Постоянная больцмана

Пример использования закона Стефана-Больцмана: температура поверхности Солнца

Используя самостоятельно открытый закон, Стефан определил температуру поверхности нашей звезды — Солнца. Для этого он использовал данные Чарльза Сорета, согласно которым плотность потока солнечной энергии в 29 раз больше, чем плотность электромагнитного излучения нагретой металлической пластины. Пластину ученый расположил от детектора электромагнитного потока под тем же углом, под которым видно Солнце с Земли. В результате Сорет оценил температуру пластины в 1900-2000 °C. Стефан, в свою очередь, также учел атмосферное поглощение солнечного излучения на Земле, предположив, что реальный поток энергии от Солнца в 43,5 раза больше такового от нагретой пластины. Отметим, что точные измерения атмосферного поглощения солнечной энергии были проведены в серии экспериментов с 1888 по 1904 год.

Далее, согласно закону Стефана-Больцмана можно легко показать, что температура поверхности Солнца должна быть больше температуры металлической пластины в 2,57 раза (для получения этой цифры необходимо взять корень четвертой степени от отношения энергетических потоков излучения Солнца и пластины). Таким образом, Стефан получил, что температура поверхности нашей звезды равна 5713 К (современное значение составляет 5780 К).

Полученное значение температуры поверхности Солнца являлось самым точным в XIX веке. До работ Стефана другие ученые получали как слишком низкие температуры для поверхности Солнца (1800 °C), так и слишком высокие ее значения (13 000 000 °C).

Размеры [ править ]

Из закона идеального газа PV = nRT получаем:

рзнак равнопVпТ{\ displaystyle R = {\ frac {PV} {nT}}}

где P — давление, V — объем, n — количество молей данного вещества, а Tтемпература .

Поскольку давление определяется как сила на единицу площади, уравнение газа также можно записать как:

рзнак равножорcеареа×vолтымеамотыпт×температтыре{\ displaystyle R = {\ frac {{\ dfrac {\ mathrm {force}} {\ mathrm {area}}} \ times \ mathrm {volume}} {\ mathrm {amount} \ times \ mathrm {температура}}} }

Площадь и объем равны (длина) 2 и (длина) 3 соответственно. Следовательно:

рзнак равножорcе(лепграммтчас)2×(лепграммтчас)3амотыпт×температтырезнак равножорcе×лепграммтчасамотыпт×температтыре{\displaystyle R={\frac {{\dfrac {\mathrm {force} }{(\mathrm {length} )^{2}}}\times (\mathrm {length} )^{3}}{\mathrm {amount} \times \mathrm {temperature} }}={\frac {\mathrm {force} \times \mathrm {length} }{\mathrm {amount} \times \mathrm {temperature} }}}

Поскольку сила × длина = работа:

R=workamount×temperature{\displaystyle R={\frac {\mathrm {work} }{\mathrm {amount} \times \mathrm {temperature} }}}

Физическое значение R — работа на градус на моль. Он может быть выражен в любом наборе единиц, представляющих работу или энергию (например, джоули ), единицах, представляющих градусы температуры по абсолютной шкале (например, Кельвина или Ранкина ), и любой системе единиц, обозначающей моль или подобное чистое число, которое позволяет уравнение макроскопической массы и чисел фундаментальных частиц в системе, такой как идеальный газ (см. постоянную Авогадро ).

Вместо моля постоянную можно выразить, рассматривая нормальный кубический метр .

В противном случае мы также можем сказать, что:

force=mass×length(time)2{\displaystyle \mathrm {force} ={\frac {\mathrm {mass} \times \mathrm {length} }{(\mathrm {time} )^{2}}}}

Следовательно, мы можем записать R как:

R=mass×length2amount×temperature×(time)2{\displaystyle R={\frac {\mathrm {mass} \times \mathrm {length} ^{2}}{\mathrm {amount} \times \mathrm {temperature} \times (\mathrm {time} )^{2}}}}

Итак, в базовых единицах СИ

R =8,314 462 618  кг⋅м 2 с −2 ⋅K −1 моль −1 .

