Как найти координаты точки?

Геодезическая система координат

Данные, которые должны быть привязаны к определённому месту на земной поверхности, играют важную роль в различных сферах человеческой деятельности. 

Вот несколько примеров:

• при создании карт во время проведения топографической съёмки для отображения расположения предметов и их высот;

• для решения различных задач в навигации;

• при использовании спутниковых навигационных систем.

СК строится следующим образом:

1. Проводится плоскость через экватор (экваториальная).

2. Перпендикулярно ей рассматривается такая, которая проходит через нулевой меридиан.

3. Фиксируется расположение центра земли и полюсов.

Чтобы определить положение точки на Земле, к ней проводят отрезок, который перпендикулярен этому участку Земли. Обычно он отличается от того, который соединяется с центром планеты.

Строится сечение, проходящее через нормаль и полюса. Определяется угол, который она образует с проходящим через начальный геодезический меридиан. Таким образом определяется геодезический меридиан объекта.

Определяется ещё одно сечение, содержащее нормаль и оба полюса планеты. Здесь определяется линия пересечения с экваториальной. Теперь осталось определить угол между этой линией и нормалью, который равняется параллели этого места.

Цилиндрические и сферические координаты.

В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки \(O\), луча \(l\), исходящего из \(O\), и вектора \(\boldsymbol{n}\), равного по длине 1 и перпендикулярного к \(l\). Через точку \(O\) проведем плоскость \(\Theta\), перпендикулярную вектору \(\boldsymbol{n}\). Луч \(l\) лежит в этой плоскости.

Пусть дана точка \(M\). Опустим из нее перпендикуляр \(MM’\) на плоскость \(\Theta\).

Цилиндрические координаты точки \(M\) — это три числа \(r\), \(\varphi\), \(h\). Числа \(r\) и \(\varphi\) — полярные координаты точки \(M’\) по отношению к полюсу \(O\) и полярной оси \(l\), a \(h\) — компонента вектора \(\overrightarrow{M’M}\) по вектору \(\boldsymbol{n}\). Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Сферические координаты точки — три числа (\(r\), \(\varphi\), \(\theta\)). Они определяются так: \(r = |\overrightarrow{OM}|\). Как и для цилиндрических координат, \(\varphi\) — угол вектора \(\overrightarrow{OM_{1}}\) с лучом \(l\), а \(\theta\) — угол вектора \(\overrightarrow{OM}\) с плоскостью \(\Theta\) (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Пространство Отсечения

После завершения работы вершинных шейдеров, OpenGL ожидает, что все координаты будут в определенном диапазоне, а всё что выходит за его границы будет отсечено. Отсеченные координаты отбрасываются, а оставшиеся становятся фрагментами, видимыми на экране. Вот откуда пространство отсечения получило своё название.

Задавать все видимые координаты значениями из диапазона на самом деле интуитивно непонятно, поэтому для работы мы определяем свой собственный набор координат и потом преобразовываем их обратно в NDC, как того ожидает OpenGL.

Для преобразования координат из пространства вида в пространство отсечения мы задаем так называемую матрицу проекции, которая определяет диапазон координат, например от -1000 до 1000 по каждой оси. Матрица проекции трансформирует координаты этого диапазона в нормализованные координаты устройства (-1.0, 1.0). Все координаты вне заданного нами промежутка не попадут в область , и, следовательно, будут отсечены. В том диапазоне, который мы задали матрицей проекции, координата (1250, 500, 750) не будет видна, так как её X-компонента выходит за границу, поэтому будет сконвертирована в значение, превышающее 1.0 в NDC, и, следовательно, вершина подвергнется отсечению.

Этот объем просмотра, задаваемый матрицей проекции, называется усечённой пирамидой (frustum) и каждая координата попадающая в эту пирамиду окажется и на экране пользователя. Весь процесс конвертации координат определенного диапазона в нормализованные координаты устройства (NDC), которые могут с легкостью отображены в двумерные координаты пространства вида, называется проецирование, так как матрица проекции проецирует 3D координаты на простые-для-преобразования-в-2D нормализованные координаты устройства.

