Закон гука

Определение и формула закона Гука

Давно люди пытались объяснить происхождение явлений сжатия и растяжения. Отсутствие знаний являлось причиной накопления экспериментальных данных. Собственно, свою теорему английский испытатель Гук открыл из своих наблюдений и опытов. Только позже, после  смерти ученого, современники назовут выведенную им аксиому – законом Гука.

Исследователь заметил, что при каждом упругом воздействии на объект появляется сила, которая возвращает его в исходную форму. Это и послужило началом экспериментов.

Аксиома Гука гласит:

При очень маленьких упругих воздействиях создается сила, пропорциональная изменению объекта, но противоположного знака по абсолютной величине перемещения его частиц.

Математически это определение можно записать следующим образом:

Fx = Fупр = k * x,

где в левой части указывается:

сила, действующая на тело,

x – перемещение тела (м),

k – коэффициент деформации, зависящий от свойств объекта.

Единица измерения, как и любой другой силы, является Ньютон.

Кстати, k еще называют жёсткостью тела, она измеряется в H/м. Жесткость обусловлена не внешними параметрами объекта, а зависит от его материала.

Правда, стоит учесть, что его закон справедлив только для упругих деформаций.

Сила упругости

Теперь, когда известно, какая формула выражает закон Гука, необходимо разобраться в его основной величине. Основной величиной является сила упругости. Она появляется в определенный момент, когда тело начинает деформироваться, например, когда пружина сжимается или растягивается. Она направлена в обратную сторону от силы тяжести. Когда сила упругости и сила тяжести, действующие на тело, становятся равными, опора и тело останавливаются.

Деформация – это необратимые изменения, происходящие с размерами тела и его формой. Они связанны с перемещением частиц относительно друг друга. Если человек сядет в мягкое кресло, то с креслом произойдет деформация, то есть изменятся его характеристики. Она бывает разных типов: изгиб, растяжение, сжатие, сдвиг, кручение.

Так как сила упругости относится по своему происхождению к электромагнитным силам, следует знать, что возникает она из-за того, что молекулы и атомы – наименьшие частицы, из которых состоят все тела, притягиваются друг другу и отталкиваются друг от друга. Если расстояние между частицами очень мало, значит, на них влияет сила отталкивания. Если же это расстояние увеличить, то на них будет действовать сила притяжения. Таким образом, разность сил притяжения и сил отталкивания проявляется в силах упругости.

Сила упругости включает в себя силу реакции опоры и вес тела. Сила реакции представляет особый интерес. Это такая сила, которая действует на тело, когда его кладут на какую-либо поверхность. Если же тело подвешено, то силу, действующую на него, называют, силой натяжения нити.

Параллельное и последовательное соединение пружин

В Законе Гука есть такая величина, как коэффициент жесткости— это характеристика тела, которая показывает его способность сопротивляться деформации. Чем больше коэффициент жесткости, тем больше эта способность, а как следствие из Закона Гука — и сила упругости.

Чаще всего эта характеристика используется для описания жесткости пружины. Но если мы соединим несколько пружин, то их суммарная жесткость нужно будет рассчитать. Разберемся, каким же образом.

Последовательное соединение системы пружин

Последовательное соединение характерно наличием одной точки соединения пружин.

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

Параллельное соединение системы пружин

Последовательное соединение характерно наличием двух точек соединения пружин.

В случае когда пружины соединены параллельно величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

Задачка

Какова жесткость системы из двух пружин, жесткости которых k₁ = 100 Н/м, k₂ = 200 Н/м, соединенных: а) параллельно; б) последовательно?

Решение:

а) Рассмотрим параллельное соединение пружин.

При параллельном соединении пружин общая жесткость

k = k₁ + k₂ = 100 + 200 = 300 Н/м

б) Рассмотрим последовательное соединение пружин.

При последовательном соединении общая жесткость двух пружин

1/k = 1/100 + 1/200 = 0,01 + 0,005 = 0,015

k = 1000/15 = 200/3 ≃ 66,7 Н/м

Очень-очень важно!

Не забудь при расчете жесткости при последовательном соединении в конце перевернуть дробь

/ закон Гука

Министерство образования АР Крым

Таврический Национальный Университет им. Вернадского

Исследование физического закона

ЗАКОН ГУКА

Выполнил: студент 1 курса

физического факультета гр. Ф-111

Потапов Евгений

Симферополь-2010

План:

1. Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.