Применение[править | править код]

В космосе самым распространённым химическим элементом является водород. Распространённость других элементов существенно меньше, например, количество атомов кремния меньше чем водородных атомов в десятки тысяч раз. Такая же картина складывается и для распространённости звёзд различных масс. В соответствии с дискретностью параметров звёзд, распространённость звёзд точно повторяет распространённость химических элементов, и маломассивные звёзды в нашей Галактике преобладают. В таком случае типичными объектами, характеризующими Галактику в целом, должны быть звезды минимальной массы Мps = 0,056 Мc (Мc – масса Солнца), являющиеся коричневыми карликами и соответствующие водороду согласно подобию между уровнями материи. Для множества этих звёзд величина звёздной постоянной Больцмана равна Kps. Если бы Галактика состояла только из каких-то одинаковых и более массивных звёзд главной последовательности, для них звёздная постоянная Больцмана равнялась бы Ks = А Kps, где A – массовое число, соответствующее данным звёздам.

Для средней кинетической энергии движения звёзд в пространстве можно записать:
 Ek=Msv22=3KsTk2,~ E_k = \frac {M_s v^2}{2}=\frac {3K_s T_k}{2},

где Ms=AMpsM_s = A M_{ps}
и vv
– масса и среднеквадратичная скорость движения звёзд, TkT_k
– кинетическая температура.

Отсюда с учётом соотношения Kps=Ks′K_{ps} = K’_s
при скорости v=235v =235
км/с определяется эффективная температура нашей Галактики: Tk=Mpsv23Kps=1,7⋅106T_k = \frac { M_{ps} v^2}{3 K_{ps} }=1,7 \cdot 10^6
К.

Эффективную температуру Галактики можно оценить и другими способами, например, по её интегральной светимости с помощью закона Стефана-Больцмана для излучения абсолютно чёрного тела, при этом следует использовать звёздную постоянную Стефана-Больцмана. Ещё один способ предполагает расчёт гравитационной энергии Галактики и вычисление её суммарной внутренней кинетической энергии, приблизительно равной Egk=2,5⋅1052E_{gk} = 2,5\cdot 10^{52}
Дж. Если во всех звёздах Галактики подсчитать общее количество нуклонов N , то из формулы:
 Egk=3kNT2μ,~ E_{gk}= \frac {3kN T}{2\mu },

где μ\mu
– количество нуклонов на одну частицу газа, находится температура T=4⋅106T = 4\cdot 10^6
К.

Эффективное давление газа, состоящего из множества звёзд, вычисляется по формуле:
 Pg=KsGsTk,~ P_g = K_s G_s T_k,

где GsG_s
– концентрация звёзд, находимая из наблюдений.

Звёздная постоянная Больцмана может быть введена в уравнение состояния вещества внутри звезды (вещество рассматривается как газ, состоящий из ядер, ионов и электронов, удерживаемый силой собственной гравитации, тепловая энергия газа приблизительно равна половине гравитационной энергии согласно теореме вириала). В таком случае справедлива формула:
 PV=2Eh3=KsTsμ,~ PV = \frac { 2E_h }{ 3}= \frac { K_s T_s }{ \mu},

где μ\mu
– количество нуклонов на одну частицу газа, VV
, PP
и TsT_s
– объём звезды, её средние давление и внутренняя температура, EhE_h
– внутренняя тепловая энергия звезды. Эта формула выполняется с точностью до коэффициента порядка единицы, поскольку звезда не может быть однородной, давление и температура в её недрах увеличиваются. В качестве примера можно взять Солнце, в котором среднее давление достигает почти 1014 Па, а средняя температура порядка 8 миллионов градусов при μ=,64\mu =0,64
.