Как только координаты всех вершин будут переведены в пространство отсечения, выполняется заключительная операция, называемая перспективное деление. В ней мы делим x,y и z компоненты вектора позиции вершины на гомогенную компоненту вектора w. Перспективное деление преобразует 4D координаты пространства отсечения в трехмерные нормализованные координаты устройства. Этот шаг выполняется автоматически после завершения работы каждого вершинного шейдера.

Именно после этого этапа, полученные координаты (используя установки glViewport) отображаются на координаты экрана и превращаются во фрагменты.

Матрица проекции преобразующая координаты вида в координаты отсечения может принимать две различных формы, и каждая форма определяет свою особенную усеченную пирамиду. Мы можем создать ортографическую матрицу проекции или перспективную.

Приложения

Декартовы координаты — это абстракция, у которой есть множество возможных применений в реальном мире. Однако при наложении координат на проблемное приложение используются три конструктивных шага. 1) Единицы измерения расстояния должны быть определены, определяя пространственный размер, представленный числами, используемыми в качестве координат. 2) Начало координат должно быть присвоено определенному пространственному положению или ориентиру, и 3) ориентация осей должна быть определена с использованием доступных ориентиров для всех осей, кроме одной.

Рассмотрим в качестве примера наложение трехмерных декартовых координат на все точки на Земле (то есть геопространственное трехмерное изображение). Километры — хороший выбор единиц измерения, поскольку первоначальное определение километра было геопространственным, где 10 000 км равнялись расстоянию от экватора до Северного полюса на поверхности. Основываясь на симметрии, гравитационный центр Земли предполагает естественное расположение источника (которое можно определить по спутниковым орбитам). Ось вращения Земли обеспечивает естественную ориентацию осей X , Y и Z , тесно связанную с « верхом и низом», поэтому положительный Z может принимать направление от геоцентра к Северному полюсу. Местоположение на экваторе необходимо для определения оси X , а нулевой меридиан выделяется как опорная ориентация, поэтому ось X принимает ориентацию от геоцентра до 0 градусов долготы и 0 градусов широты

Обратите внимание, что при трех измерениях и двух ориентациях перпендикулярных осей, закрепленных для X и Z , ось Y определяется первыми двумя вариантами. Чтобы подчиняться правилу правой руки, ось Y должна указывать от геоцентра на 90 градусов долготы и 0 градусов широты

Исходя из долготы -73,985656 градусов, широты 40,748433 градуса и радиуса Земли 40 000 / 2π км и преобразования сферических координат в декартовы, можно оценить геоцентрические координаты Эмпайр-стейт-билдинг, ( x , y , z ) = (1330,53 км, –4635,75 км, 4155,46 км). GPS-навигация полагается на такие геоцентрические координаты.

В инженерных проектах решающее значение имеет согласование определения координат. Нельзя предполагать, что координаты предопределены для нового приложения, поэтому знание того, как построить систему координат там, где раньше не было такой системы координат, необходимо для применения мышления Рене Декарта.

В то время как пространственные приложения используют одинаковые единицы измерения по всем осям, в деловых и научных приложениях каждая ось может иметь разные единицы измерения, связанные с ней (например, килограммы, секунды, фунты и т. Д.). Хотя четырехмерные и многомерные пространства трудно визуализировать, алгебру декартовых координат можно относительно легко расширить до четырех или более переменных, так что могут быть выполнены определенные вычисления с участием многих переменных. (Этот вид алгебраического расширения используется для определения геометрии многомерных пространств.) И наоборот, часто бывает полезно использовать геометрию декартовых координат в двух или трех измерениях для визуализации алгебраических отношений между двумя или тремя из многих не -пространственные переменные.

График функции или отношения есть множество всех точек , удовлетворяющих эту функцию или отношение. Для функции одной переменной f — множество всех точек ( x , y ) , где y = f ( x ) — график функции f . Для функции g двух переменных, множество всех точек ( x , y , z ) , где z = g ( x , y ) — график функции g . Набросок графика такой функции или отношения будет состоять из всех основных частей функции или отношения, которые будут включать ее относительные экстремумы , ее вогнутость и точки перегиба , любые точки разрыва и ее конечное поведение. Все эти термины более полно определены в исчислении. Такие графики полезны в исчислении, чтобы понять природу и поведение функции или отношения.

