Релятивистская кинетическая энергия

Преобразования Галилея

Преобразования Галилея в классической механике – это преобразования координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Не будем приводить здесь всех вычислений и выводов, а просто запишем формулу для преобразования скорости. Согласно этой формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела в движущейся системе отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Приведенный нами выше принцип относительности Галилея является частным случаем принципа относительности Эйнштейна.

Принцип относительности Эйнштейна и постулаты СТО

В начале двадцатого века после более чем двухсотлетнего господства классической механики возник вопрос о распространении принципа относительности на немеханические явления. Причиной возникновения такого вопроса стало закономерное развитие физики, в частности оптики и электродинамики. Результаты многочисленных экспериментов то подтверждали справедливость формулировки принципа относительности Галилея для всех физических явлений, то в ряде случаев указывали на ошибочность преобразований Галилея.

Эйнштейн — человек, создавший специальную теорию относительности

Например, проверка формулы сложения скоростей показала ее ошибочность при скоростях, близких к скорости света. Более того, опыт Физо в 1881 году показал, что скорость света не зависит от скорости движения источника и наблюдателя, т.е. в любой системе отсчета остается постоянной. Данный результат эксперимента никак не укладывался в рамки классической механики.

Решение этой и других проблем нашел Альберт Эйнштейн. Для того чтобы теория сошлась с практикой, Эйнштейну пришлось отказаться от нескольких, казалось бы, очевидных истин классической механики. А именно — предположить, что расстояния и промежутки времени в различных системах отсчета не неизменны. Ниже приведем основные постулаты Специальной Теории Относительности (СТО) Эйнштейна:

Первый постулат: во всех инерциальных системах отсчета все физические явления протекают одинаково.  При переходе от одной системы к другой все законы природы и явления, описывающие их,  инвариантны, то есть никакими опытами нельзя отдать предпочтение одной из систем, ибо они инвариантны.

Второй постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от источника и наблюдателя, т.е. не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Преобразования координат и времени при переходе от неподвижной системы отсчета к системе, движущейся со скоростью света, называются преобразованиями Лоренца. К примеру, пусть одна система покоится, а вторая движется вдоль оси абсцисс.

Здесь

Как видим, время также изменяется наряду с координатами, то есть выступает как бы в роли четвертной координаты. Преобразования Лоренца показывают, что в СТО пространство и время неразделимы в отличие от классической механики.

Помните парадокс двух близнецов, один из которых ждал на земле, а второй летел на космическом корабле с очень большой скоростью? После того как брат-космонавт вернулся на землю, он застал своего брата стариком, хотя сам был практически так же молод, как в момент начала путешествия. Типичный пример того, как изменяется время в зависимости от системы отсчета.

Парадокс близнецов

При скоростях же много меньших скорости света преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Даже при скорости современных реактивных самолетов и ракет отклонения от законов классической механики настолько малы, что их практически невозможно измерить.

Обзор

Подобно кинетической энергии, релятивистский импульс увеличивается до бесконечности, когда приближается к скорости света.

В классической механике , кинетическая энергия и импульс выражаются в виде

E k знак равно 1 2 м v 2 , п знак равно м v . {\ displaystyle E_ {k} = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}, \ quad p = mv. \,}

С другой стороны, специальная теория относительности предсказывает, что скорость света постоянна во всех инерциальных системах отсчета . Релятивистское соотношение энергии и импульса гласит:

E 2 — ( п c ) 2 знак равно ( м c 2 ) 2 {\ Displaystyle E ^ {2} — (ПК) ^ {2} = (mc ^ {2}) ^ {2} \,} ,

из которых соотношение для энергии покоя , релятивистской энергии (отдых + кинетики) , кинетической энергии и импульса от массивных частиц следует:
E {\ displaystyle E_ {0}} E {\ displaystyle E} E k {\ displaystyle E_ {k}} п {\ displaystyle p}