Отсюда следует, что звёздная постоянная Больцмана представляет как внутренние свойства звёздных объектов при описании связи между энергией и температурой вещества, так и связь энергии и температуры в совокупности взаимодействующих между собой звёздных объектов. Такой же вывод может быть сделан в отношении физического смысла обычной постоянной Больцмана, с заменой звёздных объектов на элементарные частицы.

Формула

Такую возможность дает нам как раз наша константа. Энергия рассчитывается по формуле:

1/2mv²=Tk

Где m – масса молекул газа, v – скорость их движения, T – результирующая температура и k – собственно, константа Больцмана. Она равняется 1,38 x 10–23 Дж/К.

Таким образом, в левой части формулы мы видим характеристики атомарного микромира – масса и скорость молекул. В правой же части получаем характеристику макромира, которую мы можем измерить доступными нам инструментами – термометром. Мостик проложен.

Немного отвлечемся от основной темы. А вы знали, что автор нашей постоянной известен своей философской концепцией Больцмановского мозга? В соответствии с ней, вероятность появления интеллекта в результате флуктуаций (то есть, случайно, мгновенно), выше, чем в результате эволюции. При условии, что время жизни Вселенной не ограничено.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

E=32kT.

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Пример 1

Условие: вычислите среднюю энергию молекулы газа, состоящего из N-атомных молекул при температуре T, зная, что у молекул возбуждены все степени свободы – вращательные, поступательные, колебательные. Все молекулы считать объемными.

Решение

Энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую ее степень, значит, на эти степени будет приходиться одинаковая кинетическая энергия. Она будет равна εi=12kT. Тогда для вычисления средней энергии мы можем использовать формулу:

ε=i2kT, где i=mpost+mυr+2mkol представляет собой сумму поступательных вращательных степеней свободы. Буквой k обозначена постоянная Больцмана.

Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:

mpost=3, mυr=3, значит, mkol=3N-6.

i=6+6N-12=6N-6;ε=6N-62kT=3N-3kT.

Ответ: при данных условиях средняя энергия молекулы будет равна ε=3N-3kT.

Пример 2

Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов μ1, μ2.

Решение

Сначала вычислим общую массу смеси.

m=ρV=N1m01+N2m02=n1Vm01+n2Vm02→ρ=n1m01+n2m02.

Параметр m01 обозначает массу молекулы одного газа, m02 – массу молекулы другого, n2 – концентрацию молекул одного газа, n2 – концентрацию второго. Плотность смеси равна ρ.

Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

n1=ρ-n2m02m01;n2=n-n1→n1=ρ-(n-n1)m02m01→n1=ρ-nm02+n1m02m01→n1m01-n1m02=ρ-nm02→n1(m01-m02)=ρ-nm02.

Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:

p=nkT→n=pkT.

Подставим полученное равнее значение:

n1(m01-m02)=ρ-pkTm02→n1=ρ-pkTm02(m01-m02).

Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

m01=μ1NA, m02=μ2NA.

Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно 1 атм, а температура 290К. Значит, мы можем считать задачу решенной.

Ответ: в данных условиях рассчитать концентрацию одного из газов можно как n1=ρ-pkTm02(m01-m02), где m01=μ1NA, m02=μ2NA.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Ключевые нюансы

Если при абсолютной температуре (Т) хранится однородный идеальный газ, то та энергия, что приходится на каждую поступательную степень свободы, обязательно будет равна формуле kT /2 (это утверждение подробно описано в распределении Максвелла).

Если рассматривать конкретную ситуацию на примере комнатной температуры, то итоговый показатель энергии будет находиться в пределах 2.07 * 10-21 Дж (0.013 эВ).

В результате проведённых исследований удалось доказать, что в одноатомном идеальном газе каждый отдельный атом обладает сразу тремя степенями свободы. Данные соответствуют трем пространственным осям, благодаря чему на каждый атом приходится энергия, которая равна формуле 3/2 kT.