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Правила координат:

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Общие системы координат

Числовая строка

Простейшим примером системы координат является идентификация точек на прямой с действительными числами с помощью числовой прямой . В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка O (начало координат ). Координата точки P определяется как расстояние со знаком от O до P , где расстояние со знаком — это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное в зависимости от того, с какой стороны лежит линия P. Каждой точке дается уникальная координата, и каждое действительное число является координатой уникальной точки.

Декартова система координат

Декартова система координат на плоскости.

Типичным примером системы координат является декартова система координат . На плоскости выбираются две перпендикулярные линии, и координаты точки принимаются в качестве расстояний до линий со знаком.

В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, и три координаты точки являются расстояниями со знаком до каждой из плоскостей. Это можно обобщить, чтобы создать n координат для любой точки n- мерного евклидова пространства.

В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней. Это одна из многих систем координат.

Полярная система координат

Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат . В качестве полюса выбирается точка, а луч из этой точки берется за полярную ось . Для заданного угла θ через полюс проходит одна линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси к прямой). Тогда на этой прямой есть единственная точка, расстояние со знаком которой от начала координат равно r для данного числа r . Для данной пары координат ( r , θ) существует одна точка, но любая точка представлена ​​множеством пар координат. Например, ( r , θ), ( r , θ + 2π) и (- r , θ + π) — все полярные координаты для одной и той же точки. Полюс представлен как (0, θ) для любого значения θ.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Цилиндрическая система координат

Есть два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. В системе цилиндрических координат , A г координата с тем же значением , как и в декартовой системе координат добавляется к г и & thetas ; в полярных координатах , давая тройную ( г ,  & thetas ,  г ). Сферические координаты делают еще один шаг вперед, преобразовывая пару цилиндрических координат ( r ,  z ) в полярные координаты ( ρ ,  φ ), давая тройку ( ρ ,  θ ,  φ ).

Однородная система координат

Точка на плоскости может быть представлена ​​в однородных координатах тройкой ( x ,  y ,  z ), где x / z и y / z — декартовы координаты точки. Это вводит «дополнительную» координату, поскольку для задания точки на плоскости нужны только две, но эта система полезна тем, что представляет любую точку на проективной плоскости без использования бесконечности . В общем, однородная система координат — это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.

Другие часто используемые системы

Вот некоторые другие распространенные системы координат:

• Криволинейные координаты — это обобщение систем координат в целом; система основана на пересечении кривых.
  • Ортогональные координаты : координатные поверхности пересекаются под прямым углом
  • Наклонные координаты : координатные поверхности не ортогональны
• Лог-полярная система координат представляет собой точку в плоскости по логарифму расстояния от начала координат и углом , измеренного от базисной линии , пересекающего начала координат.
• Координаты Плюккера — это способ представления линий в трехмерном евклидовом пространстве с использованием набора из шести чисел в качестве однородных координат .
• Обобщенные координаты используются в лагранжевой трактовке механики.
• Канонические координаты используются в гамильтоновой трактовке механики.
• Барицентрическая система координат, используемая для троичных графиков и в более общем плане при анализе треугольников .
• В контексте треугольников используются трилинейные координаты .

Существуют способы описания кривых без координат с использованием внутренних уравнений , в которых используются инвариантные величины, такие как кривизна и длина дуги . К ним относятся:

• Уравнение Уэвелла связывает длину дуги и тангенциальный угол .
• Уравнение Чезаро связывает длину дуги и кривизну.

Точность картографических проекций¶

Картографические проекции никогда не дают абсолютно точное отображение сферической поверхности. В результате проецирования, карта получает искажения углов, площадей и расстояний. Проекции могут давать как несколько типов искажений, так и достаточно приемлемый результат, в котором искажения углов, площадей и расстояний находятся в допустимых пределах. Примером таких компромиссных проекций могут служить тройная проекция Винкеля и проекция Робинсона, часто используемые для карт мира (см. рисунок ).

