Система уравнений максвелла для электромагнитного поля: смысл, способы решения

Значение уравнений

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

  1. Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
  2. Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
  3. Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
  4. Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.

Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция. Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле

То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

Максвеллом было найдено четыре важных закономерности, заключающиеся в том, что электрический заряд образует электрическое поле, колебания магнитных волн порождает электрические вихри, магнитных зарядов быть не может, изменение индукции приводит к появлению вихревого магнитного потока. Эти теоретические суждения после были подтверждены экспериментально и позволили получить картину распространения свободной энергии электромагнитной волны в пространстве.

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла представляют собой обобщение уравнений в дифференциальной или интегральной форме, объясняющую характер любых электромагнитных полей, взаимосвязи токов и электрических зарядов в любых средах.

С помощью обозначения формул Максвелла обобщают основные закономерности электрических и электромагнитных явлений. Как основа теоретического исследования электромагнитного поля, данная система формул направлена на решение задач на поиск электрических и магнитных полей, образованных путем заданного распределения электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла послужили основой для развития теории относительности Эйнштейна. Благодаря объяснению теории Максвелла, удалось раскрыть электромагнитную природу света.

Дж. Максвелл сформулировал оригинальные уравнения в 60-х годах XIX века. Главными источниками для исследований послужили эмпирические законы и идеи ученых, работы которых связаны с изучением электромагнитных явлений, включая Кулона, Био-Савара, Ампера, Фарадея.

Самостоятельно Максвеллом было выведено 20 формул, в которых использовалось 20 неизвестных, записанных в дифференциальном виде. В дальнейшем уравнения были преобразованы. Данные исследования получили негативные оценки критиков, которые являлись современниками Максвелла. Причиной является существенное отличие предложенных формул от ранее известных определений.

Несмотря на скептическое отношение в то время, сегодня уравнения Максвелла воспринимаются, как правильные и справедливые не только для привычного макромира, но и областей квантовой механики. Благодаря данному исследованию, произошел настоящий переворот восприятия людьми научной картины мира. Уравнения предвосхитили обнаружение радиоволн и продемонстрировали смысл электромагнитной природы света.

Уравнения Максвелла в современной интерпретации несколько отличаются от нынешней формы записи. Современные преобразованные формулы являются результатом трудов немецкого физика Г. Герца и английского физика О. Хевисайда.

Интегральная форма

Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде. Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность. Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

Выглядят они следующим образом:

  1. ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
  2. ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
  3. ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
  4. ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.

В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

Основная идея

Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля. Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается. Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле существует всегда там, где есть изменяющееся магнитное, при этом оно имеет замкнутую форму. Этот вид силы и называли вихревым полем. Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор. По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов. Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt. Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt. Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

Уравнения Максвелла — основная идея и физическая суть

Закономерности, выведенные Максвеллом, в электродинамике имеют такое значение, как, к примеру, законы Ньютона для классической механики и постулаты Эйнштейна в теории относительности. Это фундаментальные уравнения, которые подтверждены экспериментальным путем.

Определение

Уравнения Максвелла являются системой уравнений в дифференциальном или интегральном виде, которые описывают любые электромагнитные поля, взаимосвязи токов и электрических зарядов в разных средах, включая вакуум.

Уравнения Максвелла подвергались критике со стороны современников ученого, так как не вписывались в установленные стандарты и представления того времени. Однако закономерности послужили началом активного развития науки и причиной переворота в восприятии картины мира. Постулаты предшествовали открытию радиоволн и продемонстрировали электромагнитную природу света. Формулы Максвелла справедливы для макромира и области квантовой механики.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Что описывают четыре уравнения