Правильно вычислить среднеквадратичную скорость атомов можно только в том случае, если изначально знать реальную тепловую энергию. Используемые данные должны быть обратно пропорциональны квадратичному корню атомной массы.

В учебниках по физике содержится информация о том, что стандартная среднеквадратичная скорость при комнатной температуре может варьироваться от 1379 м/с (утверждение уместно по отношению к гелию) до 240 м/с (ксенон). Ситуация немного усложняется в том случае, если речь касается молекулярного газа.

Пример: пять степеней свободы имеет двухатомный газ (колебания атомов в молекуле отсутствует только в том случае, если температура окружающей среды кардинально снижена).

Экспертами было доказано, что именно энтропия термодинамической системы может измеряться как натуральный логарифм от числа разных микросостояний (V), которые в точности соответствуют конкретному микроскопическому состоянию (чаще всего это утверждение касается состояния с заданной полной энергией).

Для решения задачи лучше воспользоваться этой формулой: S = k ln V. Постоянная Больцмана отображена коэффициентом пропорциональности (k). Определяющая связь между микроскопическими (V) и макроскопическими состояниями (S) отлично выражает главную идею многогранной статистической механики.

Идеальное измерение газовой постоянной

Последнее измерение ( постоянной идеального газа ) довольно старое: оно датируется 1988 годом в Национальном институте стандартов и технологий (NIST). Поэтому мы пытаемся его улучшить.
р{\ displaystyle R}

  • Измерение скорости звука в газе (Moldover), находящемся в сферическом резонаторе, заполненном аргоном , изучаемом как функция давления (вириальные поправки), является довольно тонким технологическим подвигом (изменение объема с давлением, поглощение , десорбция). Лоран Питр работает с гелием.
  • относительное измерение емкости газа по сравнению с тем при отсутствии нагрузки позволяет измерять диэлектрическую проницаемость газа и идти вверх через по отношению Клаузиуса-Моссотти , чтобы  : точность составляет 30  частей на миллион с целью достижения 1  частей на миллион .kBТ{\ displaystyle k_ {B} T}
  • Измерение шума теплового сопротивления (соотношение Найквиста ), вероятно, не будет лучше, чем 20  ppm из-за ширины полосы.
  • измерение излучения черного тела , с помощью закона Стефана ограничена из-за точности на апертуре (яркости , а не мощности Необходимы стерадиан вмешивается.): 30  частей на миллион .

Как и в астрономии, мы можем определить цветовую температуру , но здесь это калибровка полосового фильтра, которая ограничивает: 100  ppm .

наконец, измерение доплеровской ширины спектральной линии кажется лучшим решением: поэтому термометр измеряет температуру в герцах . Текущий бак LNE -LNM (Paris-XIII) на 250  литров водно-ледяной смеси при 273,150 (3) K содержит ампулу газообразного аммиака NH 3.из которых мы изучаем хорошо каталогизированную характеристическую ИК- линию с высоким поглощением (для получения наилучшего отношения сигнал / шум и для работы при более низком давлении). Новый резервуар, недавно введенный в эксплуатацию, позволяет проверить точность: при спектре за 38  с и около 500 за 5  часов мы достигаем погрешности 50  ppm (Daussy, PRL2007).

Однако по-прежнему возникают нерешенные проблемы: рисунок по образцам не совсем однороден (систематические ошибки): поэтому необходимо выявить ошибки точности: оптическая юстировка, оптическая обратная связь между резервуаром и стендом, модуляция интенсивности CO -лазера. (по частоте и мощности) и его цепь сканирования.

Преимущество этого метода заключается в возможности изменения многих параметров (для экспериментальной проверки точности), в частности, для изменения газа, CH 4.или SiCl 4, так далее.

Затем может быть обнаружен довольно высокий температурный интервал, что значительно улучшит EIT 90 (Международная температурная шкала 1990 г.).