Figure Robinson Projection 1:

Проекция Робинсона дает приемлемые искажения площади, расстояний и углов.

В большинстве случаев сохранить все характеристики исходных объектов при проецировании невозможно. Это значит, что когда вам требуется выполнить анализ, необходимо подбирать такую проекцию, которая даст наилучшие характеристики для анализа. Например, если требуется измерить расстояния, необходимо выбрать проекцию, которая обеспечит точные расстояния.

Равноугольные проекции

Когда мы работаем с глобусом, основные направления компаса (север, восток, юг и запад) всегда расположены под углом в 90 градусов друг к другу. Другими словами восток всегда будет находиться на 90 градусов от севера. Проекция может сохранять угловые направления, и такая проекция называется конморфной или равноугольной.

Проекции, сохраняющие угловые величины, очень важны. Они широко используются для навигационных и метеорологических задач. Необходимо помнить, что сохранять правильные углы на карте большой площади трудно, поэтому применять такие проекции лучше к небольшим участкам поверхности. Конформные проекции искажают площади, а значит измерения площадей, выполненные в такой проекции будут неправильными. Чем больше площадь, тем менее точными будут измерения. Примерами проекций могут служить проекция Меркатора (см. рисунок ) и равноугольная коническая проекция Ламберта. Геоологическая служба США использует конформные проекции для многих своих топографических карт.

Figure Mercator Projection 1:

Проекция Меркатора используется в тех случаях, когда важна правильность углов и допустимы искажения площади.

Равнопромежуточные проекции

Если необходимо получить точные расстояния, то для карты выбирается проекция, хорошо передающая расстояния. Такие проекции, их называют равнопромежуточными, требуют, чтобы масштаб карты был неизменным. Карта будет равновеликой, когда она правильно передает расстояние от центра проекции до любой точки. Равнопромежуточные проекции обеспечивают точные расстояни от центра проекции или заданой линии. Такие проекции используются для сейсмических карт, а также для навигации. Хорошим примером равнопромежуточных проекций могут быть равнопромежуточная цилиндрическая Плате-Карре (см. рисунок ) и цилиндрическая равнопромежуточная. На эмблеме ООН испльзуется азимутальная равнопромежуточная проекция (см. рисунок ).

Figure Plate Carree Projection 1:

Равнопромежуточная цилиндрическая проекция Плате-Карре используется, когда необходимо получить точные расстояния.

Figure Azimuthal Equidistant Projection 1:

Логотип ООН использует азимутальную равнопромежуточную проекцию.

Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)¶

Точкой отсчёта Универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) является экватор и начальный меридиан. В северном полушарии значения широты Y увеличиваются на север, а значения долготы X увеличиваются на восток. UTM является мировой картографической проекцией. Это значит, что она используется для всего Земного шара. Но, как описано выше в разделе ‘точность картографических проекций’, чем больше территория, тем больше величины искажений: направлений, расстояний и площадей. Для минимизации искажений, поверхность Земного шара разделена на 60 равных зон через 6 градусов долготы с запада на восток. Зоны UTM ** пронумерованы **от 1 до 60, начиная с линии перемены дат (зона 1 от 0 градусов западной долготы) и далее на восток — обратно к линии перемены дат (зона 60 до 180 градуса восточной долготы) как показано на рисунке .

Figure UTM Zones 1:

Зоны Универсальной поперечной проекции Меркатора. Для Южной Африки используются зоны UTM: 33S, 34S, 35S, и 36S.

Как видно на рисунках и , Южная Африка покрыта четырьмя зонами UTM, что позволяет минимизировать искажения. Зоны называются UTM 33S, UTM 34S, UTM 35S и UTM 36S. S после номера зоны означает, что зоны расположены в южном полушарии — к югу от экватора.

Figure UTM for South Africa 1:

Зоны UTM 33S, 34S, 35S и 36S с центральными меридианами используются для высокоточного проецирования территории Южной Африки. Красный крест показывает Зону интереса (Area of Interest — AOI).