  1. Из первой закономерности рассматривается поток электрического поля Е сквозь какую-либо поверхность замкнутого типа. Можно наблюдать зависимость между потоком и суммарным зарядом. Уравнение является законом или теоремой Гаусса.
  2. Второе уравнение Максвелла выражает закон Фарадея, на основе которого функционируют электрические моторы. В двигателях возникает ток в катушке в процессе вращения магнита.
  3. Третье уравнение Максвелла также представляет собой закон Гаусса, но в рамках электрического поля. В этом случае для потока магнитного поля будет характерно нулевое значение. Положительные и отрицательные заряды существуют отдельно друг от друга и порождают вблизи электрическое поле, а магнитные заряды — отсутствуют в природе.
  4. Четвертый постулат Максвелла имеет наибольшее значение. Исходя из уравнения, был введен термин тока смещения. Данная формула получила название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Смысл уравнений Максвелла:

  1. Первое уравнение — электрическое поле сформировано электрическим зарядом.
  2. Второе уравнение — вихревое электрическое поле формируется в результате изменений магнитного поля.
  3. Третье уравнение — магнитные заряды отсутствуют в природе.
  4. Четвертое уравнение — вихревое магнитное поле является результатом электрического тока и изменений электрической индукции.

Физическая суть

Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B. Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды. Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

1.2. Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла явились итогом интенсивных исследований
электричества, магнетизма и световых явлений, проводимых в первой половине
XIX века. В то время, когда стало ясно, что свет и – это одно и то же, появился и универсальный математический аппарат,
связывающий между собой функции изменения во времени и пространстве электрического
и магнитного полей.

Электромагнитное поле по своей природе векторное,
то есть все его изменения, происходящие во времени, имеют определенную
ориентацию в пространстве.

Основными величинами, определяющими электромагнитное
поле, являются
и .
Эти векторы являются функциями времени
и координат в пространстве, описываемых
: , ,

В среде, отличной от вакуума, под действием электромагнитного
поля возникает
и :
, ,

В уравнения Максвелла кроме указанных величин входят

, ,

и
среды: , , ,

Уравнения Максвелла (Maxwell’s equations)
обычно записываются в дифференциальной форме с использованием обозначений,
приведенных в Приложении А. Эти уравнения
имеют следующий вид:

(1)    
(2)    
(3)      (5)
(4)      (6)
        (1.2.1)

Уравнения (5-6) называют материальными уравнениями,
так как они учитывают свойства вещества.

Уравнения Максвелла в классических обозначениях
имеют вид:

(1)
(2)
(3)
(4)
    (1.2.2)

В вакууме и диэлектриках, плотность заряда и токи
равны нулю: ,
поэтому уравнения Максвелла для диэлектрической среды выглядят следующим
образом:

(1)
(2)     (1.2.3)
(3)
(4)

Для вакуума из уравнений Максвелла можно получить
следующее важное соотношение:       (1.2.4)

где
– скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме,
и

электрическая и магнитная постоянные в вакууме. Электрическая проницаемость
для разных сред может принимать различные значения, а магнитная
проницаемость
для оптических частот во всех средах практически не отличается от

Для
линейных сред
и
не зависят от
и ,
то есть электрическая и магнитная постоянные линейной среды не зависят
от интенсивности света

Электрическая проницаемость
для разных сред может принимать различные значения, а магнитная
проницаемость
для оптических частот во всех средах практически не отличается от
. Для
линейных сред
и
не зависят от
и ,
то есть электрическая и магнитная постоянные линейной среды не зависят
от интенсивности света.

Уравнения Максвелла описывают векторное поле. Вектор
электрической напряженности перпендикулярен вектору магнитной напряженности,
и оба они перпендикулярны направлению распространения света (рис.1.2.2),
поэтому такое поле называется поперечным.

Рис.1.2.2. Взаимное расположение векторов электрической
и магнитной
напряженности и направления распространения света .

Следствия из уравнений Максвелла

Все формулы объясняют определенные явления. Суть каждого из них заключается в следующем:

  • первое уравнение – электрическое поля образовано электрическим зарядом;
  • второе уравнение – вихревое электрическое поле является результатом изменений магнитного поля;
  • третье уравнение – отсутствие в природе магнитных зарядов;
  • четвертое уравнение – вихревое магнитное поле сформировано электрическим током и изменением электрической индукции.