2. Формулировка закона

3. Математическое выражение закона.

4. Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.

5. Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.

6. Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

7. Примеры использования закона и учета действия закона на практике.

8. Литература.

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона:

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Формулировка закона — сила упругости прямо пропорциональна деформации.

Математическое выражение закона:

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь F сила натяжения стержня, Δl — его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Если ввести относительное удлинение

и

т

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C_ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C_ijkl, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где σ_ij — тензор напряжений,

C_ijkl

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

История об этом умалчивает..

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

Литература.

1. Интернет-ресурсы: — сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

4. лекции по механике Рябушкин Д.С.

6

StudFiles.ru

ФИЗИКА

Учебник для 7 класса

§ 16.1. Закон Гука

Как связана сила упругости с деформацией? Растягивая пружину, можно заметить, что чем болыпе деформация пружины, тем больше сила упругости. Это — наблюдение.

Оно показывает, что по величине деформации можно судить о силе упругости, то есть деформация может быть мерой силы. Чтобы найти соотношение между деформацией пружины и силой упругости, надо поставить опыт.

Поставим опыт

Измерим удлинение пружины, когда к ней подвешена одна гирька (рис. 16.1, а). Обусловленная этой деформацией пружины сила упругости уравновешивает силу тяжести, действующую на одну гирьку.

Рис. 16.1. Удлинение пружины пропорционально числу подвешенных гирек

Подвесим к пружине вторую такую же гирьку (рис. 16.1, б). Теперь обусловленная деформацией сила упругости уравновешивает силу тяжести, действующую на две гирьки. Мы заметим, что и удлинение пружины тоже стало в два раза больше.

Таким образом, можно предположить, что (модуль силы упругости прямо пропорционален удлинению пружины.

Удлинением пружины называют разность между длиной растянутой пружины и длиной недеформированной пружины.

Подвешивая к пружине новые гирьки, мы убедимся, что опыт подтверждает это предположение (рис. 16.1, в).

Закон Гука. Обозначим удлинение пружины х. Поскольку модуль силы упругости F пропорционален удлинению пружины, то можно записать:

F_пр = kx

Коэффициент пропорциональности k называют жесткостью пружины. Его значение зависит от материала, формы и размеров пружины. Единицей жесткости является 1 Н/м.

Жесткость пружины равна 1 Н/м. Какова сила упругости при удлинении пружины на 1 см?

Соотношение между силой упругости и удлинением пружины установил на опыте английский физик Роберт Гук. Поэтому это соотношение называют законом Гука.

Зная жесткость пружины, можно с помощью этой пружины измерять силу. А чтобы измерить жесткость пружины, надо измерить силу упругости, возникающую при заданном удлинении этой пружины.

Решим задачи

Жесткость пружины k = 100 Н/м. Какая сила упругости возникает при удлинении пружины на 5 см?

Ответ: 5 Н

При удлинении пружины на 1 см возникает сила упругости 10 Н. Чему равна жесткость пружины?

Ответ: 1 кН/м

Прибор для измерения силы называют динамометром. На рис. 16.2, а изображен школьный динамометр, а на рис. 16.2, б — его устройство: видно, что внутри динамометра находится пружина.

Рис. 16.2. Школьный демонстрационный динамометр, рассчитанный на измерение силы, не превышающей 4 Н: а — внешний вид; б — устройство

При построении шкалы пружинного динамометра используют закон Гука (см. лабораторную работу № 7).

При каких условиях выполняется закон Гука

А теперь посмотрим, каковы границы применимости этого выражения, и в каких условиях оно вообще выполняется.

Следует знать, что основным условием является:

s
=
E * e
,

где слева в уравнении находится напряжение, возникающее при деформации, а в правой части модуль Юнга и удлинение.

Причем, E зависит от характеристик частиц объекта, но не от его параметров формы, а второй множитель берется по модулю.

В целом аксиома Гука справедлива для многих ситуаций.

Так, при упругом изгибе пружины, лежащей на двух опорах, математическая запись теоремы выглядит следующим образом:

F
упр
= —
m * g

F
упр
= —
k * x

В иных ситуациях (при кручении, различных маятниках и других деформирующих процессах) аналогично записывается воздействие сил на объект.

Закон Гука. Динамометр

Английский физик Роберт Гук, современник И. Ньютона, в 1660 г. экспериментально установил, как зависит сила упругости от деформации.