Например, мы хотим получить координаты Точки интереса (AOI) отмеченной красным крестом на рисунке . Как видно на рисунке, точка находится внутри UTM зоны 35S. Это значит, что для минимизации искажений и получения точных данных измерений, мы должны использовать UTM зона 35S в качестве системы координат.

Местоположение в координатах UTM в южном полушарии должно обозначаться номером зоны (35) и значением широты (координаты y) и значением долготы (координаты x) в метрах. Координата y — расстояние от экватора до точки в метрах. Координата x — расстояние от центрального меридиана (долготы) используемой зоны UTM. Для UTM зоны 35S это 27 градусов восточной долготы, как показано на рисунке . Кроме того, поскольку точка расположена в южном полушарии и в системе координат UTM недопустимы отрицательные значения, необходимо добавлять так называемый сдвиг на север в 10,000,000 метров к координате y и сдвиг на восток в 500,000 метров к координате х. Это звучит сложно, поэтому рассмотрим пример того, как определить корректные координаты в UTM 35S для точки интереса.

Значение широты (координата y)

Рассматриваемое нами место находится в 3,550,000 метрах к югу от экватора, поэтому координата у получает отрицательное значение и составляет -3,550,000 метров. В соответствии с описанием системы координат UTM мы добавляем сдвиг на север в 10,000,000 метров. Это значит, что координата у составляет 6,450,000 метров (-3,550,000 м + 10,000,000 м).

Подробнее о проекциях¶

Традиционным способом отображения формы Земли являются глобусы. Однако использование этого подхода имеет свои недостатки. Хотя глобусы по большому счету сохраняют форму Земли и иллюстрируют пространственную конфигурацию объектов размером с континент, их весьма проблематично носить в кармане. Кроме того, они удобны в использовании исключительно при малых масштабах (например 1:100 миллионам).

Большинство тематических карт, используемых в ГИС-приложениях, имеют гораздо больший масштаб. Обычно, наборы ГИС-данных имеют масштаб 1:250 000 или больше, в зависимости от уровня детализации. Глобус таких размеров будет дорогим и его использование будет очень сложным. Поэтому картографы разработали набор приемов, называемых проекциями карты, предназначенный для отображения сферической поверности Земли в двумерном пространстве с достаточной точностью.

Прямоугольные координаты

Геоцентрические экваториальные координаты

Геоцентрические экваториальные координаты. Происхождения является центром Земли . Основная плоскость — это плоскость экватора Земли. Основное направление ( ось x ) — весеннее равноденствие . Правша конвенция задает у оси 90 ° на восток в основной плоскости; г ось является северной полярной осью. Система отсчета не вращается вместе с Землей, скорее, Земля вращается вокруг оси z .

Существует ряд прямоугольных вариантов экваториальных координат. У всех есть:

• Происхождения в центре Земли .
• Основная плоскость в плоскости экватора Земли.
• Первичное направление ( ось x ) к точке весеннего равноденствия , то есть к месту, где Солнце пересекает небесный экватор в северном направлении в своем годовом видимом круге вокруг эклиптики .
• Правой рукой конвенции, указав у оси на 90 ° на восток в основной плоскости и г осью вдоль северной полярной оси.

Системы отсчета не вращаются вместе с Землей (в отличие от земно-центрированных, фиксированных на Земле ), оставаясь всегда направленными в сторону равноденствия и дрейфуя во времени с движениями прецессии и нутации .

• В астрономии :
  • Положение Солнца часто определяется в геоцентрической экваториальной прямоугольных координат X , Y , Z и координировать четвертое расстояние, R (= √ Х 2 + Y 2 + Z 2 ) , в единицах астрономической единицы .
  • Положения планет и других тел Солнечной системы часто задаются в геоцентрических экваториальных прямоугольных координатах ξ , η , ζ и четвертой координате расстояния Δ (равной √ ξ 2 + η 2 + ζ 2 ) в астрономических единицах. единица .Эти прямоугольные координаты связаны с соответствующими сферическими координатами соотношением
    