Уравнения Максвелла полностью соотносятся с принципами специальной теории относительности. Формулы необходимы для микроскопического описания вещества в условиях классического электромагнитного поля и заряженных частиц, подчиняющихся принципам квантовой механики. Более последовательное объединение полевого подхода с принципами квантовой механики осуществляют по средствам методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике.

Показатель преломления

Часто рассматривая распространение света в веществе находят не модуль ее скорости в среде ($v$), а соотношение между величиной скорости света в веществе и скорости света в вакууме ($\frac{v}{c}$). Для этого используют известный закон преломления (закон Снеллиуса):

где $v_1$ — скорость распространения волны в первом веществе; $v_2$ — скорость распространения волны во втором веществе; $n_2$ — показатель преломления второго вещества; $n_1$ — показатель преломления первого вещества; $n_{21}$ — относительный показатель преломления.

Абсолютный показатель преломления вещества — это показатель преломления относительно вакуума, то есть можно записать:

Вещество, которое обладает большим показателем преломления, называют оптически более плотным. Показатель преломления зависит от вещества, в котором распространяется свет, частоты колебаний в волне (длины волны). Имеются оптически анизотропные среды, в которых показатель преломления связан с направлением поляризации электромагнитной волны.

Похожее

  • Правило Ленца
    Индукционный электрический ток в проводнике, возникающий при изменении магнитного потока, направлен таким образом, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока.

  • Электромагнитные волны и уравнения Максвелла
    Эмиль Ахмедов
    Мой рассказ будет больше историческим: я расскажу о том, как возникла теория Максвелла и понятие электромагнитных волн. Были известны законы Кулона, закон Био — Савара, разные законы индукции Фарадея и другие. Этот набор экспериментальных данных Максвелл попытался описать теоретически. Насколько мне известно, его труд состоит из примерно шестисот страниц. Он пытался чисто механически объяснить законы Фарадея, описывая электромагнитное поле как набор шестеренок с разными сортами зацеплений. В XIX веке механическое описание природы было очень популярно. Большая часть этих шестисот страниц пропала, поскольку в них не было никаких конструктивных утверждений. Может, я немного преувеличиваю, но единственное конструктивное, что было в этом труде Максвелла, — это его уравнения, формулы.

  • Закон Био — Савара
    Магнитное поле в точке пространства, создаваемое малым отрезком проводника, по которому течет электрический ток, пропорционально силе тока, обратно пропорционально квадрату расстояния от этой точки до проводника и направлено перпендикулярно по отношению и к току, и к направлению на проводник.

  • Закон Ампера
    Ханс Кристиан Эрстед экспериментально установил, что провод, по которому течет электрический ток, отклоняет магнитную стрелку компаса. Андре-Мари Ампер так заинтересовался этим явлением, что принялся за углубленное экспериментальное и математическое исследование взаимосвязи между электричеством и магнетизмом. В результате и был сформулирован закон: Движение электрических зарядов приводит к возникновению магнитных полей.

  • Закон Кулона
    Сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами пропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. По своей математической форме он повторяет закон всемирного тяготения Ньютона, если заменить в последнем массы на заряды, а постоянную Ньютона, на постоянную Кулона. И для этого сходства есть все причины. Согласно современной квантовой теории поля и электрические, и гравитационные поля возникают, когда физические тела обмениваются между собой лишенными массы покоя элементарными частицами-энергоносителями — фотонами или гравитонами соответственно. Таким образом, несмотря на кажущееся различие в природе гравитации и электричества, у двух этих сил много общего.

  • Законы электромагнитной индукции Фарадея
    Изменение магнитного потока, проходящего через площадь, приводит к возникновению электрического поля вдоль контура, ограничивающего эту площадь. Интенсивность этого электрического поля пропорциональна скорости изменения магнитного потока.

  • Теорема Гаусса о потоке напряженности электрического поля через замкнутую поверхность
    Поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, пропорционален суммарному электрическому заряду, содержащемуся внутри этой поверхности.

  • Спектр электромагнитного излучения

    Имеется целый ряд типов электромагнитного излучения, начиная с радиоволн и заканчивая гамма-лучами. Электромагнитные лучи всех типов распространяются в вакууме со скоростью света и отличаются друг от друга только длинами волн.