Возможно, что в конце концов мы заметим, что другие фазовые переходы лучше, тогда, если мы привыкнем измерять температуру в герцах , то есть в джоулях , с помощью введенных данных постоянной Планка (либо в эВ , если у нас есть заряд электрона с достаточной точностью), тогда мы изготовим термометр с прямой градуировкой в ​​Гц и эВ: петля замкнется, потому что многие физики, работающие в области низких температур, уже используют это устройство . Однако он никогда не превышает коэффициент преобразования Дж / К.
kB{\ displaystyle k_ {B}}

Ситуация такого типа уже имела место: было время, когда единицей тепла была калория, а единицей работы — джоуль и калория на джоуль — назывались Дж и табулировались с помощью CODATA: J ~ 4,185 5  кал / Дж

Затем мы решили взять ту же единицу для тепла и работы, принимая во внимание первый принцип термодинамики и опыт Джоуля (1845).. Тогда постоянная Больцмана «окаменет»

Энтропия будет измеряться в битах или байтах и будет тем, чем она является на самом деле: безразмерной величиной (но с единицами измерения, поскольку это z → Ln z: единицы непер и радиан ).

Тогда постоянная Больцмана «окаменет». Энтропия будет измеряться в битах или байтах и будет тем, чем она является на самом деле: безразмерной величиной (но с единицами измерения, поскольку это z → Ln z: единицы непер и радиан ).

История [ править ]

Постоянная Больцмана названа в честь ее австрийского первооткрывателя 19 века Людвига Больцмана . Хотя Больцман впервые связал энтропию и вероятность в 1877 году, это отношение никогда не выражалось конкретной константой, пока Макс Планк впервые не ввел k и не дал для него более точное значение (1,346 × 10 −23  Дж / К , что примерно на 2,5% ниже сегодняшнего значения) в его выводе закона излучения черного тела в 1900–1901 гг. До 1900 года уравнения, включающие факторы Больцмана, записывались не с использованием энергии, приходящейся на молекулу, и постоянной Больцмана, а с использованием формы газовой постоянной R и макроскопических энергий для макроскопических количеств вещества. Иконическая лаконичная форма уравнения S = k ln W на надгробии Больцмана на самом деле принадлежит Планку, а не Больцману. Планк фактически представил его в той же работе, что и его одноименный h .

В 1920 году Планк написал в своей лекции о присуждении Нобелевской премии :

Это «своеобразное положение дел» иллюстрируется ссылкой на одну из великих научных дискуссий того времени. Во второй половине девятнадцатого века существовало значительное разногласие относительно того, являются ли атомы и молекулы реальными или они были просто эвристическим инструментом для решения проблем. Не было согласия относительно того, являются ли химические молекулы, измеренные атомным весом , такими же, как физические молекулы, измеренные кинетической теорией . Лекция Планка 1920 года продолжалась:

В версиях СИ до переопределения основных единиц СИ в 2019 году постоянная Больцмана была измеренной величиной, а не фиксированным значением. Его точное определение также менялось на протяжении многих лет из-за переопределения кельвина (см. Кельвин § История ) и других основных единиц СИ (см. Джоуль § История ).

В 2017 году наиболее точные измерения постоянной Больцмана были получены с помощью акустической газовой термометрии, которая определяет скорость звука одноатомного газа в трехосной эллипсоидной камере с помощью микроволнового и акустического резонансов. Эти десятилетние усилия были предприняты с использованием разных методов в нескольких лабораториях; это один из краеугольных камней переопределения базовых единиц СИ в 2019 году . Основываясь на этих измерениях, CODATA рекомендовал 1,380 649 × 10 −23 Дж⋅К −1 в качестве окончательного фиксированного значения постоянной Больцмана, которое будет использоваться в Международной системе единиц .