ЗАКОН ГУКА

Проведём следующий опыт. К штативу подвесим пружину и измерим её длину. Пусть длина нерастянутой пружины равна l. Если теперь к ней подвесить грузик, то пружина растянется и её длина станет равна l. Растяжение пружины равно Δl = l – l. Чем тяжелее грузик, тем сильнее растягивается пружина и тем больше значение Δl.

Каждый раз при подвешивании груза пружина растягивается до определённого состояния, после чего движение груза прекращается и система приходит в состояние равновесия. Это означает, что сила тяжести, действующая на груз, компенсируется силой упругости, возникающей в пружине. Сила тяжести определяется по формуле F_тяж = mg. Следовательно, чем больше масса груза, тем больше значение силы тяжести, действующей на него, и соответственно больше значение силы упругости, уравновешивающей её. Тщательные измерения в данном опыте показывают, что растяжение пружины прямо пропорционально значению силы упругости.

 Опыт подтверждает закон, названный в честь учёного, открывшего его, законом Гука: модуль силы упругости при растяжении (или сжатии) тела прямо пропорционален изменению длины тела. 

Коэффициент пропорциональности в законе Гука называют коэффициентом упругости тела (стержня, пружины и т. п.). Он зависит от формы и размеров тела, а также от материала, из которого оно изготовлено. Коэффициент упругости в СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м).

УПРУГАЯ И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИИ

Деформации, которые полностью исчезают, как только прекращается действие деформирующей силы, называют упругими. Деформации, которые не исчезают после прекращения действия деформирующей силы, называют пластическими. Если пружину растянуть, а затем отпустить, то она примет первоначальную форму. Но эту же пружину можно растянуть настолько, что после того, как её отпустят, она так и останется растянутой. Закон Гука справедлив только для упругой деформации, для пластических деформаций он не выполняется.

ДИНАМОМЕТР

Закон Гука лежит в основе действия прибора для измерения силы — динамометра (от греч. dinamis — сила и metron — мера). Принцип действия пружинного динамометра основан на сравнении любой силы с силой упругости пружины. На практике используют динамометры самого разного тина.

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНА ГУКА

Простейший пружинный динамометр (динамометр Бакушинского) состоит из пружины с двумя крючками, укреплённой на дощечке. Дощечка снабжена шкалой, а к нижнему концу пружины прикреплён указатель.

Построим график зависимости силы упругости от деформации пружины динамометра.

Для этого будем последовательно подвешивать к динамометру грузики определённой массы и измерять соответствующие значения силы упругости и растяжения пружины. Так как сила тяжести, действующая на тело массой 1 кг, равна 9,8 Н, то сила, равная 1 Н, будет действовать на тело, которое в 9,8 раза легче. Масса этого тела 102 г. Под влиянием силы тяжести, действующей на груз, пружина динамометра растягивается на Δl₁ = 2,5 см. Нанесём на график соответствующую точку (зелёным цветом). Подвесим к крючку ещё один такой же груз и повторим описанный опыт. Суммарная масса груза в этом случае равна 204 г, а деформация — Δl₂ = 5 см. Нанесём соответствующую точку на координатную плоскость. Проделаем аналогичные действия для трёх грузов. Можно увидеть, что все три точки лежат на одной прямой.

Как по графику определить значение коэффициента упругости пружины? По закону Гука k = F_упр / Δl. Если взять любую точку, лежащую на прямой, и определить её координаты, то на оси абсцисс мы получим значение Δl, а по оси ординат — значение F_упр. Поделив одно значение на другое, получим искомую величину.

Повторив описанный опыт с другой пружиной, получим график другой прямой (синего цвета), которая отличается от предыдущей углом наклона к оси абсцисс. Чем больше коэффициент упругости пружины, тем угол наклона больше.

Вы смотрели Конспект по физике для 7 класса «Закон Гука. Динамометр»: Как формулируется закон Гука. Что такое коэффициент упругости пружины. Каким прибором измеряется сила. Что такое сила? Каковы единицы силы? Что такое сила тяжести? Как рассчитать силу тяжести? Что такое сила упругости?

Вернуться к Списку конспектов по физике (В оглавление).