E знак равно м c 2 , E знак равно γ м c 2 , E k знак равно ( γ — 1 ) м c 2 , п знак равно γ м v {\ Displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}, \ quad E = \ gamma mc ^ {2}, \ quad E_ {k} = (\ gamma -1) mc ^ {2}, \ quad p = \ гамма mv} ,

где . Таким образом, релятивистская энергия и импульс значительно увеличиваются со скоростью, поэтому скорость света не может быть достигнута массивными частицами. В некоторых учебниках по теории относительности также используется так называемая « релятивистская масса » . Однако многие авторы считают эту концепцию невыгодной, вместо этого для выражения зависимости скорости в теории относительности следует использовать выражения для релятивистской энергии и импульса, которые обеспечивают те же экспериментальные предсказания.
γ знак равно 1 1 — ( v c ) 2 {\ Displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} M знак равно γ м {\ Displaystyle М = \ гамма м \,}

Волны материи

Используя соотношения де Бройля для энергии и импульса для волн материи ,

Eзнак равноℏω,пзнак равноℏk,{\ Displaystyle Е = \ hbar \ омега \ ,, \ quad \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k} \ ,,}

где ω — угловая частота, а k — волновой вектор с величиной | k | = k , равное волновому числу , соотношение энергия – импульс можно выразить через волновые величины:

(ℏω)2знак равно(cℏk)2+(мc2)2,{\ displaystyle \ left (\ hbar \ omega \ right) ^ {2} = \ left (c \ hbar k \ right) ^ {2} + \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ { 2} \ ,,}

и прибрано, разделив на ( ħc ) 2 повсюду:

(ωc)2знак равноk2+(мcℏ)2.{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} = k ^ {2} + \ left ({\ frac {m_ {0} c} {\ hbar}} \ справа) ^ {2} \ ,.}

( 3 )

Это также можно получить из величины

Kзнак равно(ωc,k),{\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, \ mathbf {k} \ right) \ ,,}

так же, как и в случае с четырьмя импульсами выше.

Поскольку уменьшенная постоянная Планка ħ и скорость света c появляются и загромождают это уравнение, именно здесь естественные единицы особенно полезны. Нормируя их так, чтобы ħ = c = 1 , мы имеем:

ω2знак равноk2+м2.{\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} + m_ {0} ^ {2} \ ,.}

Прецизионные измерения

Три точки данных Rogers et al. , что соответствует специальной теории относительности.

В 1940 году Rogers et al. выполнил первый тест на отклонение электронов с достаточной точностью, чтобы однозначно исключить конкурирующие модели. Как и в экспериментах Бухерера-Неймана, были измерены скорость и отношение заряда к массе бета-частиц со скоростями до 0,75c. Однако они внесли много улучшений, включая использование счетчика Гейгера . Точность эксперимента, подтверждающего относительность, была в пределах 1%.

Еще более точный тест на отклонение электронов был проведен Meyer et al. (1963). Они протестировали электроны, движущиеся со скоростями от 0,987 до 0,99c, которые отклонялись в статическом однородном магнитном поле, с помощью которого измеряли p , и статическое цилиндрическое электрическое поле, с помощью которого измеряли. Они подтвердили относительность с верхним пределом отклонений ∼0,00037.
п 2 ( м γ ) {\ Displaystyle р ^ {2} / (м \ гамма)}

Также были проведены измерения отношения заряда к массе и, следовательно, импульса протонов . Гроув и Фокс (1953) измерили протоны с энергией 385 МэВ, движущиеся при ∼0,7c. Определение угловых частот и магнитного поля обеспечивало отношение заряда к массе. Это вместе с измерением магнитного центра позволило подтвердить релятивистское выражение для отношения заряда к массе с точностью ∼0,0006.

Однако Зрелов и др. (1958) подверг критике скудную информацию, представленную Гроувом и Фоксом, подчеркнув сложность таких измерений из-за сложного движения протонов. Поэтому они провели более обширные измерения, в которых использовались протоны с энергией 660 МэВ со средней скоростью 0,8112c. Импульс протона измерялся с помощью лицевой проволоки , а скорость определялась путем оценки излучения Черенкова . Они подтвердили относительность с верхним пределом отклонений ∼0.0041.