  • Никола Тесла: мифы и реальность

    Ему приписывается знание будущего, способность получать энергию из вакуума и уничтожить Землю. На него даже возлагается вина за Тунгусскую катастрофу. О реальных работах Николы Тесла и о происхождении его мифа рассказал в интервью «Радио Свобода» Александр Костинский, кандидат физико-математических наук, специалист по физике газового разряда — области, близкой к работам Тесла.

  • Уравнения Максвелла, внешние дифференциальные формы и расслоения
    Андрей Болибрух

    В этих двух лекциях мы хотим рассказать вам о дифференциальных формах, расслоениях и связностях. Эти понятия сейчас активно используются в разных областях математики и физики, и нам хотелось бы хотя бы немного вас с ними познакомить. Для того чтобы наш рассказ не был излишне абстрактным, мы привязаться к такому физическому объекту, как электромагнитное поле, и показать вам как при попытке описания этого поля естественным путем возникают все перечисленные понятия.

Далее >>>

Формула связи показателя преломления с электрическими и магнитными свойствами вещества

Учитывая выражения (2) и (4) мы получим:

Уравнение (5) называют формулой Максвелла. Для немагнитных прозрачных веществ выражение (5) преобразуют к виду:

Как известно, показатель преломления ($n$) зависит от длины волны ($\lambda $) света, однако диэлектрическую проницаемость вещества обычно считают величиной постоянной, полученное противоречие говорит об ограниченности классической электромагнитной теории поля. Считая формула Максвелла справедливой необходимо учитывать строение вещества с точки зрения атомной физики и говорить о зависимости $\varepsilon (\lambda )$.

Считая $\varepsilon =const,$ формулу Максвелла применяют для расчетов, которые проводят для газов, имеющих простое химическое строение, в которых проявляется слабая зависимость оптических свойств от частоты, и нет большой дисперсии. Эксперименты показали, что формула Максвелла дает хорошие результаты при ее использовании для жидких углеводородов. Для твердых тел применение формулы (5) дает большие погрешности.

Проблема, связи показателя преломления с частотой света, помогает устранить, например, электронная теория Лоренца. Ученый рассматривал явление дисперсии света как взаимодействие электромагнитных волн с частицами, несущими совершающими вынужденные колебания в переменном поле световой волны. Лоренц вывел формулу, связавшую показатель преломления с длиной световой волны.

Однородная среда

Чтобы получить одно матричное уравнение вместо пары, следующие новые функции строятся с использованием компонентов вектора Римана-Зильберштейна

Ψ + ( р , т ) знак равно — F Икс + + я F у + F z + F z + F Икс + + я F у + Ψ — ( р , т ) знак равно — F Икс — — я F у — F z — F z — F Икс — — я F у — . {\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi ^ {+} ({\ mathbf {r}}, t) & = \ left \, \ quad \ Psi ^ {-} ({\ mathbf {r}}, t) = \ left \,. \ End {выравнивается}}}

Векторы для источников:

W + знак равно ( 1 2 ϵ ) — J Икс + я J у J z — v ρ J z + v ρ J Икс + я J у W — знак равно ( 1 2 ϵ ) — J Икс — я J у J z — v ρ J z + v ρ J Икс — я J у . {\ displaystyle {\ begin {align} W ^ {+} & = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2 \ epsilon}}} \ right) \ left \, \ quad W ^ {-} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2 \ epsilon}}} \ right) \ left \,. \ end {align}}}

Потом,

∂ ∂ т Ψ + знак равно — v { M ⋅ ∇ } Ψ + — W + ∂ ∂ т Ψ — знак равно — v { M * ⋅ ∇ } Ψ — — W — {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi ^ {+} & = — v \ left \ {{\ mathbf {M}} \ cdot {\ mathbf {\ nabla}} \ right \} \ Psi ^ {+} — W ^ {+} \, \\ {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi ^ {-} & = — v \ left \ { {\ mathbf {M}} ^ {*} \ cdot {\ mathbf {\ nabla}} \ right \} \ Psi ^ {-} — W ^ {-} \, \ end {выровнено}}}