Практические занятия

Механики и физики обозначают с помощью k, c и D коэффициент упругости, пропорциональности, жесткости. Смысл математической записи одинаковый. Численно показатель равняется силе, которая создаёт колебания на одну единицу длины. На практических работах по физике используется в качестве последней величины 1 метр.

Чем выше k, тем больше сопротивление предмета относительно деформации. Дополнительно коэффициент показывает степень устойчивости тела к колебаниям со стороны внешней нагрузки. Параметр зависит от длины и диаметра винтового изделия, количества витков, сырья. Единица измерения жесткости пружины — Н/м.

На практике перед школьниками и механиками может стоять более сложная задача, к примеру, найти общую жёсткость. В таком случае пружины соединены последовательным либо параллельным способом. В первом случае уменьшается суммарная жесткость. Если пружины расположены последовательно, используется следующая формула: 1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki, где:

• k — суммарная жёсткость соединений;
• k1 …ki — жёсткость каждого элемента системы;
• i — число пружин в цепи.

Основная методика для вычислений

На практике коэффициент Гука определяется самостоятельно. Для эксперимента потребуется пружина, линейка, груз с определённой массой. Необходимо соблюдать следующую последовательность действий:

1. Пружина фиксируется вертикально. Для этого используется любая удобная опора со свободной нижней частью.
2. Линейкой измеряется длина предмета. Результат записывается как х1.
3. На свободный конец подвешивается груз с известной массой m.
4. Измеряется длина изделия под воздействием амплитуды. Вывод записывается как х2.
5. Производит подсчёт абсолютного удлинения: x = x2-x1. Для определения энергии (силы) и k в международной системе СИ осуществляется перевод длины из разных единиц измерения в метры.
6. Сила, спровоцировавшая деформацию, считается силой тяжести тела. Она рассчитывается по формуле: F = mg, где м является массой используемого груза (вес переводится в килограммы), а g (равен 9,8) — постоянная величина, с помощью которой отмечается ускорение свободного падения.

Решение задач

Для нахождения жёсткости в случае использования разных предметов, включая пружинные маятники с разной частотой колебаний, применяется формула Гука либо следствие, вытекающее из неё.

Задача № 1. Пружина имеет длину 10 см. На неё оказывается сила в 100 Н. Изделие растянулось на 14 см. Нужно найти k.

Решение: предварительно вычисляется абсолютное удлинение: 14−10=4 см. Результат переводится в метры: 0,04 м. Используя основную формулу, находится k. Его значение равняется 2500 Н/м.

Задача № 2. На пружину подвешивается груз массой 10 кг. Изделие растягивается на 4 см. Нужно найти длину, на которую растянется пружина, если использовать груз массой в 25 кг.

Решение: Определяется сила тяжести путем умножения 10 кг на 9.8. Результат записывается в Ньютонах. Определяется k=98/0.04=2450 Н/м. Рассчитывается, с какой силой воздействует второй груз: F=mg=245 Н. Для нахождения абсолютного удлинения используется формула x=F/k. Во втором случае х равняется 0,1 м.

Динамометры

Упругие свойства пружин используются в приборах для измерения силы. Обычно динамометр состоит из двух основных частей: пружины (упругий элемент) и шкалы устройства, на которой нанесены цифровые значения силы или массы, если этот прибор предназначен для бытового применения. Измеряемое усилие прикладывается к пружине, которая деформируется и сдвигает стрелку прибора вдоль отсчетной шкалы.

Рис. 3. Пружинные динамометры.

Хотя закон Гука и считается универсальным, но диапазон деформаций в котором он выполняется сильно отличается для разных тел. Например, в металлических проволоках (прямолинейных) и стержнях максимальная величина относительной деформации (отношение Δх к L0), для которой еще будет справедлив закон Гука, составляет не более 1%. При больших деформациях наступают необратимые разрушения материалов.

Сила упругости

Формулировка основывается на определении силы упругости. В чем же заключается ее отличие от других воздействий на тело?

На самом деле, сила упругости может возникать в любой точке тела при его упругой деформации. Что понимается под таким воздействием? Это изменение формы тела, при котором объект через определенный период времени возвращается в исходный вид.

А это в свою очередь происходит из-за молекулярного воздействия частиц: при любой деформации происходит изменение расстояния между молекулами объекта, а кулоновские силы притяжения или отталкивания стремятся вернуть тело в исходное положение.

Самая простая модель, демонстрирующая действие сил упругости, является пружинным маятником.