Рекомендации

дальнейшее чтение

Общая область применения и специальная / общая теория относительности
  • PM Уилан; MJ Hodgeson (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN   0-7195-3382-1 .
  • Г. Воан (2010). . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-57507-2 .
  • П.А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN   978-1-4292-0265-7 .
  • Р.Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ханс Варлимонт, Springer. ISBN   978-0-07-025734-4 .
  • Концепции современной физики (4-е издание), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN   0-07-100144-1
  • CB Parker (1994). (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN   0-07-051400-3 .
  • Т. Франкель (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-1-107-60260-1 .
  • Л. Х. Гринберг (1978). . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN   0-7216-4247-0 .
  • А. Халперн (1988). 3000 Решенных задач по физике, Серия Шаум . Мак Гроу Хилл. ISBN   978-0-07-025734-4 .
Электромагнетизм и специальная теория относительности
  • ГАГ Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN   0-7131-2459-8 .
  • IS Grant; WR Phillips; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN   978-0-471-92712-9 .
  • Ди-джей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN   978-81-7758-293-2 .
Классическая механика и специальная теория относительности
  • JR Forshaw; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Вайли. ISBN   978-0-470-01460-8 .
  • Д. Клеппнер; Р. Дж. Коленков (2010). Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-19821-9 .
  • LN Hand; Джей Ди Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-57572-0 .
  • П.Дж. О’Доннелл (2015). Существенная динамика и относительность . CRC Press. ISBN   978-1-4665-8839-4 .
Общая теория относительности
  • Д. МакМахон (2006). Относительность демистифицирована . Мак Гроу Хилл. ISBN   0-07-145545-0 .
  • Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . ISBN компании WH Freeman & Co.   0-7167-0344-0 .
  • Дж. А. Уиллер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция . Издательство Принстонского университета. ISBN   978-0-691-03323-5 .
  • RJA Lambourne (2010). Относительность, гравитация и космология . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-13138-4 .

1.16. Импульс тела window.top.document.title = «1.16. Импульс тела»;

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

Модель.
Импульс тела

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Рисунок 1.16.1.Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t)

Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F (t) остается практически неизменной. Импульс силы F (t) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале .

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:

В этом простом примере

В некоторых случаях среднюю силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10–3 с.

Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:

Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора

Рисунок 1.16.2.Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью после отскока мяч будет иметь скорость Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυx. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δpx > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.

Термины

  • Коэффициент Лоренца – фактор для определения степени временного замедления, сокращения длины и релятивистской массы перемещающегося объекта.
  • Классическая механика – все физические законы природы, характеризующие поведение обычного мира.
  • Специальная теория относительности: скорость света остается стабильной в любой системе отсчета.

Кинетическая энергия основывается на массе тела и скорости. Задается формулой: (m – масса, v – скорость тела).

Классическая кинетическая энергия связана с импульсом уравнением:

(р – импульс).

Если скорость объекта составляет примечательную часть световой, то для определения кинетической энергии нужно воспользоваться специальной теорией относительности. Здесь необходимо изменить выражение для линейного импульса. Формула:

p = mγv, где γ – коэффициент Лоренца:

Кинетическая энергия обладает связью с импульсом, поэтому релятивистское выражение отличается от классического:

Из формулы видно, что энергия объекта подходит к бесконечности, когда скорость приближается к световой. Поэтому нельзя ускорить объект на этой черте.

Математическим побочным результатом выступает уравнение эквивалентности массы-энергии. Тело в позиции покоя обязано обладать энергией:

Популярную связь между Эйнштейном, E = mc2 и атомной бомбой отобразили на обложке журнала

Eпокоя = E = mc2.

Общая формула для энергии объекта, не пребывающего в позиции покоя:

KE = mc2 — mc2 (m – релятивистская масса объекта, а m – масса объекта в состоянии покоя).