где * обозначает комплексное сопряжение, а тройка, M = [ M x , M y , M z ] — вектор, составляющими элементами которого являются абстрактные матрицы 4 × 4, заданные формулой

M Икс знак равно 1 1 1 1 , {\ displaystyle M_ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}},}
M у знак равно я — 1 — 1 + 1 + 1 , {\ displaystyle M_ {y} = {\ rm {i}} {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & + 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}},}
M z знак равно + 1 + 1 — 1 — 1 . {\ displaystyle M_ {z} = {\ begin {bmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}} \ ,.}

Компонентные M -матрицы могут быть сформированы с использованием:

Ω знак равно — я 2 я 2 β знак равно я 2 — я 2 , {\ displaystyle \ Omega = {\ begin {bmatrix} {\ mathbf {0}} & — {\ mathbf {I} _ {2}} \\ {\ mathbf {I} _ {2}} & {\ mathbf { 0}} \ end {bmatrix}} \, \ qquad \ beta = {\ begin {bmatrix} {\ mathbf {I} _ {2}} & {\ mathbf {0}} \\ {\ mathbf {0}} & — {\ mathbf {I} _ {2}} \ end {bmatrix}} \ ,,}

где я 2 знак равно 1 1 , {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,,}

откуда получаем:

M Икс знак равно — β Ω , M у знак равно я Ω , M z знак равно β . {\ Displaystyle M_ {x} = — \ beta \ Omega, \ qquad M_ {y} = {\ rm {i}} \ Omega, \ qquad M_ {z} = \ beta \ ,.}

Как вариант, можно использовать матрицу, которая отличается только знаком. Для наших целей это нормально использовать либо Ом или J . Тем не менее, они имеют различное значение: J является контравариантен и Ω является ковариантен . Матрица Ом соответствует Скобки Лагранжа из классической механики и J соответствует скобок Пуассона .
J знак равно — Ω . {\ Displaystyle J = — \ Omega \ ,.}

Обратите внимание на важное соотношение Ω знак равно J — 1. {\ Displaystyle \ Omega = J ^ {- 1} \ ,.}

Каждое из четырех уравнений Максвелла получается из матричного представления

Это делается путем взятия сумм и разностей строки I с строкой IV и строки II с строкой III соответственно. Первые три задают компоненты ротора y , x и z, а последний — условия дивергенции .

Каждое из четырех уравнений Максвелла получается из матричного представления. Это делается путем взятия сумм и разностей строки I с строкой IV и строки II с строкой III соответственно. Первые три задают компоненты ротора y , x и z, а последний — условия дивергенции .

Эти матрицы M все несингулярные и все эрмитовые . Более того, они удовлетворяют обычной ( кватернионной ) алгебре матриц Дирака , включая

M Икс M z знак равно — M z M Икс M у M z знак равно — M z M у M Икс 2 знак равно M у 2 знак равно M z 2 знак равно я M Икс M у знак равно — M у M Икс знак равно я M z M у M z знак равно — M z M у знак равно я M Икс M z M Икс знак равно — M Икс M z знак равно я M у . {\ displaystyle {\ begin {align} M_ {x} M_ {z} = — M_ {z} M_ {x} \, \\ M_ {y} M_ {z} = — M_ {z} M_ {y} \ , \\\\ M_ {x} ^ {2} = M_ {y} ^ {2} = M_ {z} ^ {2} = I \, \\\\ M_ {x} M_ {y} = — M_ {y} M_ {x} = {\ rm {i}} M_ {z} \, \\ M_ {y} M_ {z} = — M_ {z} M_ {y} = {\ rm {i}} M_ {x} \, \\ M_ {z} M_ {x} = — M_ {x} M_ {z} = {\ rm {i}} M_ {y} \,. \ end {выровнено}}}

(Ψ ± , M ) не единственны. Различный выбор Ψ ± приведет к разным M , так что тройка M продолжает удовлетворять алгебре матриц Дирака. Ч & plusmn ; с помощью вектора Римана-Зилберштейн имеет определенные преимущества по сравнению с другими возможными выборами. Вектор Римана-Зильберштейна хорошо известен в классической электродинамике и имеет ряд интересных свойств и применений.