    Иксрзнак равноξΔзнак равнопотому что⁡δпотому что⁡αYрзнак равноηΔзнак равнопотому что⁡δгрех⁡αZрзнак равноζΔзнак равногрех⁡δ{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {X} {R}} = {\ frac {\ xi} {\ mathit {\ Delta}}} & = \ cos \ delta \ cos \ alpha \\ {\ frac {Y} {R}} = {\ frac {\ eta} {\ mathit {\ Delta}}} & = \ cos \ delta \ sin \ alpha \\ {\ frac {Z} {R}} = {\ frac {\ zeta} {\ mathit {\ Delta}}} & = \ sin \ delta \ end {выравнивается}}}

• В астродинамике :
  • Положение искусственных спутников Земли указывается в геоцентрических экваториальных координатах, также известных как геоцентрическая экваториальная инерциальная система (GEI) , геоцентрическая инерциальная система (ECI) и традиционная инерциальная система (CIS) , которые по определению эквивалентны астрономической геоцентрической системе. экваториальные прямоугольные рамки, вверху. В геоцентрической экваториальной системе отсчета оси x , y и z часто обозначаются как I , J и K , соответственно, или базис системы определяется единичными векторами Î , Ĵ и K̂ .
  • Геоцентрическая Небесные опорная система (GCRF) является геоцентрическим эквивалентом Международного Небесной референцным (ICRF). Ее основное направление является равноденствием из J2000.0 , и не двигается с прецессией и нутацией , но в противном случае эквивалентен вышеуказанные системы.

Гелиоцентрические экваториальные координаты

В астрономии также существует гелиоцентрический прямоугольный вариант экваториальных координат, обозначенный x , y , z , который имеет:

• Происхождения в центре Солнца .
• Основная плоскость в плоскости экватора Земли.
• Основное направление ( ось x ) в сторону весеннего равноденствия .
• Правой рукой конвенции, указав у оси на 90 ° на восток в основной плоскости и г осью вдоль Земли северной полярной оси «ы.

Эта система отсчета во всех отношениях эквивалентна системе координат ξ , η , ζ , описанной выше, за исключением того, что начало координат перенесено в центр Солнца . Он обычно используется при расчете планетарной орбиты. Три астрономические прямоугольные системы координат связаны соотношением

ξзнак равноИкс+Иксηзнак равноу+Yζзнак равноz+Z{\ displaystyle {\ begin {align} \ xi & = x + X \\\ eta & = y + Y \\\ zeta & = z + Z \ end {align}}}

Что такое геодезия

_______ Геодезия – это наука об измерениях на земной поверхности, выполняемых для изучения общей фигуры Земли, для составления планов и карт, для решения инженерных задач при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений.

_______В процессе своего развития геодезия разделилась на ряд самостоятельных научных дисциплин: высшую геодезию, топографию, инженерную геодезию, аэрофотогеодезию, картографию и космическую геодезию.

_______Высшая геодезия занимается определением фигуры и размеров всей Земли и значительных ее частей.

_______Топография занимается измерением и изображением на планах и картах земной поверхности.

_______Инженерная геодезия занимается вопросами геодезических работ при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений, при монтаже оборудования, при наблюдениях за вертикальными и горизонтальными смещениями инженерных сооружений и технологического оборудования.

_______Аэрофотогеодезия занимается изучением методов и средств создания топографических карт и планов по материалам фотографирования Земли.

_______Картография занимается изучением методов составления, издания и использования карт.

_______Космическая геодезия занимается обработкой измерений, полученных при помощи искусственных спутников Земли, орбитальных станций и межпланетных кораблей.

_______

Декартова система координат — это… Что такое Декартова система координат?

Прямоугольная, или декартова система координат — наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).

Рис. 1

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Рис. 2

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или ex ey ez . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

• =k ;
• =i ;
• =j .

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Похожие записи:

Центростремительное ускорение Что готовит гороскоп на 2021 год для женщин-дев Карта ленорман «развилка, перекресток» в гадании: значение и сочетание с другими картами «меня не волнуют твои бывшие девушки»: о чем жены врут своим мужьям Привороты на любовь мужчины Печенька с предсказанием гадание