При низких скоростях релятивистская кинетическая энергия может аппроксимироваться классической. Это показывают на разложении Тейлора:

Eк ≈ mc2 (1 + 0.5 v2/с2) — mc2 = 0.5 mv2.

Выходит, что полную энергию можно поделить на энергию массы покоя с добавлением классический кинетической при небольших скоростных показателях.

Введение
  • Относительность Галилея-Ньютона
  • Постулаты Эйнштейна
  • Скорость света
Смысл специальной теории относительности
  • Одновременность
  • Дилатация времени
  • Эффекты дилатации времени: парадокс двойника
  • Сокращение длины
Релятивистские величины
  • Релятивистское добавление скоростей
  • Релятивистский импульс
  • Релятивистская энергия и масса
  • Материя и антиматерия
  • Релятивистская кинетическая энергия
Последствия специальной теории относительности
  • Сдвиг парадигмы в физике
  • Четырехмерное пространство и время
  • Релятивистская Вселенная

Релятивистская кинематика

Релятивистская четырехскорость, то есть четырехвектор, представляющий скорость в теории относительности, определяется следующим образом:

U знак равно d Икс d τ знак равно ( c d т d τ , d Икс d τ ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ mathbf {X}}}} {d \ tau}} = \ left ({\ frac {cdt} {d \ tau}}, {\ frac {d \ mathbf {x}} {d \ tau}} \ right)}

Выше указано собственное время пути в пространстве-времени , называемое мировой линией, за которым следует скорость объекта, представленная выше, и
τ {\ displaystyle {\ tau}}

Икс знак равно ( c т , Икс ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {X}}} = (ct, \ mathbf {x})}

это четыре-положения ; координаты события . Из-за замедления времени правильное время — это время между двумя событиями в системе отсчета, где они происходят в одном и том же месте. Собственное время связано с координатным временем t соотношением:

d τ d т знак равно 1 γ ( v ) {\ displaystyle {\ frac {d \ tau} {dt}} = {\ frac {1} {\ gamma (\ mathbf {v})}}}

где — фактор Лоренца :
γ ( v ) {\ Displaystyle {\ gamma} (\ mathbf {v})}

γ ( v ) знак равно 1 1 — v ⋅ v c 2 ⇌ γ ( v ) знак равно 1 1 — ( v c ) 2 . {\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {v}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} / c ^ {2}}}} \, \ rightleftharpoons \, \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}.}.

(можно цитировать любую версию), поэтому следует:

U знак равно γ ( v ) ( c , v ) {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = \ гамма (\ mathbf {v}) (с, \ mathbf {v})}

Первые три члена, за исключением фактора , представляют собой скорость, видимую наблюдателем в его собственной системе отсчета. Определяются скоростью между опорным кадром наблюдателя и кадром объекта, который является кадром , в котором измеряется его надлежащее время. Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, поэтому, чтобы проверить, что видит наблюдатель в другой системе отсчета, нужно просто умножить четырехвектор скорости на матрицу преобразования Лоренца между двумя системами отсчета.
γ ( v ) {\ Displaystyle {\ гамма (\ mathbf {v})}} γ ( v ) {\ Displaystyle {\ гамма (\ mathbf {v})}} v {\ displaystyle \ mathbf {v}}

Основные принципы СТО

Таким образом, на границе XIX и XX веков в развитии физики возник серьезный кризис. Выход нашел А.Эйнштейн, отказавшись, как это часто случается в случае величайших открытий, от классического видения. В данном случае, речь шла о классических представлениях о пространстве и времени. Важнейшим шагом здесь стал иной взгляд на понятие абсолютного времени, которое использовалось в классической физике. Привычные представления, казавшиеся логичными и очевидными, по факту показали свою несостоятельность. Множество понятий и величин, в нерелятивистской физике считавшихся абсолютными или не имеющими зависимости от системы отсчета, в теории относительности оказались переведенными в разряд относительных.