При выводе вышеупомянутого матричного представления 4 × 4 уравнений Максвелла пространственные и временные производные ε ( r , t ) и μ ( r , t ) в первых двух из уравнений Максвелла не учитывались. Ε и μ рассматривались как локальные константы.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

  1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
  2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
  3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

  1. Магнитных монополей не существует.
  2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
  3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Как записать в интегральной форме

Первое уравнение

Первое уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку закона полного тока. Формула выглядит следующим образом:

\(\oint_{L}^{}{\vec{H}\vec{dl}}=\vec{I}\)

\(I_{пол} = I_{пр} + I_{см}\)

\(\vec{I}=\int_{S}^{}{\vec{\delta } d\vec{S}}\)

\(δ_{пол} = δ_{пр} + δ_{см}\)

S опирается на контур L.

\(\oint_{L}^{}{\vec{H}\vec{dl}}=\int_{S}^{}{\vec{\delta }d\vec{S}}\)

Согласно теореме Стокса:

\(\oint_{L}^{}{\vec{H}\vec{dl}}=\int_{S}^{}{rot\vec{H}d\vec{S}}=\int_{S}^{}{\vec{\delta }d\vec{S}}\)

Уравнение справедливо для любых поверхностей, которые опираются на материальный контур L. Исходя из этого, подынтегральные функции равны.

\(rot\vec{H}=\vec{\delta }\)

\(\vec{\delta }=\vec{\sigma E}\)

Данная формула является дифференциальной формой закона Ома.

\(\vec{\delta }=\frac{d\vec{D}}{dt}\)

Первое уравнение Максвелла имеет вид:

\(rohH=\sigma E+\frac{d\vec{D}}{dt}\)

Физический смысл данной расшифровки заключается в том, что в качестве источников вихревых магнитных полей выступают токи проводимости и токи смещения.

Второе уравнение

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку закона электромагнитной индукции и ее свойств:

\(\oint_{L}^{}{\vec{E}\vec{dl}}=-\int_{S}^{}{\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)}\vec{dS}\)

\(\int_{S}^{}{rot\vec{E}\vec{dS}}=-\int_{S}^{}{\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)}\vec{dS}\)

Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

\(rot\vec{E}=-\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)\)

Физический смысл заключается в том, что переменное электрическое поле создается вихревым электрическим полем.

Третье уравнение

Третье уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку теоремы Гаусса для электрических полей:

\(\oint_{S}^{}{\vec{D}d\vec{S}}=Q\)

С помощью теоремы Островского-Гаусса можно выполнить переход от поверхностного интеграла \( \left(\vec{D} \right)\) к объемному интегралу (\(div D\)):

\(\oint_{S}^{}{\vec{D}dS}=\int \int \int_{V}^{}{div\vec{D}d\vec{V}}\)

Можно записать правую часть формулы для объемного заряда. После объединения двух уравнений получим:

\(Q_{V}=\int pdV\)

Третье уравнение Максвелла:

\(\int_{V}^{}{div\vec{D}dV}=\int_{V}^{}{pdV}\Rightarrow div\vec{D}=p\)

Физический смысл закономерности заключается в том, что электрическое поле образовано источниками в виде зарядов с определенной плотностью.

Четвертое уравнение

Четвертым уравнением Максвелла является дифференциальная формулировка теоремы Гаусса, справедливая в условиях магнитного поля:

\(\oint_{S}^{}{\vec{B}d\vec{S}}=0\)

Четвертое уравнение Максвелла имеет вид:

\(div\vec{B}=0\)

Физический смысл четвертого уравнения Максвелла выражается в нулевом значении дивергенции вектора \(\vec{B}\) для какой-либо точки в пространстве. Таким образом, сделан вывод об отсутствии источников или магнитных зарядов в природе.