H-функция Больцмана

Величину

(8)

называют H-функцией
Больцмана для единицы объема, которая связана с вероятностью обнаружения
системы из молекул газа в данном состоянии. Каждому состоянию соответствуют
определенные числа заполнения шестимерных пространственно-скоростных ячеек, на
которые может быть разбито фазовое пространство рассматриваемых молекул.
Обозначим W вероятность того, что в первой ячейке рассматриваемого
пространства окажется N1 молекул, во второй N2 и т.д.

С точностью
до постоянной, определяющей начало отсчета вероятности, правомерно соотношение:

(9)

,

где  – H-функция области
пространства А, занятой газом. Из (9) видно, что W и H
взаимосвязаны, т.е. изменение вероятности состояния приводит к соответствующей
эволюции H функции.

Излучение тел

Каждое реальное тело излучает энергию в виде электромагнитных волн в окружающее пространство. При этом в соответствии с законом Стефана-Больцмана это излучение будет тем интенсивнее, чем выше температура тела. Если тело имеет невысокую температуру, например температуру окружающей среды, то излучаемая им энергия невелика и большая ее часть испускается в виде длинных электромагнитных волн (инфракрасное излучение). Увеличение температуры тела приводит не только к увеличению количества излучаемой энергии, но и к смещению спектра излучения в область более высоких частот. Именно поэтому цвет тела изменяется при его нагреве. Количество энергии, которое испускает тело, нагретое до некоторой конкретной температуры в определенном узком интервале частот, описывается законом Планка.

Количество и спектр излучаемой электромагнитной энергии зависят не только от температуры тела, но и от природы излучающей поверхности. Так, матовая или черная поверхность обладает большей излучающей способностью, чем светлая или блестящая. Это означает, что количество энергии, которое излучает раскаленная углеродная нить, больше, чем, например, нить из платины, нагретая до той же температуры. Закон Кирхгофа устанавливает, что если тело хорошо излучает энергию, значит, оно будет и хорошо ее поглощать. Таким образом, тела черного цвета являются хорошими поглотителями электромагнитного излучения.

Статистика Больцмана

Число
различных конфигураций системы из N частиц для
данного набора чисел ni (число
частиц, находящихся в i-том состоянии, которому
соответствует энергия ei) пропорционально величине:

(5)

Величина W есть число способов распределения N
частиц по энергетическим уровням. Если справедливо соотношение (6) то
считается, что исходная система подчиняется статистике Больцмана. Набор чисел ni, при котором число W
максимально, встречается наиболее часто и соответствует наиболее вероятному
распределению.

Физическая
кинетика
– микроскопическая теория процессов в статистически неравновесных
системах.

Описание
большого числа частиц может успешно осуществляться вероятностными методами. Для
одноатомного газа состояние совокупности молекул определяется их координатами и
значениями проекций скоростей на соответствующие координатные оси.
Математически это описывается функцией распределения, характеризующей
вероятность пребывания частицы в данном состоянии:

(6)

есть ожидаемое число молекул в
объеме dd,
координаты которых находятся в интервале от до +d, а скорости в интервале от  до +d.

Значение в разных единицах [ править ]

Значения k Единицы измерения
Комментарии
1,380 649 × 10 −23 ДжК СИ по определению, Дж / К = м 2 кг / (с 2 ⋅K) в основных единицах СИ
8,617 333 262 × 10 −5 эВ / К
2,083 661 912 × 10 10 Гц / К ( кч )
1,380 649 × 10 −16 эрг / К Система CGS , 1  эрг =1 × 10 −7  Дж
3,297 623 483 × 10 −24 кал / К калория =4.1868 Дж
1,832 013 046 × 10 −24 кал / ° R
5,657 302 466 × 10 -24 фут-фунт / ° R
0,695 034 800 см −1 / К ( k / ( hc ) )
0,001 985 875 ккал / ( моль ⋅K) ( кН А )
0,008 314 463 кДж / (моль⋅K) ( кН А )
-228,599 1672 дБ (Вт / К / Гц) 10 log 10 ( k / (1 Вт / K / Гц)) , используется для расчетов
теплового шума

Поскольку k является коэффициентом пропорциональности между температурой и энергией, его численное значение зависит от выбора единиц для энергии и температуры. Небольшое числовое значение постоянной Больцмана в единицах СИ означает, что изменение температуры на 1 К изменяет энергию частицы лишь на небольшую величину. Смена° C определяется как изменение1 К . Характеристическая энергия kT — это термин, встречающийся во многих физических соотношениях.