Основой специальной теории относительности являются принципы или постулаты, которые Эйнштейн сформулировал в 1905 году.

Определение 3

Принципы СТО:

  1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Данный принцип означает единство формы физических законов (не только механических) во всех инерциальных системах.
    Т.е. принцип относительности классической механики является обобщенным для всех процессов природы, в частности, электромагнитных. Такой обобщенный принцип носит название принципа относительности Эйнштейна.
  2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не имеет зависимости от того, с какой скоростью движется источник света или наблюдатель, и является одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в теории относительности находится на особом положении. Скорость света есть предельная скорость, с которой передаются взаимодействия и сигналы из одной точки пространства в другую.

Указанные принципы необходимо расценивать в качестве обобщения всей совокупности экспериментальных фактов. Выводы и следствия из теории, основанной на данных принципах, получили подтверждение в ходе огромного количества опытных проверок. Специальная теория относительности дала возможность найти ответы на все вопросы «доэйнштейновской» физики и дать объяснение противоречивым результатам уже имеющихся тогда опытов в области электродинамики и оптики. Впоследствии теория относительности получила подкрепление в виде экспериментальных данных, которые были получены в процессе изучения движения быстрых частиц в ускорителях, атомных процессов, ядерных реакций и т. п.

Постулаты теории относительности явно противоречат классическим представлениям. Проведем такой мысленный эксперимент: в момент времени t=, в который существует совпадение координатных осей двух инерциальных систем K и K’, в общем начале координат произошла кратковременная вспышка света. За время t системы будут смещены относительно друг друга на расстояние vt, а сферический волновой фронт в каждой системе будет обладать радиусом ct (рис. 4.1.3), поскольку системы являются равноправными, и в каждой из них скорость света равна c.

Рисунок 4.1.3. Кажущееся противоречие постулатов СТО.

С позиции наблюдателя в системе K центр сферы расположен в точке O, а с позиции наблюдателя в системе K’ центр размещается в O’. Таким образом, получается, что центр сферического фронта одномоментно расположен в двух разных точках!

Причиной подобного недоразумения является не противоречие между двумя постулатами теории относительности, а допущение факта, что положение фронтов сферических волн для обеих систем имеет отношение к одному и тому же моменту времени. Такое допущение содержится в формулах преобразования Галилея, в соответствии с которыми время в обеих системах течет одинаково: t=t’. Таким образом, принципы Эйнштейна противоречат не друг другу, а формулам преобразования Галилея, и в таком случае на смену галилеевых преобразований теория относительности записала иные формулы преобразования при переходе из одной инерциальной системы в другую, получившие название преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца при скоростях движения, приближенных к скорости света, дают возможность дать объяснение всем релятивистским эффектам, а при малых скоростях (υ<<c) переходят в формулы преобразования Галилея. Итак, новая теория (специальная теория относительности или СТО) не отвергает прежнюю классическую механику Ньютона, а лишь уточняет пределы ее применения. Эта взаимосвязь между прежней и новой, более общей теорией, частью которой является прежняя в качестве предельного случая, получила название принципа соответствия.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Кинетическая энергия в релятивистской механике


Сравнение релятивистской и классической кинетической энергии

В релятивистской физике вышеупомянутая зависимость кинетической энергии от скорости применима только приблизительно к скоростям, которые значительно ниже скорости света . Из предположения, что кинетическая энергия — это разница между полной энергией и энергией покоя , следует:
Э.kяп{\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}}}

Э.kяпзнак равноγмc2-мc2знак равно(γ-1)мc2{\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = \ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}}

Здесь скорость света, масса и фактор Лоренцаc{\ displaystyle c}м{\ displaystyle m}γ{\ displaystyle \ gamma}

γзнак равно11-(vc)2.{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}.}

Разложение в ряд Тейлора , согласно дает
vc{\ displaystyle v / c}

Э.kяпзнак равно12мv2+38-емv4-йc2+⋯{\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {mv ^ {4}} { с ^ {2}}} + \ cdots},

