно , что серьезная масса и тяжелая масса идентичны. В релятивистской механике тождество инертной массы и массы могилы является предметом принципа эквивалентности . Однако можно представить себе механику Ньютона, в которой эти две массы будут разными для данного вещества (но одного измерения ).
м1{\ displaystyle m_ {1}}м2{\ displaystyle m_ {2}}

Вывод G и массы Земли [ править ]

Ниже приводится не метод, который использовал Кавендиш, а описывается, как современные физики вычислили бы результаты его эксперимента. Из , то крутящий момент на торсионной проволоки пропорциональна углу отклонения & thetas баланса. Крутящий момент равен κθ, где κкоэффициент кручения проволоки. Однако вращающий момент в противоположном направлении также создается гравитационным притяжением масс. Его можно записать как произведение сил притяжения между шариками и расстояния до подвесного троса. Поскольку имеется две пары шаров, каждый из которых испытывает силу F на расстоянииL2от оси баланса крутящий момент равен LF . В состоянии равновесия (когда баланс стабилизирован под углом θ ) общий крутящий момент должен быть равен нулю, поскольку эти два источника крутящего момента компенсируются. Таким образом, мы можем приравнять их интенсивности, заданные приведенными выше формулами, что дает следующее:

κθ знак равноLF{\ Displaystyle \ каппа \ тета \ = LF \,}

Для F , Ньютона «S закон всемирного тяготения используется , чтобы выразить силу притяжения между большими и малыми мячами:

Схема торсионных весов

Fзнак равнограмммMр2{\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}

Подстановка F в первое уравнение выше дает

κθ =LGmMr2(1){\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}

Чтобы найти коэффициент кручения ( κ ) проволоки, Кавендиш измерил период собственных резонансных T крутильных весов:

T=2πIκ{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}

Если предположить, что массой самой торсионной балки можно пренебречь, момент инерции весов обусловлен только маленькими шариками:

I=m(L2)2+m(L2)2=2m(L2)2=mL22{\displaystyle I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,},

и так:

T=2πmL22κ{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}

Решая это для κ , подставляя в (1) и преобразовывая для G , результат:

G=2π2Lr2θMT2{\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,}

Как только G найден, притяжение объекта на поверхности Земли к самой Земле можно использовать для расчета массы и плотности Земли

mg=GmMearthRearth2{\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {earth}}}{R_{\rm {earth}}^{2}}}\,}
Mearth=gRearth2G{\displaystyle M_{\rm {earth}}={\frac {gR_{\rm {earth}}^{2}}{G}}\,}
ρearth=Mearth43πRearth3=3g4πRearthG{\displaystyle \rho _{\rm {earth}}={\frac {M_{\rm {earth}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {earth}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {earth}}G}}\,}

Определения терминов править

Символ Единица измерения Определение
θ радианы Отклонение торсионной балансира от положения покоя
F N Гравитационная сила между массами M и m
грамм м 3 кг −1 с −2 Гравитационная постоянная
м кг Масса маленького свинцового шарика
M кг Масса большого свинцового шара
р м Расстояние между центрами большого и маленького мячей при отклонении баланса
L м Длина торсионного балансира между центрами маленьких шариков
κ Н · м рад −1 Коэффициент кручения подвесной проволоки
я кг м 2 Момент инерции торсионного балансира
Т s Период колебания торсионных весов
грамм мс −2 Ускорение свободного падения у поверхности Земли
М земля кг Масса Земли
R земля м Радиус Земли
ρ земля кг м −3 Плотность Земли