Постоянная Больцмана устанавливает связь между длиной волны и температурой (деление hck на длину волны дает температуру), причем один микрометр соответствует14 387 .777 K , а также взаимосвязь между напряжением и температурой (умножение напряжения на k в единицах эВ / K) с одним вольт, относящимся к11 604 0,518 К . Соотношение этих двух температур,14 387 .777 К11 604 0,518 K  ≈ 1,239842, это численное значение ЧК в единицах eV⋅μm.

Единицы Планка править

Постоянная Больцмана обеспечивает отображение этой характерной микроскопической энергии E на макроскопический температурный масштаб T =Ek. В физических исследованиях часто встречается другое определение, когда k равняется единице, что приводит к единицам Планка или естественным единицам для температуры и энергии. В этом контексте температура эффективно измеряется в единицах энергии, и постоянная Больцмана явно не требуется.

Тогда формула равнораспределения энергии, связанной с каждой классической степенью свободы, принимает вид

Edof=12T {\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T\ }

Использование натуральных единиц упрощает многие физические отношения; в этой форме определение термодинамической энтропии совпадает с формой информационной энтропии

S=−∑Piln⁡Pi.{\displaystyle S=-\sum P_{i}\ln P_{i}.}

где P i — вероятность каждого микросостояния .

Значение, выбранное для единицы планковской температуры , соответствует энергии планковской массы .

Способы нахождения постоянной Больцмана

Физика является интересной и многогранной наукой. Для решения поставленных задач часто используется постоянная Больцмана. Формула имеет свои особенности, но для изучения всех нюансов понадобится реальный эксперимент.

Для этого необходимо взять обычное зеркало и подвесить его в воздухе при помощи упругой нитки. Можно представить, что созданная система зеркало-воздух пребывает в стабильном состоянии, которое ещё называется статистическим равновесием.

Крошечные молекулы воздуха ударяют в поверхность зеркала, которое на практике ведёт себя как броуновская частица. С учётом подвешенного состояния во время эксперимента можно наблюдать вращательные колебания вокруг определённой оси, которая совпадает с вертикально направленной нитью.

После проделанных манипуляций нужно направить луч света на поверхность зеркала. Даже при минимальных поворотах и вращающихся движениях зеркала отражающийся луч будет существенно смещаться. Благодаря этому, есть возможность измерить вращательные колебания объекта.

Для обозначения модуля кручения нужно использовать большую букву Р. Момент инерции зеркала по отношению к основной оси вращения можно записать как В, а вот угол поворота зеркала — как Т. Недостатком этого примера можно считать то, что сила упругости стремится вернуть зеркало в равновесное положение.

Если умножить обе части на Т и проинтегрировать результат, то в итоге можно будет получить следующий результат: Р ≈ 10-15 Н * м; <Т> ≈ 4 ⋅ 10 −6. Если знать основы многогранного броуновского движения, то в итоге можно будет найти реальную постоянную при помощи измерения макропараметров.

Существующая энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую отдельную её степень. Это значит, что на каждую степень будет приходиться равная кинетическая энергия: <εi>=½kT.

Для правильного вычисления средней энергии принято использовать следующую элементарную формулу: <ε>=i/2kT, где i=m post +m υr +2m kol. Решение этой задачи выглядит следующим образом:

  • m post = 3, m υr = 3, а это значит, что m kol = 3N − 6;
  • i = 6 + 6N — 12 = 6N − 6;
  • <ε> = 6N − 6/2kT = (3N − 3) kT.