Какая формула выражает аксиому, установленную ученым в этом случае?

Тут аксиома Гука запишется в виде:

ε = α * S,

где ε – относительное удлинение тела (его величина равна отношению удлинения к перемещению),

α – коэффициент пропорциональности (обратно пропорционален модулю Юнга Е),

S – механическое напряжение объекта (его величина равна отношению силы упругости к площади сечения тела).

Учитывая вышесказанное, уравнение можно записать так:

Δx x = Fупр E * S,

где Δx – максимальный сдвиг при деформации.

Стоит преобразовать данное выражение, тогда получим следующее:

Fупр = (E * S x) Δx= k * Δx.

Поскольку сила упругости противоположна внешнему воздействию, то кратко закон читается таким образом:

Fупр = k * Δx.

В нем не зря упомянуты малые по величине деформации: при них Δx  ̴ x, следовательно, Fупр = k * x.

Коэффициент упругости

Коэффицие́нт упру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k, иногда D или c. Имеет размерность Н/м или кг/с2 (в СИ), дин/см или г/с2 (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Определение и свойства

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины: k = F e / Δ l . {\displaystyle k=F_{\mathrm {e} }/\Delta l.} Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S {\displaystyle S} и длины L {\displaystyle L} ), записав коэффициент упругости как k = E ⋅ S / L . {\displaystyle k=E\cdot S/L.} Величина E {\displaystyle E} называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня.

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},…,k_{n},} жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . + k n . {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+k_{3}+…+k_{n}.}

В параллельном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},…,k_{n}.} Из III закона Ньютона, F = F 1 + F 2 + . . . + F n . {\displaystyle F=F_{1}+F_{2}+…+F_{n}.} (К ним прикладывается сила F {\displaystyle F} . При этом к пружине 1 прикладывается сила F 1 , {\displaystyle F_{1},} к пружине 2 сила F 2 , {\displaystyle F_{2},} … , к пружине n {\displaystyle n} сила F n . {\displaystyle F_{n}.} )

Теперь из закона Гука ( F = − k x {\displaystyle F=-kx} , где x — удлинение) выведем: F = k x ; F 1 = k 1 x ; F 2 = k 2 x ; . . . ; F n = k n x . {\displaystyle F=kx;F_{1}=k_{1}x;F_{2}=k_{2}x;…;F_{n}=k_{n}x.} Подставим эти выражения в равенство (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; {\displaystyle kx=k_{1}x+k_{2}x+…+k_{n}x;} сократив на x , {\displaystyle x,} получим: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+…+k_{n},} что и требовалось доказать.

Последовательное соединение

При последовательном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},…,k_{n},} общая жёсткость определяется из уравнения: 1 / k = ( 1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . . . + 1 / k n ) . {\displaystyle 1/k=(1/k_{1}+1/k_{2}+1/k_{3}+…+1/k_{n}).}

В последовательном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},…,k_{n}.} Из закона Гука ( F = − k l {\displaystyle F=-kl} , где l — удлинение) следует, что F = k ⋅ l . {\displaystyle F=k\cdot l.} Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения l 1 + l 2 + . . . + l n = l . {\displaystyle l_{1}+l_{2}+…+l_{n}=l.}

На каждую пружину действует одна и та же сила F . {\displaystyle F.} Согласно закону Гука, F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . {\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=…=l_{n}\cdot k_{n}.} Из предыдущих выражений выведем: l = F / k , l 1 = F / k 1 , l 2 = F / k 2 , . . . , l n = F / k n . {\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad …,\quad l_{n}=F/k_{n}.} Подставив эти выражения в (2) и разделив на F , {\displaystyle F,} получаем 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , {\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+…+1/k_{n},} что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

где

ЕSL

Цилиндрическая витая пружина

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

где

dd_FnGGG

Источники и примечания

1. ↑ Упругая деформация (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
2. ↑ Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. — Springer, 2004. — P. 181 ..
3. ↑ Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. — Oldenbourg, 2004. — P. 11 ..
4. ↑ Динамика, Сила упругости (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
5. ↑ Механические свойства тел (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.

ru.wikipedia.org

Похожие записи:

Гадание на таро «будем ли мы вместе?» Какой праздник 10 апреля Лунный календарь на каждый день Как планеты в натальной карте влияют на судьбу человека Троллейбус Лунный календарь стрижек на 2020 год