таким образом, снова для ньютоновской кинетической энергии.
v≪c{\ displaystyle v \ ll c}

Поскольку энергия должна вырасти сверх всех пределов, если скорость пойдет против скорости света, невозможно разогнать нагруженное массой тело до скорости света.
Limv→cЭ.kяпзнак равно∞,{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} E _ {\ mathrm {kin}} = \ infty,}

На диаграмме справа показана релятивистская и ньютоновская кинетическая энергия как функция скорости (измеренная в кратных скорости света) для тела массой .
мзнак равно1kграмм{\ Displaystyle м = 1 \, \ mathrm {кг}}

Поскольку скорость движущегося тела зависит от системы отсчета, это также относится к его кинетической энергии. Это верно как для ньютоновской, так и для релятивистской физики.

Примеры применения

Основная статья : Тесты релятивистской связи энергии-импульса

Релятивистская скорость электрона после прохождения через электрическое поле

В электрическом поле энергия электрона, имеющего заряд и массу, линейно увеличивается с проходящим через него ускоряющим напряжением . Кинетическая энергия теперь равна разнице между релятивистской полной энергией и энергией покоя . Итак, кинетическая энергия равна:
е{\ displaystyle e}м{\ displaystyle m}U{\ displaystyle U}Э.{\ displaystyle E}Э.{\ displaystyle E}еU{\ displaystyle eU}

е⋅Uзнак равноЭ.-Э.{\ Displaystyle е \ cdot U = E-E_ {0}}

Обратите внимание, что для полной энергии

Э.2знак равноc2п2+Э.2(*){\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} p ^ {2} + E_ {0} ^ {2} \ quad (*)}

применяется ( : релятивистский импульс) и соотношение между импульсом и полной энергией
п{\ displaystyle p}

cпзнак равноЭ.⋅vc{\ displaystyle cp = E \ cdot {\ frac {v} {c}}}

состоит, для полной энергии следует из :
(*){\ displaystyle (*)}

Э.(v)знак равноЭ.1-v2c2{\ displaystyle E (v) = {\ frac {E_ {0}} {\ sqrt {1 — {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

Если вы теперь вычислите разницу от и , установите выражение равным и решите для , вы, наконец, получите:
Э.(v){\ Displaystyle E (v)}Э.{\ displaystyle E_ {0}}е⋅U{\ Displaystyle е \ cdot U}v{\ displaystyle v}

vзнак равноc⋅1-(11+еUЭ.)2{\ displaystyle v = c \ cdot {\ sqrt {1 — {\ left ({\ frac {1} {1 + {\ frac {eU} {E_ {0}}}}} \ right)} ^ {2} }}} с энергией покоя электрона Э.знак равно,51М.еV{\ displaystyle E_ {0} = 0 {,} 51 ​​\, \ mathrm {МэВ}}

При ускоряющих напряжениях ниже 1 кВ скорость может быть оценена из классического подхода для кинетической энергии; при более высоких энергиях необходимо проводить релятивистские расчеты. При напряжении 10 кВ электроны достигают скорости почти 20% скорости света, при 1 МВ 94%.

Большой адронный коллайдер поставляет протоны с кинетической энергией 6,5 ТэВ. Эта энергия примерно в 8 тысяч раз больше, чем энергия покоя протона. В случае столкновения протонов с противоположным ускорением могут возникнуть частицы с соответственно высокой энергией покоя.

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

Самым важным выводом СТО является закон пропорциональности массы и энергии. Они обладают различными свойствами материи. Масса тела говорит о его инертности или способности вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами

Важное свойство энергии – это способность превращения из одной формы в другую во время различных физических процессов, что подтверждает закон сохранения энергии

Определение 7

Масса и энергия пропорциональны и выражают внутреннюю сущность материи.

Получаем, что формула Эйнштейна E=mc2 выражает фундаментальный закон природы, называемый законом взаимосвязи массы и энергии.

Если скомбинировать выражения p→=mν→1-ν2c2=mν→1-β2 и E=mc21-ν2c2, то придем к связывающему их соотношению.

Для этого следует переписать эти формулы в упрощенном виде

p2mc2=ν2c21-ν2c2,

Emc22=11-ν2c2.

После почленного вычитания получаем E2=mc22+pc2.

Следовательно, что для покоящихся частиц энергия фиксируется как E=E=mc2.

Определение 8

Исходя из соотношения становится понятно, что частица может обладать энергией и импульсом, но не иметь массы, то есть m=. Она получила название безмассовой. Для нее используется формула связи энергии и импульса в виде E=pc.

Определение 9

К частицам, которые не имеют массы, относят фотоны, называемые квантами электромагнитного излучения, и нейтрино. Существование безмассовых частиц в покое невозможно, поэтому их движение характеризуется предельной скоростью с.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Релятивистская механика

Механика, учитывающая преобразования Лоренца,  и называется релятивистской.

В рамках релятивистской механики меняются формулировки некоторых физических величин. Например, импульс тела в релятивистской механике в соответствии с преобразованиями Лоренца может быть записан так:

Соответственно, второй закон Ньютона в релятивистской механике будет иметь вид:

А полная релятивистская энергия тела в релятивистской механике равна

Если тело покоится и скорость равна нулю, данная формула преобразуется в знаменитую

Формула энергии покоя тела

Данная формула, которую, кажется, знают все, показывает, что масса является мерой полной энергии тела, а также иллюстрирует принципиальную возможность перехода энергии вещества в энергию излучения.

Дорогие друзья, на этой торжественной ноте мы закончим наш сегодняшний обзор релятивистской механики. Мы рассмотрели принцип относительности Галилея и Эйнштейна, а также некоторые основные формулы релятивистской механики. Самым стойким и дочитавшим статью до конца напоминаем – в мире нет «нерешабельных» задач и проблем, которые невозможно решить. Паниковать и переживать из-за незаконченной курсовой нет никакого смысла. Просто вспомните о масштабах Вселенной, вздохните полной грудью и поручите выполнение настоящим профессионалам своего дела – авторам компании Zaochnik.

Особые случаи

Система отсчета центра импульса (одна частица)

Для тела в системе покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до

Eзнак равномc2,{\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2} \ ,,}

где m — масса покоя тела.

Безмассовые частицы

Если объект безмассовый, как в случае фотона , то уравнение сводится к

Eзнак равнопc.{\ displaystyle E = pc \ ,.}

Это полезное упрощение. Его можно переписать другими способами, используя соотношения де Бройля :

Eзнак равночасcλзнак равноℏck.{\ displaystyle E = {\ frac {hc} {\ lambda}} = \ hbar ck \ ,.}

если задана длина волны λ или волновое число k .

Принцип соответствия

Перепишем соотношение для массивных частиц как:

Eзнак равномc21+(пмc)2,{\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2}}} \ ,,}

и расширяясь в степенной ряд по биномиальной теореме (или ряду Тейлора ):

Eзнак равномc21+12(пмc)2-18(пмc)4+⋯,{\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} \ left \ ,,}

в пределе uc имеем γ ( u ) ≈ 1, так что импульс имеет классический вид pm u , затем в первом порядке по (пм в)2(т.е. сохранить термин (пм в)2 пдля n = 1 и пренебречь всеми членами при n ≥ 2 ) имеем

E≈мc21+12(мтымc)2,{\ displaystyle E \ приблизительно m_ {0} c ^ {2} \ left \ ,,}

или

E≈мc2+12мты2,{\ displaystyle E \ приблизительно m_ {0} c ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {0} u ^ {2} \ ,,}

где второй член — это классическая кинетическая энергия , а первый — масса покоя частицы. Это приближение неприменимо для безмассовых частиц, поскольку для расширения требовалось деление количества движения на массу. Между прочим, в классической механике нет безмассовых частиц.